Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH .
I/Phương pháp chung :
Bước 1: Lập hệ phương trình 
Chọn ẩn và dặt điều kiện cho ẩn
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượngđã biết
Bước 2: Giải hệ phương trình 
Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm của hệ có thoả mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận .
II/ Các dạng toán : 
1/ Toán về chuyển động : 
VD1: Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây . Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây.
Giải: Gọi x (m/s)là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga (x>0)
	Gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu (y>0)
Tàu chạy ngang văn phòng ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) mất 7 giây.Ta có phương trình : y=7x (1)
Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất 25giây .Ta có phương trình : y+378=25x (2)
Ta được hệ phương trình : 
Giải ra ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT)
Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s
 	 Chiều dài của đoàn tàu là : 147m
VD2: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút . Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km . Tính vận tóc dòng nước ?
Giải: Gọi x (km/h)là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng.
	Gọi y(km/h) là vật tốc dòng nước (x,y>0)
Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương trình : 
Vì chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút (=h) nên ta có phương trình : 
Ta có hệ phương trình : 
Giải ra ta có : x=18 ; y= 2
Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h
VD3: Trên một đường tròn chu vi 1,2 m, ta lấy 1 điểm cố định A. Hai đim chuyển động M , N chạy trên đường tròn , cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi . Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây. Nếu chúng di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt Nđúng 1 vòng sau 60 giây.Tìm vận tốc mỗi điểm M, N ? 
Giải: Gọi x(m/s) là vận tốc của điểm M
	Gọi y(m/s) là vận tốc của điểm N (x>y>0)
Khi chúng di chuyển trái chiều nhau , chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây nên ta có phương trình : 15x+15y=1,2 (1)
Khi M,N di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vòng sau 60 giây nên ta có phương trình : 60x-60y=1 (2)
 Ta có hệ phương trình : 
Giải hệ phương trình ta có x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT)
Vậy vận tốc điểm M là : 0,05m/s và vận tốc điểm N là : 0,03m/s
BTVN: Một chiếc môtô và ôtô cùng đi từ M đến K với vận tốc khác nhau .Vận tốc môtô là 62 km/h còn vận tốc ôtô là 55 km/h . Để 2 xe đến đích cùng 1 lúc người ta đã cho ôtô chạy trước 1 thời gian . Nhưng vì 1 lí do đặc biệt nên khi chạy được 2/3 quãng đường ôtô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h .Vì vậy khi còn cách K 124km thì môtô đuổi kịp ôtô . Tính khoảng cách từ M đến N .
	HD: Gọi khoảng cách MK là x km 
	 Gọi thời gian dự định ôtô đi trước môtô là y (giờ) 
	Ta có : 
Giải hệ này ta rút ra : x= 514km ; 
2/ Bài toán về hoàn thành công việc ( làm chung làm riêng )
VD4: Cho 3 vòi A,B,C cùng chảy vào 1 bể . Vòi A và B chảy đầy bể trong 71 phút Vòi A và C chảy đầy bể trong 63 phút .Vòi C và B chảy đầy bể trong 56 phút . 
Mỗi vòi làm đầy bể trong bao lâu ? Cả 3 vòi cùng mở 1 lúc thì đầy bể trong bao lâu ? 
Biết vòi C chảy 10lít ít hơn mỗi phút so với vòi A và B cùng chảy 1 lúc . Tính sức chứa của bể và sức chảy của mỗi vòi ?
Giải: a)Vòi A làm đầy bể trong x phút ( mỗi phút làm đầy 1/x bể )
Vòi B làm đầy bể trong y phút ( mỗi phút làm đầy 1/y bể )
Vòi C làm đầy bể trong z phút ( mỗi phút làm đầy 1/z bể )
Ta có hệ phương trình : 
Giải hệ phương trình ta được : x=168 ; y=126 ; z=504/5
 Nếu 3 vòi cùng mở 1 lúc thì sau mỗi phút đầy bể.
3 vòi cùng làm đầy bể sau : phút 
b)Gọi dung tích của bể là t phút thì mỗi phút vòi C chảy 5/504.t lít , vòi A và B chảy lít .Theo đề bài ta có phương trình : 
Sức chảy vòi A : 
Tương tự sức chảy vòi B : 
 	 sức chảy vòi C : 
3/ Bài toán về tỉ lệ , phân chia đều: 
VD5: Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo .Số kẹo này được chia hết va chia đều cho các đội viên .Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy , phân đội trưởng đề xuất cách nhận quà như sau: 
	Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và 1/11 số kẹo còn lại .Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận nhận n cái kẹo và .
	Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên ? Mỗi đội viên nhận được bao nhiêu cái kẹo ? 
Giải: Gọi số người trong phân đội là a 
Số kẹo trong phân đội được tặng là x (a,x>0)
	Người thứ nhất nhận được : (kẹo )
Người thứ hai nhận được : (kẹo )
Vì hai số kẹo bằng nhau và có a người nên ta có : 
Giải hệ này ta được x=100 ; a=10
VD6: 12 người ăn 12 cái bánh .Mỗi người đàn ông ăn 2 chiếc , mỗi người đàn bà ăn 1/2 chiếc và mỗi em bé ăn 1/4 chiếc.Hỏi có bao nhiêu người đàn ông , đàn bà và trẻ em ? 
Giải: Gọi số đàn ông , đàn bà và trẻ em lần lượt là x,y,z.(x,y,z là số nguyên dương và nhỏ hơn 12) 
Số bánh họ lần lượt ăn hết là : 2x ; y/2 ; z/4
Theo đề bài ta có hệ phương trình : 
 Lấy (2) trừ (1) ta được : 6x-z=24 (3) 
Vì x, z , 6x và 24 chia hết cho 6 , z cũng chia hết cho 6 .Kết hợp với điều kiện 0<z<12 z=6.
	Thay z=6 vào (3) ta được x=5 , từ đó y=1
Vậy có 5 đàn ông , 1 đàn bà và 6 trẻ em
4/ Bài toán có nội dung vật l1 , hoá học : 
VD7: một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitơric .Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric?
Giải: Gọi x,y theo thứ tự là số lít dung dịch loại 1 và 2 (x,y>0)
	 Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại 1 là và loại 2 là 
Ta có hệ phương trình : 
Giải hệ này ta được : x=20 ;y=80
GHI NHỚ : 
Khi chọn các ẩn cần xác định điều kiện của các ẩn .
Mỗi phương trình của hệ lập được nhờ xác định đẳng thức biểu diễn cho cùng 1 đại lượng bằng 2 cách .
Nếu 1 công việc làm xong trong x giờ thì 1 giờ làm được 1/x công việc.
BTVN: Có 45 người gồm bác sĩ và luật sư , họ là 40. Tính số bác sĩ và luật sư biết tuổi trung bình của bác sĩ là 35 , trung bình của luật sư là 50.
HD: Gọi số bác sĩ là x và số luật sư là y .Ta có hệ phương trình :
Vậy số bác sĩ là 30 người và số luật sư là 15 người .
CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN MÔN ĐẠI SỐ LỚP 9
Tên chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN .
	1.Muc đích : nhằm bồi dưỡng thêm cho hs một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn, về vị trí tương đối của đường thẳng và Parabol và một số yếu tố liên quan .
	2.Chuẩn bị : Nghiên cứu các tài liệu có liên quan và soạn chương trình thực hiện .
	3.Tiến trình bài dạy :
Sự tương giao giữa (P) và (D):
Bài tập 1: Trên cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) và đường thẳng (d) y=(m-2)x+1 và (d’)y=-x+3 (m là tham số ) . Xác định m để (P) ,(d) và (d’) có điểm chung .
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d’): 
	2x2=-x+32x2+x-3=0 (a+b+c=0)
	+Khi x=1 thì y=2
	+Khi thì 
Vậy (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 
Để (P) ,(d) và (d’) có điểm chung thì 
Vậy với m=3 hay m=thì (P) ,(d) và (d’) có 1 điểm chung
Bài tập 2: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) : và đường thẳng (d) : y=mx+1 (m là tham số ).Xác định m để : 
	a) (d) tiếp xúc (P) 	b)(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt .
	c) (d) và (P) không có điểm chung .
Giải : Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x2+mx+1=0 (*)
(d) tiếp xúc (P)khi phương trình (*) có nghiệm kép 
)(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt 
(d) và (P) không có điểm chung khi (*) vô nghiệm 
Bài tập 3: Cho (P) : và (d) : 
Xác định m để (d) cắt (P)tại 2 điểm A(xA; yA) ; B(xB; yB) sao cho : 
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)là : 
vậy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là xA ; xB 
Theo Viét ta có : 
Vậy với thì (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A;B
Bài tập 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ , cho (P) : , điểm M(0;2). Đường thẳng (D) đi qua M và không trùng với Oy . Chứng minh rằng (d) cắt (P)tại 2 điểm phân biệt sao cho 
Giải: - Vì (D) đi qua M(0;2) và không trùng với Oy nên có dạng y=ax+b 
 	 - nên: 2=a.0+b b=2 và (D): y=ax+2
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là : 
	Vì phương trình (*) có hệ số a=1 ; c—4 (a.c<0) nên (*) có 2 nghiệm phân biệt A(xA; yA) ; B(xB; yB)
	Theo hệ thức Viét ta có: 
@@@@@@@@@@@@@