Giáo án Đại số và giải tích 11 - Phần 3

Phần hai
 Chương III: Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân
 Đ1: phương pháp quy nạp toán học
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS nẵm vững bản chất của phép chứng minh quy nạp toán học, các bước cần tiến hành khi chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
 HS biết vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học khi làm toán.
II – Phương pháp giảng dạy: Nêu vấn đề, thuyết trình.
III - Tiến hành:
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Chuẩn bị kiến thức.
 GV hướng dẫn HS đọc SGK.
C - Giảng bài mới: 
1. Phép chứng minh quy nạp:
 Giả sử ta phải chứng minh một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi n 0.
+Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 0.
+Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k 0 (giả thiết quy nạp).
 Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nguyên lý quy nạp toán học:
Nếu một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n là đúng với n = p ( pN*) và từ giả thiết mệnh đề đó đúng với n = k p, ta chứng minh được nó cũng đúng với n = k + 1 thì mệnh đề đó đúng với mọi n.
 Phương pháp chứng minh một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi n p (pẻ N*):
Hướng dẫn HS đọc phần mở đầu trong SGK (tr85) và trình bày lại theo ý hiểu của mình.
Nếu trong chứng minh trên, thay cho yêu cầu n 0 bởi n p thì ta phải thay đổi phép chứng minh như thế nào ?
+Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = p.
+Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k p (giả thiết quy nạp).
 Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
2. Các ví dụ:
VD1. Chứng minh rằng "n ẻ N*, ta có:
 (1)
Chứng minh:
* Với n = 1: nhận thấy VT = 1 = VP 
 Mệnh đề (1) đúng.
* Giả sử (1) đúng với mọi số tự nhiên n = k 1, tức là:
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là:
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp có:
Vậy (1) đúng với mọi n 1.
VD2: Chứng minh rằng " n 2 ta có:
+ Bước 1 phải kiểm tra với n = ?
+ Nội dung bước 2 là gì ?
+ Đâu là giả thiết quy nạp ?
+ Sử dụng giả thiết quy nạp như thế nào ?
 lưu ý HS ghi nhớ kết quả của VD1.
CM tương tự ví dụ 1?
lưu ý HS ghi nhớ kết quả của VD2.
D - Chữa bài tập:
 * Xem lại lý thuyết và các ví dụ.
 * Ghi nhớ phương pháp chứng minh quy nạp.
 * Làm các bài tập 1 - 4 (SGK trang 88).
E - Chữa bài tập:
Đề bài
Hướng dẫn
Bài 1(88). Chứng minh rằng " n ẻ N*, ta có:
Bài 2(88). Chứng minh rằng " n ẻ N, ta có:
Bài 3(88). Chứng minh rằng " n ẻ N, n ỏ 3, ta có: .
Bài 4(88). Chứng minh rằng " n ẻ N*, ta có:
 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2n + (2n + 1) = n + 1.
Bài tập bổ sung:
Bài 5. Chứng minh rằng " n ẻ N*, ta có:
Bài 6. Chứng minh rằng " n ẻ N*, a là hằng số và a > -1, ta có: (1 + a)n ỏ 1 + na.
Bài 7. Chứng minh rằng " n ẻ N*, ta có:
Bài 8. Chứng minh rằng " n ẻ N, n ỏ 5 , ta có: .
 Đ2: dãy số
 Tiết theo PPCT : 
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS nắm được định nghĩa dãy số và các khái niệm: dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn.
 HS biết cách chứng minh một dãy số là tăng, giảm hoặc bị chặn.
II – Phương pháp giảng dạy: Nêu vấn đề, thuyết trình.
III - Tiến hành:
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Chuẩn bị kiến thức.
 GV hướng dẫn HS đọc SGK.
C - Giảng bài mới: 
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ.
 GV yêu cầu HS: Nêu phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
C - Giảng bài mới: 
GV đưa ra các khái niệm: dãy núi, dãy số, dãy nhà,... và yêu cầu HS nêu điểm chung của các khái niệm đó.
GV đưa ra dãy số: 1, 5, 3, 2, 4, 7, ... . Đặt u1 = 1, u2 = 5, u3 = 3, u4 = 2, u5 = 4, u6 = 7, .... 
* Cách đánh số như trên có sự tương ứng giống như khái niệm nào đã học ?
* Hàm số đó đi từ tập hợp nào vào tập hợp nào ?
GV chính xác hoá thành định nghĩa.
1. Định nghĩa:
Định nghĩa 1: Gọi M là tập hợp m số tự nhiên khác 0 đầu tiên M = {1, 2, ..., m}. Hàm số u : M đ R
 i # u(i) = ui cho ta tập hợp {u1, u2, ..., um} gọi là một dãy số hữu hạn và viết dưới dạng: u1, u2, ..., um.
Định nghĩa 2: Hàm số u : N* đ R
 n đ u(n) = un cho ta dãy số vô hạn : u1, u2, ..., un, ... Trong đó un gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát. 
Kí hiệu: dãy số (un) hay un.
GV nêu ví dụ.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và trả lời. (khái niệm hàm số)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ví dụ: 
a) Cho dãy số . Viết dạng khai triển và tìm số hạng tổng quát.
b) Cho dãy số (un) với un = 3. Viết dạng khai triển.
GV khẳng định: Dãy số trên được gọi là dãy hằng.
2. Các cách cho dãy số:
GV nêu các cách cho và kèm theo ví dụ.
a) Cho số hạng tổng quát của dãy un bằng công thức.
Ví dụ: Cho dãy số (un) với . Viết dạng khai triển.
b) Cho một mệnh đề mô tả các số hạng của dãy số.
Ví dụ: Cho dãy số (un) với un là số nguyên tố thứ n.
c) Cho bằng phương pháp truy hồi, tức là:
 + Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
 + Cho hệ thức truy hồi (là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng hay vài số hạng đứng trước nó).
Ví dụ 1: Cho dãy số .
 Tìm các số hạng của dãy.
Ví dụ 2: Cho dãy số 
 Tìm các số hạng của dãy.
GV: Dãy số cho trong ví dụ 2 gọi là dãy số Fibônaxi.
3. Cách biểu diễn hình học dãy số:
GV hướng dẫn HS biểu diễn dãy số trên trục số thông qua ví dụ cụ thể.
.
.
.
.
.
.
u5
u3
u2
u1
u4
0
1
Ví dụ. Biểu diễn hình học của dãy số như sau:
4. Dãy số tăng, dãy số giảm:
GV yêu cầu HS: Nhận xét về dãy số vừa biểu diễn. Từ đó nêu định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm và cho ví dụ.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
a) Dạng khai triển:
 và .
b) Dạng khai triển: 3,3,3,..., 3,...
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
HS theo dõi ví dụ.
HS suy nghĩ và trả lời.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GV chính xác hoá.
Định nghĩa 1: Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu "n ẻ N* ta có : un < un +1.
Vậy trong dãy số tăng thì: u1 < u2 < ... < un < ...
Định nghĩa 2: Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu "n ẻ N* ta có : un > un +1.
Vậy trong dãy số tăng thì: u1 > u2 > ... > un > ...
Định nghĩa 3: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
GV hướng dẫn HS nêu chú ý.
Chú ý:
10) Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.
20) Dãy số un tăng Û un - un -1 < 0 , "n ẻ N*.
 Dãy số un giảm Û un - un -1 > 0 , "n ẻ N*.
30) Dãy số un gọi là dãy số dương nếu un > 0, 
 "n ẻ N*.
 Xét dãy số dương un, ta có:
 + Dãy số un tăng Û , "n ẻ N*.
 + Dãy số un giảm Û , "n ẻ N*.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của dãy số .
GV yêu cầu HS nêu cách để nhận biết một dãy số là tăng hay giảm.
5. Dãy số bị chặn:
GV yêu cầu HS nêu miền giá trị của các dãy số sau:
HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
a) Dãy số giảm.
b) Dãy số tăng.
c) Dãy số này không là dãy số tăng, không là dãy số giảm.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
ĐS: Dãy số tăng.
HS suy nghĩ và trả lời. (viết dạng khai triển)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GV nêu định nghĩa.
Định nghĩa: 
 + Dãy số un được gọi là bị chặn trên, nếu :
 $ M sao cho "n ẻ N*, un [ M.
 + Dãy số un được gọi là bị chặn dưới, nếu :
 $ m sao cho "n ẻ N*, un ỏ m.
 + Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:
 $ m, M sao cho "n ẻ N*, m [ un [ M.
GV đặt câu hỏi: Các số m, M nới trong định nghĩa trên có phải là duy nhất không ?
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của dãy số .
Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của dãy số .
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
ĐS: dãy số bị chặn.
ĐS: dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
D - Chữa bài tập:
 * Xem lại lý thuyết và các ví dụ.
 * Ghi nhớ phương pháp chứng minh một dãy số là tăng, giảm, bị chặn.
 * Làm các bài tập 1 - 7 (SGK trang 94, 95).
E - Chữa bài tập:
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 1(94). Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:
 nếu n chẵn
 nếu n lẻ.
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 2(94). Cho . Tìm u7, u24, u2n, u2n+1.
Bài 3(94). Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
 a) Đều chia hết cho 3;
 b) Khi chia cho 5 còn dư 2.
Bài 4(94). Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau:
Bài 5(94). Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
Bài 6(95). Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn trên; bị chặn dưới; bị chặn ?
Bài 7(95). Chứng minh dãy số (un) xác định bởi: là dãy số giảm và bị chặn dưới.
a) un = 3n ;
b) un = 5n + 2.
 un = 2n - 1.3
a) Dãy số giảm.
b) Dãy số tăng.
c) Dãy số không phải là dãy số tăng, không phải là dãy số giảm.
a) Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
b) Dãy số bị chặn.
c) Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
d) Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
HD: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
 Đ3: cấp số cộng
 Tiết theo PPCT : 
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS nắm chắc định nghĩa, công thức tính số hạng tổng quát, tính chất các số hạng của cấp số cộng; đặc biệt là công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.
 HS biết cách vận dụng các tính chất của cấp số cộng để giải toán.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ.
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ:
1. Nêu định nghĩa dãy số (vô hạn, hữu hạn).
2. Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn ? Cho ví dụ.
3. Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy số 
C - Giảng bài mới: 
GV yêu cầu HS nhận xét về các dãy số sau:
 a) 3, 5, 2, 7, 9.
 b) 2, 5, 8, 11, 14, ...
 c) 9, 7, 5, 3, 1, -1, -3, ...
GV khẳng định: Dãy số có tính chất trên gọi là cấp số cộng.
GV yêu cầu HS nêu định nghĩa.
GV chính xác hoá.
1. Định nghĩa:
 Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d gọi là công sai.
un +1 = un + d
Vậy n = 1, 2, ... (1)
Kí hiệu cấp số cộng là: á u1, u2, u3, ..., un, ...
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và nêu nhận xét (về quan hệ giữa các số hạng): hai dãy số sau có các phần tử liên tiếp cách đều nhau.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nếu d = 0 thì dãy số có dạng: u1, u1, u1, ... gọi là dãy hằng.
GV nêu ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho 410, 6, 4, -2, -6, -10. Tìm u1 và d.
Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (un) gồm 5 số hạng với u1= 3, d = 3. Viết dạng khai triển.
2. Số hạng tổng quát:
GV yêu cầu HS từ các VD trên, hãy tìm công thức tính un theo u1 và d.
GV chính xác hoá thành định lý.
Định lý: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi
un +1 = u1 + (n - 1)d
công thức : (2)
GV yêu cầu HS chứng minh định lý.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Tìm số tự nhiên chia hết cho 7 thứ 117.
3. Tính chất các số hạng của một cấp số cộng:
GV đặt câu hỏi: Nêu quan hệ của uk -1, uk và uk +1?
GV chính xác hoá thành định lý.
Định lý: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối của cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng kề nó.
Tức là : k 2 (3)
GV yêu cầu HS chứng minh định lý.
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:
 Cho áu1, u2, u3, ..., un, ... với công sai d.
 Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un .
GV nêu định lý.
Định lý. Các công thức tính Sn là:
a) Sn tính theo u1 và d:
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
ĐS: 812
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh định lý.
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
 b) Sn tính theo u1 và un: 
GV yêu cầu HS chứng minh định lý.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ. Tính tổng của 1000 số tự nhiên chia hết cho 3 đầu tiên.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh định lý.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
ĐS: 149 850.
D - Chữa bài tập:
 * Xem lại lý thuyết và các ví dụ.
 * Ghi nhớ định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất của các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.
 * Làm các bài tập 1 - 9 (SGK trang 99, 100).
E - Chữa bài tập:
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 1(99). Trong các cấp số cộng dưới đây, hãy tìm số hạng un đã chỉ ra:
Bài 2(99). Tìm công sai d của một cấp số cộng hữu hạn, biết số hạng đầu u1 = 1 và số hạng cuối u15 = 43.
Bài 3(99). Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó.
Bài 4(99). Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng dưới đây, biết:
Bài 5(99). Tính tổng 10 số hạng đầu của mỗi cấp số cộng dưới đây, biết:
d = 3
c) Dãy số này không phải là cấp số cộng.
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 6(99). Ba góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng. Tìm ba góc đó.
Bài 7(100). Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Bài 8(100). Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm bốn số đó.
Bài 9(100). Người ta trồng 3 003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có một cây, hàng thứ hai có hai cây, hàng trứ ba có ba cây, v.v... Hỏi có bao nhiêu hàng cây ?
Ba góc của tam giác đó là 300, 600 và 900.
Cấp số cộng đó là: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31.
Bốn số đó là: 1, 4, 7, 10.
Có 77 hàng cây.
 Đ4: cấp số nhân
 Tiết theo PPCT : 
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS nắm vững định nghĩa, công thức tính số hạng tổng quát, tính chất của các số hạng của một cấp số nhân, đặc biệt là công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân (vì còn ứng dụng trong vật lý 12 ).
 HS biết cách vận dụng các công thức về cấp số nhân để giải toán.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ.
GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ: Hãy nêu
+ Định nghĩa cấp số cộng;
+ Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng; 
+ Tính chất các số hạng của cấp số cộng;
+ Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
C - Giảng bài mới: 
GV nêu ví dụ.
Ví dụ. Xét dãy số: 1, -2, 4, -8, ..., (-2)n-1, ...
GV yêu cầu HS nêu nhận xét về dãy số trên.
GV chính xác hoá: un+1 = -2.un , "n ẻ N*.
GV khẳng định: dãy số có tính chất đó được gọi là cấp số nhân.
GV yêu cầu HS: Hãy phát biểu định nghĩa cấp số nhân.
GV chính xác hoá.
1) Định nghĩa:
 Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q gọi là công bội.
un+1 = un.q
Vậy ,"n ẻ N* (1)
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Kí hiệu: :: u1, u2, u3, ... , un, ...
GV yêu cầu HS xét các trường hợp đặc biệt của cấp số nhân khi q = 0 hoặc q = 1 hoặc u1 = 0. 
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Các dãy số sau có phải là cấp số nhân không ? Nếu đúng hãy tìm công bội q.
2. Số hạng tổng quát:
GV yêu cầu HS: Từ công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng hãy dự đoán công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân.
GV chính xác hoá thành định lý.
Định lý: Số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu u1, công bội q ạ 0 được cho bởi công thức:
un = u1. qn -1
 (2) 
GV yêu cầu HS chứng minh định lý.
GV chính xác hoá.
Chứng minh:
+ Với n = 1 ị (2) đúng.
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ
 n = k ỏ 1, tức là: uk = u1. qk -1. 
Ta sẽ chứng minh (2) cũng đúng với n = k + 1, tức là: uk +1 = u1. qk 
Thật vậy: uk +1 = uk.q = (u1 . qk -1).q = u1. qk suy ra đpcm.
GV đặt câu hỏi: Tại sao trong định lý trên lại cần điều kiện q ạ 0 ? (Nếu q = 0 thì với n = 1 (2) sai.)
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có 
HS suy nghĩ và trả lời.
+ Nếu q=0 ta có :: u1,0,0,...,0,...
+ Nếu q=1 ta có :: u1,u1,u1,...,u1,..
+ Nếu u1=0 ta có :: 0, 0, 0,..., 0,...
a) Là cấp số nhân có .
b) Không là cấp số nhân.
c) Là cấp số nhân hữu hạn với .
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ giải ví dụ.
Giải: Có 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
3. Tính chất các số hạng của một cấp số nhân:
GV yêu cầu HS: Từ công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng hãy dự đoán công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân.
GV chính xác hoá thành định lý.
Định lý: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của 2 số hạng kề bên nó, tức là:
 k 2 (3) 
GV yêu cầu HS chứng minh định lý.
GV chính xác hoá.
Chứng minh:
Theo (2) ta có: uk -1 = u1 qk -2 ; uk +1 = u1 qk
ị uk -1uk +1 = u12 q2(k -1) = (u1 qk -1)2 = uk2 ị đpcm.
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân:
Cho cấp số nhân u1,u2, ...,un,... với công bội q ạ1. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân đó là:
 Sn = u1 + u2 + ... + un.
GV yêu cầu HS: Tính Sn theo u1 và q rồi biến đổi.
GV hướng dẫn HS áp dụng công thức an - bn với a =1 và b = q.
GV chính xác hoá.
Ta có: Sn = u1 + u1q + u1q2 + ... + u1qn -2 + u1qn -1
 = u1(1 + q + q2 + ... + qn -2 + qn -1)
Vì 1 - qn = (1- q)(1 + q + q2 + ... + qn -2 + qn -1)
nên .
GV nêu thành định lý.
Định lý: Ta có (q ạ 1)
GV nêu ví dụ áp dụng.
Ví dụ. Tính các tổng sau:
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và chứng minh định lý.
HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
D - Chữa bài tập:
 * Xem lại lý thuyết và các ví dụ.
 * Ghi nhớ định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất của các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
 * Làm các bài tập 1 - 8 (SGK trang 104).
E - Chữa bài tập:
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 1(104). Cho các cấp số nhân, tính un :
Bài 2(104). Tìm công bội q của một cấp số nhân hữu hạn, biết u1 = 2, u11 = 64.
Bài 3(104). Tính u1 và q biết:
Bài 4(104). Tìm các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng:
a) Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 243.
b) Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243, số hạng cuối là 1.
Bài 5(104). Một cấp số nhân có 5 số hạng. Tìm u5 và S5 biết u1 = 2, q = 3.
Bài 6(104). Một cấp số nhân có 9 số hạng, biết rằng u1 = 5, u9 = 1280. Tính q và S.
a) Có hai cấp số nhân thoả mãn là:
3, -9, 27, -81, 243 và 3, 9, 27, 81,243
b) Cấp số nhân cần tìm là:
 243, 81, 27, 9, 3, 1.
 u5 = 162 và S5 = 242.
 q = 2 và S9 = 2555
 hoặc q = -2 và S9 = 855
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 7(104). Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.
Bài 8(104). Tính các cạnh của một hình hộp chữ nhật, biết rằng thể tích của nó bằng a3, diện tích toàn phần bằng 2ma2 và ba cạnh lập thành cấp số nhân (với a ạ 0 và m > 0).
Bốn góc của tứ giác đó là: 90 , 270, 810 và 2430.
Ba cạnh của hình hộp chữ nhật là: hoặc với 
 ôn tập chương III
Tiết theo PPCT : 
 Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
 HS nhớ lại một cách có hệ thống các kiến thức đã học trong chương III về: phương pháp chứng minh quy nạp, dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
 HS biết cách: chứng minh bằng phương pháp quy nạp, xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy số, giải các bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân.
II - Tiến hành:
A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ.
GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ: Hãy nêu
 1. Phương pháp chứng minh quy nạp.
 2. Định nghĩa tình dơn điệu và bị chặn của dãy số.
 3. Định nghĩa và các công thức về cấp số cộng.
 4. Định nghĩa và các công thức về cấp số nhân.
HS nhớ lại các kiến thức đã học và trả lời.
C - Chữa bài tập:
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
Bài 1(105). Chứng minh rằng "n ẻ N*, biểu thức un= n3 +11n 6.
Bài 2(105). Xét tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số sau:
Bài 3(105). Xác định u1 và d, biết rằng:
HD: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
a) Dãy số tăng, bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
b) Dãy số không đơn điệu nhưng bị chặn.
c) CM quy nạp dãy số dã cho tăng và bị chặn.
Đề bài
Hướng dẫn - Đáp số
 Bài 4(105). Năm số lập thành cấp số cộng, tổng của chúng bằng 5, tích của chúng bằng 45. Tìm 5 số đó.
Bài 5(105). Bốn số nguyên lập thành cấp số cộng, tổng của chúng bằng 29, tổng các nghịch đảo của chúng bằng . Tìm 4 số đó.
Bài 6(105). Tìm u1 và q biết:
Bài 7(105). Một cấp số nhân có 5 số hạng, công bội bằng một phần tư số hạng thứ nhất, tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm cấp số nhân đó.
Bài 8(105). Độ dài các cạnh của DABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng DABC có hai góc không lớn hơn 600.
Bài 9(105). Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân biết tổng của ba số hạng đầu bằng đồng thời chúng theo thứ tự là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Năm số đó là : -3, -1, 1, 3, 5.
Bốn số đó là : 2, 4, 6, 8.
Cấp số nhân đó là: -12, 36, -108, 324, -972 hoặc 8, 16,32, 64, 128.
HD: Dùng định lý Cosin trong D.
Cấp số nhân đó là: hoặc u1 = u2 = u3 =