Giáo án dạy thêm Toán 9

Chủ đề 1
CĂN BẬC HAI ĐỊNH NGHĨA VÀ KÍ HIỆU
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1. NHẮC LẠI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA BẬC HAI.
Ta có một số tính chất sau :
Tính chất 1 : Bình phương hay lũy thừa bậc hai của mọi số đều không âm.
 Tức là , ta luôn có : a2 0, a R.
Tính chất 2 : Hai số bằng nhau hoặc đối nhau có bình phương bằng nhau. Ngược lại, nếu hai số có bình phương bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau.
 Tức là , ta luôn có : a2 = b2 
Tính chất 3 : Với hai số dương a, b ta có : a2 > b2 a > b.
Tính chất 4 : Bình phương của một tích bằng tích các bình phương của mỗi thừa số.
 Tức là , ta luôn có : (ab)2 = a2b2.
Tính chất 5 : Bình phương của một thương bằng thương củ bình phương của số chia với bình phương số chia.
 Tức là , ta luôn có : .
Ví dụ 1: thực hiện phép tính :
32. 
(- 0,05)2 : 
Giải :
a) Ta có ngay : 32. = 32 = 22 = 4.
b) Ta có ngay : (- 0,05)2 : 
 = : 
 = . 1002 = 52 = 25.
2. CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ :
Bài toán 1 : Tìm cạnh hình của hình vuông có diện tích bằng 25.
Bài toán 2 : Cho a R. Hãy tìm số thực x sao cho x2 = a.
Bài toán 1 : 
Giải : Gọi cạnh của hình vuông là x, điều kiện x > 0. Từ giả thiết ta có :
 x2 = 25 (Vì (5)2 = (-5)2 = 25).
x = -5 (loại)
Vậy cạnh hình vuông bằng 5.
Bài toán 2 : 
Giải : Xét phương trình : x2 = a.
Ta có nhận xét :
+) Nếu a < 0 x2 = a < 0 . Không tồn tại x.
+) Nếu a > 0 , theo bài toán 1 ta thấy tồn tại hai số thực :
 x1 > 0 và x12 = a.
 x2 < 0 và x22 = a.
Hơn nữa, ta còn có x1 và x2 đối nhau.
Chú ý : Người ta chứng minh được rằng, với mọi số thực a 0 luôn tồn tại duy nhất x 0 thỏa mãn x2 = a. Ta kí hiệu x = và gọi là căn bậc hai số học của a.
 Từ đó, ta có định nghĩa căn bậc hai số học :
Định nghĩa : Căn bậc hai số học của một số a 0 là một số x 0, thỏa mãn x2 = a.
Tức là : x = , với a 0.
Ví dụ 2: a) CBHSH của 16 là 4. Kí hiệu : = 4 (vì 4 > 0 và 42 = 16).
b) = 1,2 ( vì 1,2 > 0 và 1,22 = 1,44)
c) = = 8 (vì 8 > 0 và 82 = 64).
Chú ý : Rất nhiều HS nhầm lẫn công thức : = a, dẫn tới = -8.
Cần chú ý rằng : = , do đó = = 8.
Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức :
M = - 
Ví dụ 3:
Giải : Ta biến đôir biểu thức về dạng :
M = - 
 = 0,3 - = 
 = 
Chú ý : 
 Ta thấy rằng, số - 0). Và số - đgl căn bậc hai âm của a.
Vậy với mọi số thực a > 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, trong đó .
+) > 0 đgl căn bậc hai số học hay còn gọi căn bậc hai dương của a.
+) - < 0 đgl căn bậc hai âm của a.
Một cách tổng quát trên R :
1. Một số dương a > 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau :
 +) > 0 đgl căn bậc hai số học hay còn gọi căn bậc hai dương của a.
 +) - < 0 đgl căn bậc hai âm của a.
2. Số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0. Kí hiệu : = 0.
3. Số âm không có căn bậc hai.
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA :
Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau 
a) .
b) - .
Ví dụ 2 : Tìm x, biết :
x2 = .
x2 = 3 .
4x2 = 0,16 .
(x – 1)2 = 
Ví dụ 1 : 
Giải : 
a) Ta có : 
 = + 
 = 0,4 + 
 = + = 
b) Ta có : - 
 = - 
 = - 0,6 
 = - = .
Ví dụ 2 : 
Giải : 
a) x2 = (Vì ).
Vậy, tập nghiệm của phương trình là :
 S = 
b) x2 = 3 = ()2 
 x = 
Vậy, tập nghiệm của phương trình là : 
 S = 
c) 4x2 = 0,16 x2 = 0,04 = ()2
 x = .
Vậy, tập nghiệm của phương trình là :
 S = 
d) (x – 1)2 = 
 (x – 1)2 = 
Vậy, tập nghiệm của phương trình là :
 S = 
Nhận xét : 
 Như vậy, thông qua ví dụ trên ta đã làm quen được với việc sử dụng khái niệm căn bậc hai để tìm nghiệm của phương trình . Tuy nhiên, chúng ta mới chỉ bắt đầu với phương trình dạng x2 = a2 hoặc cần biến đổi đôi chút để có được dạng này. Ví dụ tiếp theo sẽ nâng mức tiếp cận cho chúng ta.
Ví dụ 3 : Tìm x, biết :
x2 = 4 - 2.
x2 + 4x = 23 - 10.
(2x – 1)2 = .
(x – 1)2 + (2x + 1)2 = 0
Giải :
a) Ta biến đổi phương trình :
 x2 = 4 - 2 = ( - 1)2 
 x = ( - 1)
 x = - 1 hoặc 1 - .
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
 S = .
b) x2 + 4x = 23 - 10
 x2 + 4x + 4 = 27 - 10
 (x + 2)2 = (5 - )2
 x + 2 = (5 - )
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
 S = .
c) Ta có : (2x – 1)2 = 2
 (2x – 1)2 = 
 2 = 
 2 - = 0
 ( - 1) = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là :
 S = .
d) Vì vế trái là tổng của m hai bình phương (hai số không âm) nên phương trình :
 (x – 1)2 + (2x + 1)2 = 0
 , điều này không xảy ra
Vậy, phương trình vô nghiệm.
Chú ý : Chúng ta đã biết rằng :
 a2 0 và b2 0 a2 + b2 0
 điều đó cho ta thấy : a2 + b2 = 0 
Ví dụ 4 : Tìm x, biết :
 x2 = a ( a là hằng số)
Ví dụ 5 : So sánh các số sau :
x = 4 và y = 3
Giải :
Với phương trình : 
 x2 = a ( a là hằng số)
ta đi xét ba trường hợp của a :
+) Nếu a > 0 thì tập nghiệm của phương trình là S = .
+) Nếu a = 0 thì tập nghiệm của phương trình là S = .
+) Nếu a < 0 thì phương trình vô nghiệm 
 S = .
Giải :
Ta có : 
 x > y.
Nhận xét :
 Để so sánh hai số, nhiều khi ta cần so sánh bình phương của chúng . 
Khi đó ta cần lưu ý :
 +) a2 = b2 
 +) a2 > b2 
Các kết quả trên sẽ cho phép chúng ta tìm được nghiệm của bất phương trình .
Ví dụ 6 : Tìm giá trị của x, biết :
x2 > 16
x2 < 25
x2 
(x – 1)2 4.
Giải :
 Ta biết với a > 0 thì :
 x2 > a2 > a và x2 < a2 < a
a) Ta có : 
 x2 > 16 x2 > 42 > 4 
b) Ta có : 
 x2 < 25 x2 < 52 < 5 
 -5 < x < 5.
c) Ta có : 
 x2 x2 
 - x 
c) Ta có : 
(x – 1)2 4 (x – 1)2 22
 2
Chú ý : Các em HS cần thận trọng khi giải dạng bài toán này vì có thể mắc sai lầm dẫn đến làm mất nghiệm :
 x2 > 42 x > 4
hoặc thừa nghiệm : x2 < 52 x < 5
Chúng ta sẽ tiếp tục với các bất phương trình phức tạp hơn trong ví dụ sau.
Ví dụ 7 : Tìm giá trị của x, biết :
x2 + 2x – 3 > 0
4x2 – 4x < 8 
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng :
a) A = 15x2 + (x2 – 4x + 4) > 0 R
b) B = x2(x2 + 6x + 9) 0 R. 
Giải :
a) Ta biến đổi :
 x2 + 2x – 3 > 0
 x2 + 2x + 1 > 4
 (x + 1)2 > 22
 > 2
b) Ta biến đổi :
 4x2 – 4x < 8
 4x2 – 4x + 1 < 9
 (2x – 1)2 < 32
 < 3
 - 3 < 2x -1 < 3
 - 1 < x < 2.
Giải :
a) Viết lại : A = 15x2 + (x2 – 4x + 4)
 = 15x2 + (x – 2)2
Ta có : 
Trong trường hợp này dấu “ = ” không xảy ra do x không thể đồng thời nhận hai giá trị x = 0 và x = 2. Vậy, ta đựoc :
 15x2 + (x – 2)2 > 0 R
hay : A = 15x2 + (x2 – 4x + 4) > 0 R
 (đpcm)
b) Ta có : 
Dấu “=” xảy ra
Vậy B = x2(x2 + 6x + 9) 0 R
 (đpcm)
Chú ý : Trong bài toán chứng minh giá trị các biểu thức không âm chúng ta cố gắng phân tích biểu thức thành tổng hay tích các bình phương. Cũng có thể sử dụng phương pháp này để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức như trong ví dụ sau :
Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 A = x2 – 8x + 3
Giải :
Ta có : A = x2 – 8x + 3
 = x2 – 2.4x + 16 – 13
 = (x – 4)2 – 13 
Do (x – 4)2 0 R
Suy ra : A = (x – 4)2 – 13 - 13 R
Dấu “=” xảy ra (x – 4)2 = 0 x = 4
Vậy min A = -13 tại x = 4.
Nhận xét : Từ định nghĩa về căn bậc hai, chúng ta có mở rộng :
Kết quả trên sẽ được sử dụng nhiều trong bài toán giải phương trình.
Ví dụ 9 : Giải các phương trình sau :
a) .
b) .
Áp dụng kiến thức : 
c) .
Áp dụng kiến thức : 
Giải :
a) .
(
 x – 1 = 9 
 x = 10 . 
b) . 
 x = 0
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
c) 
 x = 1
III. BÀI TẬP :
Bài tập 1 : Thực hiện phép tính :
(-5)2 . .
(-0,25)2 : .
Bài tập 2 : Tìm x biết : 
x2 = 9.
x2 = (-2)2
4x2 + 1 = 8 - 2.
x2 + 1 = 6 - 2.
Bài tập 3 : So sánh các cặp số sau :
0,3 và 0,2(5) 
4 và 2.
2 và 3.
6 và 7.
Bài tập 4 : Chứng minh các bất đẳng thức sau nghiệm đúng với mọi x . 
x2 + 1 2x.
2x2 + 2x -1 -15.
x2(x2 - 1) x2 - 1.
 d) 9x2 + 6ax + 9a2 + 8 > 0, a là hằng số .
Bài tập 5 : Tìm giá trị của x biết :
Bài tập 6 : 
Bài tập 7 : 
Bài tập 8 : 
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài tập 9 : 
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài tập 10 : 
a) 
b) 
c)