Giáo án Toán Lớp 8 Trường THCS Quỳnh Vinh - Quỳnh Lưu - Nghệ An

Chñ ®Ò I: c¸c phÐp to¸n trªn ®a thøc. (5 tiÕt)
TiÕt 1. c¸c d¹ng to¸n vÒ phÐp nh©n trªn c¸c ®a thøc
A. Môc tiªu.
HS ®­îc cñng cè, rÌn luyÖn kü n¨ng nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc th«ng qua c¸c d¹ng to¸n
B. ChuÈn bÞ.
GV: B¶ng phô ghi s½n hÖ thèng bµi tËp, phÊn mµu
C. TiÕn tr×nh d¹y häc.
1 KiÓm tra. Nªu quy t¾c nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc?, ViÕt c«ng thøc tæng qu¸t biÓu thÞ?
2. Néi dung
Ho¹t ®éng cña GV vµ HS
Néi dung
GV: §­a b¶ng phô ghi hÖ thèng bµi tËp, yªu cÇu HS lµm viÖc theo nhãm.
 Nöa líp lµm c©u a, nöa líp cßn l¹i lµm c©u b 
2HS lªn b¶ng tr×nh bµy.

HD: Thùc hiÖn nh©n sau ®ã thu gän c¸c h¹ng tö ®ång d¹ng.
2HS lªn b¶ng thùc hiÖn


HD: Thu gän sau ®ã thay c¸c gi¸ trÞ cña x, y, z vµo vµ tÝnh.
2HS lªn b¶ng thùc hiÖn.


HD: Thu gän sau ®ã nhËn xÐt gi¸ trÞ cña biÓu thøc cã thay ®æi kh«ng khi x thay ®æi c¸c gi¸ trÞ.
2HS lªn b¶ng thùc hiÖn.




HD: thu gän ®­a vÒ d¹ng ax = b => x = , hoÆc ®­a vÒ d¹ng x2 = a => x = nÕu a ³ 0
1. D¹ng c¬ b¶n
Lµm tÝnh nh©n.
a) 
b) 
2. D¹ng rót gän. Rót gän c¸c biÓu thøc sau.
a) 
b) 
3. D¹ng tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc.
a) 

4. D¹ng chøng minh biÓu thøc.
a) Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo c¸c gi¸ trÞ cña biÕn.

b) Chøng minh ®¼ng thøc sau

5. D¹ng t×m x
a) 
b) 
D. H­íng dÉn vÒ nhµ.
 - Xem l¹i c¸c d¹ng to¸n ®· ch÷a trªn líp.
 - Lµm bµi tËp sau:
	1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 
	2. Cho biÓu thøc: A = 5x + 2y; B = 9x + 7y
	a) Rót gän biÓu thøc: 7A - 2B
	b) Chøng minh r»ng: NÕu c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n 5x + 2y chia hÕt cho 17 th× 9x + 7y còng chia hÕt cho 17.

TiÕt 2.	
c¸c d¹ng to¸n vÒ phÐp nh©n trªn c¸c ®a thøc (tiÕp)
A. Môc tiªu.
TiÕp tôc cho HS rÌn luyÖn kü n¨ng nh©n ®a thøc víi ®a thøc th«ng qua c¸c d¹ng to¸n
B. ChuÈn bÞ.
GV: B¶ng phô ghi s½n hÖ thèng bµi tËp, phÊn mµu
C. TiÕn tr×nh d¹y häc.
1 KiÓm tra. Nªu quy t¾c nh©n ®a thøc víi ®a thøc?, ViÕt c«ng thøc tæng qu¸t biÓu thÞ?
2. Néi dung
Ho¹t ®éng cña GV vµ HS
Néi dung
D¹ng 1 Yªu cÇu ®èi víi c©u b HS thùc hiÖn nh©n theo c¸ch 2 ®Æt phÐp nh©n t­¬ng tù nh©n c¸c sè.



2HS lªn b¶ng th­c hiÖn
D¹ng 2
HD: T×m c¸ch thu gän c¸c biÓu thøc sau ®ã thay c¸c gi¸ trÞ cña x vµo råi tÝnh. 
a)§Ó ý r»ng: 8 = 7 + 1 = x + 1
Tõ ®ã ta cã: N = x15 - 8x14 + 8x13 - 8x12 + ...- 8x2 + 8x - 5 = x15 - (x + 1)x14 + (x+1)x13 - (x+1)x12 + ...- (x+1)x2 + (x+1)x - 5
=...
b) §Ó ý r»ng: 
c¸c hÖ sè: 15 = 14 + 1 = x + 1
 16 = 14 + 2 = x + 2
 13 = 14 - 1 = x - 1
 29 = 13 + 16 
Tõ ®ã ta cã: 
M = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x
 = x5 - (14+1)x4 + (x+2)x3 - (x+2)x2 -(x-1)x2 + (x-1)x
= ...
2HS lªn b¶ng th­c hiÖn.
D¹ng 3.
a) VT = x2 - ax - bx + ab + x2 - bx - cx + bc + x2 - cx - ax + ac = 3x2- 2x(a + b + c) + ab + bc + ca.
Do a + b + c 2x nªn
VT = 3x2 - 2x.2x + ab + bc + ca 
= 3x2 - 4x2 + ab + bc + ca 
= ab + bc + ca - x2 = VP (®pcm)
b) (2m - 3)(3n - 2) - (3m - 2)(2n - 3)
= 6mn - 4m - 9n + 6 - 6mn + 9m + 4n - 6 = 0 chia hÕt cho 5 víi mäi m, n
2HS lªn b¶ng thùc hiÖn
D¹ng 1. Thùc hiÖn c¸c phÐp nh©n sau.
(x2 - yz)(y2 - xz)(z2 - xy).
b) (x2 + x + 1)(x3 - x + 1)
 x2 + x + 1
 x 
 x3 - x + 1






D¹ng 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc.
N = x15 - 8x14 + 8x13 - 8x12 + ...- 8x2 + 8x - 5 víi x = 7






M = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x t¹i x = 14.









D¹ng 3. Chøng minh.
chøng minh h»ng ®¼ng thøc:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = ab + bc + ca - x2, biÕt r»ng 2x = a + b + c.



b) Chøng minh biÓu thøc (2m - 3)(3n - 2) - (3m - 2)(2n - 3) chia hÕt cho 5 víi mäi gi¸ trÞ cña m, n.

D. H­íng dÉn vÒ nhµ.
 - Xem l¹i c¸c d¹ng to¸n ®· ch÷a trªn líp.
 - Lµm bµi tËp sau:
	1.TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = x3 - 50x2 - 51x + 1 t¹i x = 51.
	2. T×m gi¸ trÞ cña c¸c ®a thøc: a) (x2+y2)(x2-y2)(x-y)+xy(x3+y3) víi x = -1, y = .
***********************************

TiÕt 3. 	øng dông cña c¸c h»ng ®¼ng thøc.
A. Môc tiªu.
HS ®­îc cñng cè l¹i c¸c h»ng ®¼ng thøc ®· häc trong ch­¬ng tr×nh, ph¸t hiÖn thªm mét sè h»ng ®¼ng thøc míi th«ng qua gi¶i c¸c bµi tËp.
HS ®­îc rÌn luyÖn kü n¨ng vËn dông c¸c h»ng ®¼ng thøc vµo viÖc gi¶i to¸n.
B. ChuÈn bÞ.
GV: B¶ng phô ghi s½n hÖ thèng bµi tËp, phÊn mµu
C. TiÕn tr×nh d¹y häc.
1 KiÓm tra. ViÕt c«ng thøc tæng qu¸t c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí?
2. Néi dung.
Ho¹t ®éng cña GV vµ HS
Néi dung
Bµi 1. 2HS lªn b¶ng thùc hiÖn
a) x2 - 2x(y +1) + y2 + 2y + 1
= x2 - 2x(y +1) + (y + 1)2 
= (x - y - 1)2.
b). u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) +2
= u2 + v2 + 2u + 2v + 2uv + 2u + 2v + 2 +2
= u2 + 2uv + v2 + 4u + 4v + 4
= (u + v)2 + 4(u + v) + 4
= (u + v + 2)2.
Bµi 2. 2HS thùc hiÖn 2 c©u a vµ c.
a.) VT = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 
= a2 + 2ab + b2 + b2 + 2bc + c2 + c2 + 2ac + a2
= (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = VP (®pcm).
c) a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a2 + 3a + 1)2.
=> a(a + 1)(a + 2)(a + 3) = (a2 + 3a + 1)2 - 1
VP = (a2 + 3a + 1 - 1)(a2 + 3a + 1 + 1)
 = (a2 + 3a )(a2 + 3a + 2)
 = a(a + 3)[(a2 + 2a + 1) + (a + 1)]
 = a(a + 3)[(a + 1)2 + (a + 1)]
 = a(a + 3)[(a + 1)(a + 1 + 1)]
 = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) = VT (®pcm)

Bµi 3. 2 HS lªn b¶ng thùc hiÖn.
a) VT = (5x - 3y)2 - 16z2.
Do x2 = y2 + z2 nªn z2 = x2 - y2.
Ta cã VT = (5x - 3y)2 - 16z2 
 = (5x - 3y)2 - 16(x2 - y2)
 = 25x2 - 30xy + 9y2 - 16x2 + 16y2.
 = 9x2 - 30xy + 25y2
 = (3x - 5y)2 = VP (®pcm).
b) Ta cã: (7x - 3y + 2z)(7x - 3y - 2z) 
= (7x - 3y)2 - 4z2. Do 10x2 - 10y2 = z2 nªn
 (7x - 3y)2 - 4z2 = (7x - 3y)2 - 4(10x2 - 10y2)
= 49x2 - 42xy + 9y2 - 40x2 + 40y2
= 9x2 - 42xy + 49y2 = (3x - 7y)2 = k2 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng, víi mäi x, y, z.

Bµi 4. 2HS lªn b¶ng ®ång thêi thùc hiÖn
(x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -10
=> x3 + 3x2 + 3x + 1 - x3 + 3x2 - 3x + 1 - 6x2 + 12x - 6 = -10
=> 12x - 4 = -10
=> 12x = 6
=> x = 
Bµi 1. BiÓu diÔn c¸c ®a thøc sau d©y d­íi d¹ng b×nh ph­¬ng cña mét tæng hoÆc mét hiÖu.
x2 - 2x(y +1) + y2 + 2y + 1
u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) +2





Bµi 2. Chøng minh r»ng:
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)...(22008 + 1) + 1 = 24016.
a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a2 + 3a + 1)2.






Bµi 3. 
Cho x2 = y2 + z2. Chøng minh r»ng:
(5x - 3y + 4z)(5x - 3y - 4z) = (3x - 5y)2
Cho 10x2 - 10y2 = z2. Chøng minh r»ng.
(7x - 3y + 2z)(7x - 3y - 2z) lµ mét sè chÝnh ph­¬ng víi mäi x, y, z.








Bµi 4. T×m x biÕt:
(x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -10







D. H­íng dÉn vÒ nhµ.
 - Xem l¹i c¸c d¹ng to¸n ®· ch÷a trªn líp.
 - Lµm bµi tËp sau: Trong hai sè sau sã nµo lín h¬n:
a) A = 1632 + 74.163 + 372 vµ B = 1472 - 94.147 + 472
b) C = (22 + 42 + 62 + ... + 1002) - (12 + 32 + 52 +...+992) vµ D = 38.78 - (214 - 1)(214 + 1)
c) E = vµ F = 

****************************

TiÕt 4. 	 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nh­ thÕ nµo.
A. Môc tiªu.
HS ®­îc cñng cè l¹i c¸c ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®· häc trong ch­¬ng tr×nh, ph¸t hiÖn thªm mét sè c¸ch ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö kh¸c th«ng qua gi¶i c¸c bµi tËp.
HS ®­îc rÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö th«ng qua viÖc gi¶i to¸n.
B. ChuÈn bÞ.
GV: B¶ng phô ghi s½n hÖ thèng bµi tËp, phÊn mµu
C. TiÕn tr×nh d¹y häc.
1 KiÓm tra. Nªu c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®· häc?
	Ph©n tÝch ®a thøc x2 + 4 + 4x - 1 thµnh nh©n tö
2. Néi dung
Ho¹t ®éng cña GV vµ HS
Néi dung
GV: NÕu nh­ yªu cÇu thu gän ®a thøc trªn th× em lµm nh­ thÕ nµo?
 Yªu cÇu ®Æt ra lµ ph©n tÝch ®a thøc míi lµ x2 + 4x + 3 thµnh nh©n tö th× ta lµm nh­ thÕ nµo? LiÖu cã thÓ ®Æt nh©n tö chung hay sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®· häc vµo c¸c bµi to¸n nµy hay kh«ng? VËy ph¶i lµm nh­ thÕ nµo ®Ó ph©n tÝch c¸c ®a thøc trªn thµnh nh©n tö?















Nh­ vËy ®èi víi phÇn a bµi cò ta ®· sö dông ph­¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ®a thøc x2 + 4x + 3 thµnh nh©n tö?
Ta ®· t¸ch h¹ng tö nµo? T¸ch nh­ thÕ nµo?
Cßn cã c¸ch t¸ch nµo kh¸c n÷a kh«ng? H·y tr×nh bµy?
GV: LiÖu cã c¸ch lµm chung cho c¸c bµi to¸n d¹ng nh­ vËy hay kh«ng? NÕu cã th× c¸ch lµm ®ã nh­ thÕ nµo?
GV Tõ c¸c vÝ dô trªn em h·y quan s¸t vµ ®­a ra c¸ch t¸ch c¸c h¹nh tö nh­ thÕ nµo?
 Quan s¸t b1, b2 cã quan hÖ g× víi a, b, c hay kh«ng?







Cho HS ¸p dông ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
a) x2 - 6x + 8
b) 4x2 - 3x - 1
Mçi nöa líp lµm mét c©u, ®¹i diÖn 2HS lªn b¶ng tr×nh bµy.










1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch 1 h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö.
VÝ dô1: Ph©n tÝch ®a thøc x2 - 3x + 2 thµnh nh©n tö.
Gi¶i.
T¸ch -3x = -x - 2x.
Ta cã: x2 - 3x + 2 = x2 - x - 2x + 2
= (x2 - x) -(2x - 2) = x(x - 1) - 2(x - 1)
=(x - 2)(x - 1).
HoÆc t¸ch 2 = .
Ta cã: x2 - 3x + 2 = x2 - 3x + 
= (x2 - 3x + ) - = 
= = (x - 2)(x - 1)
VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc x2 + 4x + 3 thµnh nh©n tö
Ta cã x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3
= (x2 + x) + (3x + 3) = x(x + 1) +3(x + 1)
= (x + 3)(x + 1)
* Tæng qu¸t: Ph©n tÝch ®a thøc ax2 + bx + c thµnh nh©n tö
Ta ph¶i cã ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c
 hoÆc: ax2 + bx + c = ax2 + bx + c1 + c2.

- Tr­êng hîp t¸ch bx = b1x + b2x. Th× ph¶i cã:
 
- Tr­êng hîp t¸ch c = c1 + c2. Th× ph¶i t¸ch sao cho khi kÕt hîp c1, c2 víi ax2 hoÆc bx th× ph¶i xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc.
2. ¸p dông. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
a) x2 - 6x + 8
b) 4x2 - 3x - 1
Bµi lµm:
a) x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = (x2 - 2x) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 4)(x - 2)
hoÆc:
x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1 = (x - 3)2 - 1
= (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2)
b) 4x2 - 3x - 1 = 4x2 - 4x + x - 1
 = (4x2 - 4x) + (x - 1) = 4x(x - 1) + (x - 1)
 =(x + 1)(4x + 1) 
HoÆc:
4x2 - 3x - 1 = 3x2 + x2 - 3x - 1 
= (3x2 - 3x) + (x2 - 1) = 3x( x - 1) + (x - 1)(x + 1) = (x - 1)(3x + x + 1) = (x - 1)(4x + 1)
HoÆc:
4x2 - 3x - 1 = 4x2 - 3x + 
= (2x)2 - 2.2.x + - 
= 
= 
= 
 = 2(x - 1)2(x + ) = 4(x - 2)(x + )
= (x - 2)(4x +1)
* Chó ý: Khi t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc ta cÇn chó ý sao cho ®a thøc míi cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc hoÆc cã xuÊt hiÖn nh©n tö chung...
D. H­íng dÉn vÒ nhµ.
 - Xem l¹i c¸c d¹ng to¸n ®· ch÷a trªn líp.
 - Lµm bµi tËp sau: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x2 - 5x - 14
	b) 6x4 - 11x2 +3
c) x2 - 7xy + 12y2.
	d) x4 + 4.

*********************************

TiÕt 5.
 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nh­ thÕ nµo.
A. Môc tiªu.
HS ®­îc cñng cè l¹i c¸c ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®· häc trong ch­¬ng tr×nh, ph¸t hiÖn thªm mét sè c¸ch ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö kh¸c th«ng qua gi¶i c¸c bµi tËp.
HS ®­îc rÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö th«ng qua viÖc gi¶i to¸n.
B. ChuÈn bÞ.
GV: B¶ng phô ghi s½n hÖ thèng bµi tËp, phÊn mµu
C. TiÕn tr×nh d¹y häc.
1 KiÓm tra. 
HS1. Nªu c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®· häc?
 Ph©n tÝch ®a thøc 4x4 + 4x2 + 1 - 4x2 thµnh nh©n tö?
HS2: Ph©n tÝch ®a thøc: x2 - 5x - 14 thµnh nh©n tö.?
2. Néi dung
Ho¹t ®éng cña GV vµ HS
Néi dung
GV: Ta thÊy ®a thøc 4x4 + 4x2 + 1 - 4x2 = 4x4 + 1. VËy sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p ®· häc cã thÓ ph©n tÝch ®a thøc 4x4 + 1 thµnh nh©n tö ®­îc kh«ng?
GV: Nh×n vµo ®a thøc ®· cho ë bµi cò em thÊy cã ®iÒu g× ®Æc biÖt? Tõ ®ã em h·y nªu c¸ch ph©n tÝch ®a thøc 4x4 + 1 thµnh nh©n tö?





HS lµm ¸p dông
2HS lªn b¶ng thùc hiÖn








3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch thªm bít vµo ®a thøc cïng mét h¹ng tö 
* VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc 64x4 + 1 thµnh nh©n tö.
Ta thªm vµ bít h¹ng tö 16x2 vµo ®a thøc ta cã:
64x4 + 1 = 64x4 + 16x2 + 1 - 16x2.
= ( 8x2 + 1)2 - (4x)2 = (8x2+4x+1)( 8x2-4x+1)
4. ¸p dông. 
a) Ph©n tÝch ®a thøc 81x4 + 4 thµnh nh©n tö?
Ta thªm vµ bít vµo ®a thøc h¹ng tö: 36x2
Ta cã: 81x4 +36x2 + 4 - 36x2
= (9x2 + 2)2 - (6x)2 = (9x2+6x+2)(9x2-6x+2).

b) Ph©n tÝch ®a thøc x5 + x + 1 thµnh nh©n tö?
 C¸ch 1
Ta thªm vµ bít c¸c h¹ng tö x4, x3, x2 vµo ®a thøc. Ta cã: 
x5 + x + 1 = x5 + x4+ x3 + x2 + x + 1 - x4- x3- x2
= (x5 + x4+ x3) - (x4 + x3+ x2) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) - x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)( x3 - x2 + 1)

C¸ch 2.
Ta cã thÓ thªm bít h¹ng tö x2 vµo ®a thøc.
Ta cã:
x5 + x + 1 = x5 + x2 + x + 1 - x2
 = (x5 - x2) + (x2 + x + 1)
= x2(x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= x2(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[ x2(x - 1) + 1)]
= (x2 + x + 1)( x3 - x2 + 1).
* Chó ý: Khi thªm, bít c¸c h¹ng tö vµo ®a thøc ta cÇn chó ý sao cho ®a thøc míi cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc hoÆc cã xuÊt hiÖn nh©n tö chung...
D. H­íng dÉn vÒ nhµ.
 - Xem l¹i c¸c d¹ng to¸n ®· ch÷a trªn líp.
 - Lµm bµi tËp sau: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
	a) (x2-8)2+36	b) x7 + x2 + 1	c) x3 + x2 + 4	d) x3 - 2x - 4.
- §äc thªm c¸c c¸ch ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö kh¸c nh­: §æi biÕn, t×m nghiÖm cña ®a thøc, xÐt gi¸ trÞ riªng, t×m nghiÖm cña ®a thøc, ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh...
§äc thªm
1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3 + 3x2 - 4
Ta t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc trªn b»ng ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc . NÕu ®a thøc trªn cã nh©n tö lµ x - a th× nh©n tö cßn l¹i lµ x2 + bx + c suy ra -ac = -4. Tøc lµ a ph¶i lµ ­íc cña -4
¦(4)= {±1; ±2; ±4}. KiÓm tra ta thÊy 1 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. Nh­ vËy ®a thøc cã nh©n tö 
x - 1. Do ®ã ta t×m c¸ch t¸ch c¸c h¹ng tö sao cho chóng xuÊt hiÖn nh©n tö chung lµ x - 1
Chó ý: NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× ®a thøc chøa nh©n tö x - 1, nÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc lÎ th× ®a thøc chøa nh©n tö x + 1.

2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. 2x3 - 5x2 + 8x - 3.
 Cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn b»ng ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
 NÕu ®a thøc trªn ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng (ax+b)(cx2+ dx + m). PhÐp nh©n nµy cho ta kÕt qu¶ acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm. §ång nhÊt c¸c hÖ sè cña ®a thøc nµy víi c¸c hÖ sè cña ®a thøc ®· cho ta ®­îc ac = 2; ad + bc = -5; am + bd = 8; bm = -3, gi¶i ra t×m ®­îc a = 2, b = -1; c = 1; m = 3; d = -2.

3. Ph©n tÝch ®a thøc P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) thµnh nh©n tö.
 Ta sö dông ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng . Ta thÊy nÕu thay a bëi b th× P = 0. Nªn P chia hÕt cho 
a - b. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t v× vai trß cña a, b, c lµ nh­ nhau nªn P chia hÕt cho (a-b)(b-c)(c-a) trong phÐp chia ®ã P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn mµ ®a thøc chia (a-b)(b-c)(c-a) cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn nªn th­¬ng lµ h»ng sè k.
Trong h»ng ®¼ng thøc ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = k. (a-b)(b-c)(c-a), ta cho c¸c biÕn nhËn c¸c gi¸ trÞ riªng a = 2, b = 1, c = 0, ta ®­îc.
2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1.(-2), do ®ã 2 = -2k, suy ra k = -1.
VËy P = (a - b)(b - c)(c - a)

 ************************************************

Tieát 6
ÖÙNG DUÏNG CUÛA PHAÂN TÍCH ÑA THÖÙC THAØNH NHAÂN TÖÛ
A. Muïc tieâu
 - HS thaáy ñöôïc moät soá öùng duïng cuûa vieäc phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû trong quaù trình giaûi toaùn
 - HS ñöôïc reøn luyeän caùc kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû
B. Tieán trình daïy hoïc
Hoaït ñoäng cuûa GV
Hoaït ñoäng cuûa HS
? Vieäc phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû coù theå coù ích cho vieäc giaûi moät soá loaïi toaùn naøo ?

Baøi toaùn 1: Giaûi caùc phöông trình
a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0	






b) x3 + 27 + (x + 3) (x - 9) = 0 





 c) x2 + 5x = 6







Baøi toaùn 2 : Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc sau ñaây baèng caùch phaân tích ña thöùc bò chia thaønh nhaân töû :
a) (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1)



b) (x2 - 5x + 6) : (x - 3) 





c) (x3 + x2 + 4):(x +2) 




Baøi toaùn 3 : Ruùt goïn caùc phaân thöùc 
	
	
b) 
 c)


Traû lôøi : Vieäc phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû coù theå coù ích cho vieäc giaûi caùc baøi toaùn veà tìm nghieäm cuûa ña thöùc, chia ña thöùc, ruùt goïn phaân thöùc
Giaûi : 
a) Vì 2(x + 3) - x(x + 3) = (x + 3) (2 - x) neân phöông trình ñaõ cho trôû thaønh 
(x + 3)(2 - x) = 0. Do ñoù x + 3 = 0 ; 2 - x = 0, töùc laø x = -3 ; x = 2
phöông trình coù 2 nghieäm x1 = 2 ; x2 = -3
b) Ta coù x3 + 27 + (x + 3)(x - 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x - 9)
= (x + 3)(x2 - 3x + 9 + x - 9) = (x + 3)(x2 - 2x) = x(x + 3)(x - 2)
Do ñoù phöông trình ñaõ trôû thaønh:
 x(x + 3)(x - 2) = 0. 
Vì vaäy x = 0 ; x + 3 = 0 ; x - 2 = 0
Töùc laø phöông trình coù 3 nghieäm : x = 0; x = -3 ; x = 2
c) Phöông trình ñaõ cho chuyeån ñöôïc thaønh:
 x2 + 5x - 6 = 0. 
Vì x2 + 5x - 6 = x2 - x + 6x - 6 
= x(x - 1) + 6(x - 1) = (x - 1)(x + 6)
 neân phöông trình ñaõ cho trôû thaønh
 (x - 1)(x + 6) = 0. 
Do ñoù x - 1 = 0 hoaëc x + 6 = 0 
töùc laø x = 1 ; x = -6

Giaûi:
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1 = x3(x2 + 1) + x2 + 1 
= (x2 + 1)(x3 + 1)
 neân (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) 
 = (x2 + 1)(x3 + 1) : (x3 + 1)
 = x2 + 1
b) Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6
 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x -2)
neân : (x2 - 5x + 6) : (x - 3)
 = (x - 3)(x - 2) : (x - 3) 
 = x - 2
c, Ta coù x3 + x2 + 4 = x3 + 2x2 - x2 + 4 
= x2 (x + 2) - (x2 - 4)
 = x2 (x + 2) - (x - 2) (x + 2) 
= (x + 2)(x2 -x + 2)
Do ñoù (x3 + x2 + 4) : (x +2) 
 = (x + 2)(x2 - x + 2) : (x + 2) = x2 - x + 2

Giaûi : 
a) 
b)
 
c) 
Höôùng daãn veà nhaø
xem laïi caùc baøi taäp ñaõ chöõa.
OÂn laïi toaøn boä chuû ñeà 1.

Tieát 7

¤n tËp cHñ ®Ò I
A. Môc tiªu : 
 - ¤n tËp, hÖ thèng hãa c¸c ph­¬ng ph¸p PT§T thµnh nh©n tö.
 - RÌn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 
 - Nh©n d¹ng nhanh c¸c h»ng ®¼ng thøc , ®Ó rót gän biÓu thøc , t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc 
 - Ph¸t triÓn t­ duy HS víi mét sè bµi tËp nh­ : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt.
 B. ChuÈn bÞ : 
- GV: Bµi tËp 
- HS: ¤n c¸c h»ng ®¼ng thøc , c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö . 
C. Ho¹t ®éng trªn líp 
 I. Tæ chøc : (1')
II. KiÓm tra (KÕt hîp trong giê ) 
III. Bµi míi (40 phót ) 
Ho¹t ®éng cña GV vµ HS
Néi dung
 ? Nh¾c l¹i c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö?
Baøi 1:
Phaân tích caùc ña thöùc sau thaønh nhaân töû:
	a) x3 - 3x2 - 4x + 12 
b) x2 – y2 – 7x + 7y	c) x2 – 2xy + y2 – 4z2
 d) y4 + 2y3 – y2 – 2y

? Sö dông ph­¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ?
TL: Nhãm - dïng H§T - §Æt nh©n tö chung.
- GV gäi HS lªn b¶ng lµm.
=> NhËn xÐt.



Bµi 2
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (hoÆc nhá nhÊt ) cña biÓu thøc sau :
? Lo¹i bµi tËp nµy ta lµm thÕ nµo ?
TL:

- GV gîi ý c¸ch lµm tõng b­íc

? H·y viÕt ®a thøc C vÒ d¹ng b - ( x + a)2 ?
? CãnhËn xÐt g× vÒ 
TL:
? Tõ ®ã h·y suy ra - vµ 

? VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc C?

* GV chèt: +) ( x + a)2 b b.
 +) b - ( x + a)2 b
b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: 
M = (2x – 1) (2x + 3)

Häc sinh nh¾c l¹i c¸c PP

Bµi 1
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) x3 - 3x2 - 4x + 12 
 = ( x3 - 3x2 ) - ( 4x - 12 )
 = x2 ( x -3 ) - 4 ( x -3 )
 = ( x - 3 ) ( x2 - 4 )
 = ( x - 3 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )
b) x2 – y2 – 7x + 7y = (x2 – y2) – 7(x – y)
= (x - y) (x + y) – 7(x – y)	
= (x – y) (x + y – 7)	
c ) x2 – 2xy + y2 – 4z2 = (x2 – 2xy + y2) - 4z2 = ( x – y)2 – (2z)2 = ( x – y –2z )(x – y + 2z) d)y4 + 2y3 – y2 – 2y = y3(y + 2) – y (y +2)
= (y +2 ) (y3 – y )=( y + 2) y (y2 – 1)
= (y + 2) y(y – 1) ( y +1)	

Bµi 2
a) C = 5x - x2
 = - ( x2 - 5x )
 = - ( x2 - 2.x. + )
 = - 
 = 
Ta cã: víi mäi x
 víi mäi x
ó víi mäi x
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc C lµ .
b) M = (2x – 1) (2x + 3)
	 = ( 2x + 1)2 – 4 ≥ - 4 "x	
	=> Giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc M laø – 4 khi x = 

IV/ Cñng cè: (2')
	- Nªu c¸c d¹ng to¸n ®· häc trong bµi vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i? 
	- Khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc cÇn chó ý g× ? 
 V/ H­íng dÉn : (2')
	- ¤n l¹i 7 h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí , c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh 
 nh©n tö 
 	- Nh©n ®a thøc víi ®a thøc , chia ®a thøc cho ®a thøc
	- Xem kü l¹i c¸c bµi tËp ®· ch÷a 
	- Lµm bµi tËp 53 vµ c¸c phÇn cßn l¹i tõ bµi 54 ®Õn bµi 59 (SBT - 9 )
*************************************


Tieát 8
KIEÅM TRA 1 TIEÁTÑEÀ BAØI
I. ÑEÀ BAØI
Phaàn 1: traéc nghieäm ( 2 ñieåm). 
Caâu 1 : Thu goïn bieåu thöùc 8x2 + 8x + 2 ñöôïc :
	 	A/ (x+2)2	B/ ( 2x + 2 )2 	 	C/ 2 (2x + 1)2	
Caâu 2: Giaù trò bieåu thöùc ( x – 2) (x3 + 1) + (x – 2 )(1 – x3) taïi x = 2002 laø:
	A/ 4000	B/ 2000	C/ 4004	 
Caâu 3: Cho bieát (x – 3) (x + 3) = 0. Giaù trò cuûa x laø:
	A/ 3	B/ -3	C/ Caû A/ vaø B/ ñeàu ñuùng
Caâu 4 : Thu goïn bieåu thöùc ( x – 2) (x3 + 2x2 + 4x) ñöôïc:
	A/ x4 – 8x 	B/ x3 – 8 	C/ ( x – 2)2 
Phaàn II: tÖÏ LUAÄN ( 8 ñieåm). 
Baøi 1:
Phaân tích caùc ña thöùc sau thaønh nhaân töû:
	a) x2 – y2 – 7x + 7y	c) y4 + 2y3 – y2 – 2y
	b) x2 – 2xy + y2 – 4z2
 Baøi 2.
 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: M = (2x – 1) (2x + 3)

 II. ÑAÙP AÙN – BIEÅU ÑIEÅM
 Phaàn 1: traéc nghieäm. (2 ñ Moãi yù ñuùng 0,5 ñieåm) 
 1C ; 2A ; 3C ; 4A . 
Phaàn II: tÖÏ LUAÄN
Baøi 1:( 6 ñ) ( Moãi yù ñuùng 2 ñieåm)
 x2 – y2 – 7x + 7y = (x2 – y2) – 7(x – y)	
= (x - y) (x + y) – 7(x – y)	
= (x – y) (x + y – 7)	
	b) ) x2 – 2xy + y2 – 4z2 = (x2 – 2xy + y2) - 4z2 	
	 = ( x – y)2 – (2z)2	
	 = ( x – y –2z ) ( x – y + 2z)	
y4 + 2y3 – y2 – 2y = y3(y + 2) – y (y +2)	
= (y +2 ) (y3 – y )	
=( y + 2) y (y2 – 1)	
= (y + 2) y(y – 1) ( y +1)	
Baøi 2: (2 ñ)
M = (2x – 1) (2x + 3)
	 = ( 2x + 1)2 – 4 ≥ - 4 "x	
	=> Giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc M laø – 4 khi x = 
******************************

TiÕt 9 + 10.
Chñ ®Ò III. Chia ®a thøc.

A. Môc tiªu.
HS ®­îc tiÕp cËn víi dÞnh lÝ B¬du vÒ phÐp chia ®a thøc.
HS sö dông ®Þnh lÝ B¬du ®Ó chøng minh c¸c hÖ qu¶
§a thøc f(x) chia hÕt cho x - 1 nÕu cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0.
§a thøc f(x) chia hÕt cho x + 1 nÕu tæng c¸c hÖ sè cña h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña h¹ng tö bËc lÎ
HS vËn dông c¸c kiÕn thøc trªn vµo gi¶i c¸c bµi tËp liªn quan.
B. ChuÈn bÞ.
	B¶ng phô ghi hÖ thèng c¸c bµi tËp, dÞnh lÝ B¬du
C. TiÕn tr×nh d¹y häc
1. KiÓm tra
 	HS1: Khi nµo ®a thøc A chia hÕt cho ®a thøc B ¹0?
 	Kh«ng thùc hiÖn phÐp tÝnh h·y xÐt xem ®a thøc A cã chia hÕt ®a thøc B trong c¸c tr­êng hîp sau hay kh«ng?
A = x2 - 2x + 1 vµ B = x - 1
A = x3 - 1 vµ B = x - 1
A = x3 + 1 vµ B = x + 1
2. Néi dung.
Ho¹t ®éng cña GV vµ HS
Néi dung
1. §Þnh lÝ B¬du.
GV: Giíi thiÖu cho HS ®Þnh lÝ B¬du.



Chøng minh dÞnh lÝ trªn nh­ thÕ nµo?




Tõ ®Þnh lÝ trªn em h·y cho biÕt ®a thøc f(x) chia hÕt cho nhÞ thøc x - a khi nµo?


2. VÝ dô
* VÝ dô 1
 Nöa líp lµm c©u a, nöa líp lµm c©u b
 Gäi 2 HS kh¸ lªn b¶ng tr×nh bµy.


















GV: Chøng minh trªn ®óng cho tÊt c¶ c¸c tr­êng hîp ®a thøc f(x) cã bËc bÊt k×

* VÝ dô 2. GV ®­a bµi lªn b¶ng phô HS c¶ líp cïng thùc hiÖn.
 Yªu cÇu HS t×m sè d­ trong phÐp chia ®a thøc 2n2 + 3n + 3 cho ®a thøc 2n -1?




 ViÕt ®a thøc A d­íi d¹ng thu gän?
 XÐt tÝnh nguyªn cña ®a thøc A theo n?
 T×m c¸c gi¸ trÞ tho¶ m·n ®Ó A nguyªn?










* VÝ dô 3. GV ®­a bµi lªn b¶ng phô
Nöa líp lµm c©u a, nöa líp lµm c©u b
 2HS lªn b¶ng tr×nh bµy.

1. §Þnh lÝ B¬du.
“Chøng minh r»ng sè d­ trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc Êy t¹i x = a”
Bµi lµm: Gi¶ sö chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a ®­îc th­¬ng lµ Q(x) vµ sè d­ lµ h»ng sè r. 
 Ta cã f(x) = (x - a).Q(x)+ r víi mäi x, do ®ã víi x = a th× f(a) = 0.Q(x) + r = 0 + r = r
Hay f(a) = r.
 * Ta cã: f(a) = r khi a lµ nghiÖm cña ®a thøc th× r = 0 ta cã phÐp chia hÕt. Hay ®a thøc f(x) chia hÕt cho nhÞ thøc x - a khi a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x).
2. VÝ dô . 
* VÝ dô 1:Cho ®a thøc:
f(x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4
a) Chøng minh ®a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc x - 1 nÕu tæng c¸c hÖ sè cña nã b»ng 0
b) Chøng minh ®a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc x + 1 nÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ cña c¸c h¹ng tö bËc lÎ.
* Bµi lµm.
a) Theo ®Þnh lÝ B¬du, ta cã ®a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc x - 1 nÕu x = 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)
 Khi x = 1 th× f(1) = a014 + a113 + a212 + a31 + a4
 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 .
 §Ó cã phÐp chia hÕt th× f(1) = 0
Hay a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 0. (§PCM)
 b) Theo ®Þnh lÝ B¬du th× ®a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc x + 1 khi x = - 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x).
 Khi x = - 1 th×:
 f(-1) = a0(-1)4 + a1(-1)3 + a2(-1)2 + a3(-1) + a4
 = a0 - a1 + a2 - a3 + a4. §Ó cã phÐp chia hÕt th× f(-1) = 0. Hay a0 - a1 + a2 - a3 + a4 = 0
 Suy ra: a0 + a2 + a4 = a1 + a3 (§PCM)


* VÝ dô 2: T×m nÎZ ®Ó biÓu thøc: cã gi¸ trÞ nguyªn?
Bµi lµm: 
Ta cã 

 
Do n Î Z nªn n - 2 Î z víi mäi n. §Ó A Î Z th× , hay 2n - 1 lµ ­íc cña 5
 Ta cã ¦(5) = {±1, ±5}
Víi 2n - 1 = 1 ta cã n = 1
Víi 2n - 1 = -1 ta cã n = 0
Víi 2n - 1 = 5 ta cã n = 3
Víi 2n - 1 = -5 ta cã n = -2
V©y víi n b»ng -2, 0, 1, 3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn.

* VÝ dô 3. Kh«ng lµm phÐp chia h·y xÐt xem ®a thøc 4x3 - 7x2 - x - 2 cã hay kh«ng chia hÕt c¸c ®a thøc:
a) x - 2
b) x + 2
Bµi lµm:
a) Khi x = 2 ta cã 4.23 - 7.22 - 2 - 2 = 0 = r. 
VËy x = 2 lµ nghiÖm cña ®a thøc 4x3 - 7x2 - x - 2
Hay ®a thøc 4x3 - 7x2 - x - 2 chia hÕt cho x - 2.
b) Khi x = -2 ta cã 4.(-2)3 - 7.(-2)2 - (-2) - 2 
= 4.(-8) - 7.4 + 2 - 2 = -60 = r
VËy x = -2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc
 4x3 - 7x2 - x - 2
Hay ®a thøc 4x3 - 7x2 - x - 2 kh«ng chia hÕt cho x + 2 
D. H­íng dÉn vÒ nhµ.
 - Xem l¹i c¸c d¹ng to¸n ®· ch÷a trªn líp.
 - Lµm bµi tËp: 
X¸c ®Þnh sè a sao cho:
27x2 + a chia hÕt cho 3x + 2
x4 + a