Hệ phương trình với phương pháp thế

Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lờ Hồng Phong – Biờn Hũa – ðồng Nai 1 
Trong cỏc phần trước chỳng ta ủó ủi xột một số dạng hệ mà cú ủường lối giải tổng quỏt. 
Trong phần này chỳng ta ủi xột một số hệ mà khụng cú ủường lối giải tổng quỏt. ðể tỡm 
lời giải của những hệ này 
1. Phương phỏp thế: 
Nội dung của phương phỏp này từ một phương trỡnh hoặc kết hợp hai phương trỡnh của 
hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khỏc và thế vào 
phương trỡnh cũn lại chuyển về phương trỡnh một ẩn (cú thể là ẩn phụ). Mục ủớch của 
việc làm này là giảm số ẩn. Tựy thuộc vào ủặc ủiểm của bài toỏn mà ta cú những cỏch 
biến ủổi phự hợp. Trong phương phỏp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau. 
• Nếu trong hệ phương trỡnh cú một phương trỡnh bậc nhất ủối với một ẩn thỡ ta rỳt ẩn 
ủú qua ẩn kia thế vào phương trỡnh cũn lại và chuyển về giải phương trỡnh một ẩn. 
• Với hai số thực bất kỡ x 0;y≠ ta luụn cú y tx= (t là số thực cần tỡm). Với cỏch làm 
này ta sẽ ủược hệ về phương trỡnh một ẩn t. 
• Phương trỡnh f (x;y) f (y;x)= luụn cú một cặp nghiệm x y= (cỏc bạn thử giải thớch 
vỡ sao?), do ủú ta luụn phõn tớch phương trỡnh ủó cho về dạng: (x y)g(x;y) 0− = . 
• Trong hệ phương trỡnh nếu biểu thức u(x) xuất hiện ở hai phương trỡnh thỡ ta cú thể 
ủặt t u(x)= ủể làm ủơn giản hỡnh thức bài toỏn. 
Vớ dụ 1: Giải hệ phương trỡnh: 
3
x y 16 (1)
3x y 8 (2)
 =

+ =
. 
Giải : 
 Ta thấy (2) là một phương trỡnh bậc nhất hai ẩn nờn ta rỳt ẩn này qua ẩn kia. 
Từ phương trỡnh (2) y 8 3x⇒ = − thay vào phương trỡnh (1) ta ủược: 
3 4 3 2 2x (8 3x) 16 3x 8x 16 0 (x 2) (3x 4x 4) 0 x 2− = ⇔ − + = ⇔ − + + = ⇔ = 
Vậy hệ cú nghiệm là x y 2= = . 
Chỳ ý : Ở cỏch giải trờn ta thấy hệ cú nghiệm duy nhất x y 2= = , ủồng thời từ hai 
phương trỡnh ta cú nhận xột x, y 0> và ở phương trỡnh (2) VT là 3x y+ , phương trỡnh 
(1) cú tớch 3x y . ðiều này gợi cho chỳng ta liờn tưởng ủến BðT Cauchy. Ta cú cỏch 
giải khỏc như sau: 
 Ta thấy nếu hệ cú nghiệm (x;y) thỡ x, y 0> . 
Áp dụng bủt Cauchy ta cú: 343x y x x x y 4 x y 8+ = + + + ≥ = . ðẳng thức xảy ra 
x y 2⇔ = = . Thử lại ta thấy thỏa món. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lờ Hồng Phong – Biờn Hũa – ðồng Nai 2 
Vớ dụ 2:Giải hệ phương trỡnh: ( )2 2
2 2
y(1 x ) x 1 y (1)
x 3y 1 (2)
 + = +

 + =
. 
Giải: 
Dễ thấy phương trỡnh (1) cú cặp nghiệm x y= , do ủú ta biến ủổi phương trỡnh (1) của 
hệ ra thừa số (x y)− . 
Ta cú: 
x y(1) x y xy(y x) 0 (x y)(1 xy) 0
xy 1
=
⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ 
=
. 
* 
2 1
x y 4x 1 x
2
= ⇒ = ⇔ = ± . 
* 
4 21
x 3y y 1 0
y
= ⇒ − + = phương trỡnh vụ nghiệm. 
Vậy nghiệm của hệ là: 1x y
2
= = ± . 
Vớ dụ 3: Giải hệ phương trỡnh: 
3
1 1
x y (1)
x y
2y x 1 (2)

− = −


= +
 . 
Giải: xy 0≠ 
Ta cú 
x y
x y 1(1) x y 0 (x y)(1 ) 0 1
xy xy y
x
=
− ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔
 = −

. 
* x y= thay vào (2), ta ủược: 
3 2 1 5
x 2x 1 0 (x 1)(x x 1) 0 x 1;x
2
− ±
− + = ⇔ − + − = ⇔ = = . 
* 
1y
x
= − thay vào (2), ta ủược: 4 2 21 1 3x x 2 0 (x ) (x ) 0
2 2 2
+ + = ⇔ − + + + = vụ 
nghiệm. 
Vậy hệ ủó cho cú ba cặp nghiệm: 1 5x y 1;x y
2
− ±
= = = = . 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lờ Hồng Phong – Biờn Hũa – ðồng Nai 3 
Vớ dụ 4: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 
3
3
x y x y
x y x y 12
 + = +

− = − −
 . 
Giải: ðK: 
x y 0
x y 0
+ ≥

− ≥
. 
Ta thấy mỗi phương trỡnh của hệ là phương trỡnh một ẩn x y+ và x y− . Do ủú ủiều 
mà chỳng ta nghĩ tới là ủi giải từng phương trỡnh tỡm x y+ và x y− , khi ủú ta cú ủược 
hệ phương trỡnh mới ủơn giản hơn nhiều. 
ðể ủơn giản về mặt hỡnh thức ta ủặt a x y, b x y a,b 0= + = − ⇒ ≥ ta cú hệ : 
3 23
3 23
a a a a a 0 V a 1
b 4b b 12 b (b 12)
 = = = = 
⇔ ⇔  
== − = −   
. 
*Với 
a 0 x y 0 x 2
b 4 x y 4 y 2
= + = =  
⇔ ⇔  
= − = = −  
* Với 
5
x
a 1 x y 1 2
b 4 x y 4 3y
2

== + =  
⇔ ⇔  
= − =  
= −

Vậy nghiệm của hệ là: 5 3(x;y) (2; 2), ( ; )
2 2
= − − . 
Vớ dụ 4: Giải hệ phương trỡnh: 
2 2 2 2
x y x y 2 (1)
x y x y 4 (2)
 + − − =

+ + − =
. 
Giải: ðK : x | y |≥ 
Vỡ (1) trong căn chỉ chứa lũy thừa bậc 1 ủối với x,y cũn (2) thỡ trong căn chứa lũy thừa 
bậc 2 ủối với x,y nờn suy nghĩ ủầu tiờn là ta sẽ bỡnh phương hai vế phương trỡnh (1) ủể 
ủưa về hai phương trỡnh ủồng bậc. 
Từ (1) x y x y y 0⇒ + > − ⇒ > . 
Hệ 
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 x 6
x x y 2 x y x 2
x y (2 x)
x y 4 x y x y 6 x
x y (6 x)
≤ ≤ 
− − = − = −  
⇔ ⇔ ⇔ − = −  
  + = − − + = −  + = −
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lờ Hồng Phong – Biờn Hũa – ðồng Nai 4 
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 x 6 2 x 6 5
x
22x (2 x) (6 x) 2x 40 16x 2x
y 6x y (6 x) y 36 12x
≤ ≤ ≤ ≤  
=  
⇔ = − + − ⇔ = − + ⇔  
  
=+ = − = − 
. 
Vậy nghiệm của hệ ủó cho là: 5( ; 6)
2
. 
Vớ dụ 6: Giải hệ phương trỡnh: 
2
2
x 1 y(y x) 4y (1)
(x 1)(y x 2) y (2)
 + + + =

+ + − =
 . 
Giải: 
ðặt a x y= + từ (1) 2x 1 y(4 a)⇒ + = − thế vào (2), ta cú: 
2y(4 a)(a 2) y y(a 6a 9) 0 y 0; a 3− − = ⇔ − + = ⇔ = = 
* Với y 0= thay vào (1) ta thấy hệ vụ nghiệm. 
* Với a 3 x y 3= ⇔ + = thay vào hệ ta cú: 
2 2 x 1 y 2x 1 y 3 x x x 2 0
x 2 y 5
= ⇒ =
+ = = − ⇔ + − = ⇔ 
= − ⇒ =
. 
Vậy hệ ủó cho cú hai cặp nghiệm: (x;y) (1;2), ( 2;5)= − . 
Vớ dụ 7: Giải hệ phương trỡnh: 
3 3
2 2
x 8x y 2y (1)
x 3 3(y 1) (2)

− = +

− = +
 . 
Giải: 
Cỏch 1: Từ (2) 2 2x 3(y 2)⇒ = + (3) thay vào (1) ta ủược : 
2
3 2 2 2
x 0
x
x 8x y(y 2) y x(3x xy 24) 0 3x 243 y
x
=

− = + = ⇔ − − = ⇔
−
=

. 
* Với x 0= thay vào (3) ta cú: 2y 2 0+ = vụ nghiệm. 
* Với 
23x 24y
x
−
= thay vào (3) ta ủược: 
22
2 3x 24x 3 6
x
 
−
= +  
 
2
4 2
2
x 3 y 1x 9
13x 213x 864 0 96 7896
x yx
13 1313
= ± ⇒ = ± =
⇔ − + = ⇔ ⇔

= ± ⇒ ==
 
∓
. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lờ Hồng Phong – Biờn Hũa – ðồng Nai 5 
Vậy hệ cú bốn cặp nghiệm: 96 78(x;y) ( 3; 1), ( ; )
14 13
= ± ± ± ∓ . 
Cỏch 2: Ta thấy x 0= khụng là nghiệm của hệ nờn ta ủặt y tx= . Khi ủú hệ trở thành 
3 3 3 2 3 3
22 2 2 2 2
x 8x t x 2tx x (1 t ) 2t 8 1 t t 4
31 3tx 3 3(t x 1) x (1 3t ) 6
 
− = + − = +
− + 
⇔ ⇒ = 
−
− = + − =  
3 2 2
1
t
33(1 t ) (t 4)(1 3t ) 12t t 1 0
1
t
4

=
⇔ − = + − ⇔ − − = ⇔ 

= −

. 
* 
2 2x (1 3t ) 6
x 31
t x y 13 y
3

− =
= ±
= ⇒ ⇔ 
= ±= 

. 
* 
4 78
x1 13t
4 78y
13

= ±

= − ⇒

=
∓
. 
Vớ dụ 8: Giải hệ phương trỡnh: 
2
2
| x 2x | y 1 (1)
x | y | 1 (2)

− + =

+ =
. 
Giải: Từ (2) 1 x, y 1⇒ − ≤ ≤ . 
Ta xột cỏc trường hợp sau 
* y 0≥ 2 2(1) x y 1 y 1 x⇒ ⇔ + = ⇔ = − thay vào (2) ta ủược: 
2 2 2 2 2 2 4 2| x 2x | 1 x 1 | x 2x | x x (x 2) x x ( 4x 4) 0− + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = 
x 0 y 1
x 1 y 0
= ⇒ =
⇔ 
= ⇒ =
* 
2y 0 (1) y x 1< ⇒ ⇔ = − thay vào (2) ta cú: 
2 2 2 2 3 2 2| x 2x | x 1 1 | x 2x | 2 x x 2x 1 0 (x 1)(x x 1) 0− + − = ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ − − − = 
x 1
1 5 1 5
x y
2 2
=
⇔
− −
= ⇒ =

. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lờ Hồng Phong – Biờn Hũa – ðồng Nai 6 
Vậy hệ cú ba cặp nghiệm 1 5 1 5(x;y) (0;1), (1;0), ( ; )
2 2
− −
= . 
Vớ dụ 9: Giải hệ phương trỡnh: 
2 2
2
2xy
x y 1 (1)
x y
x y x y (2)

+ + = +
 + = −
. 
Giải: ðK : x y 0+ > 
Ta cú: 
2 2 2
2 2 (x y) (x y )(1) x y 1 0
x y
+ − +
⇔ + + − =
+
. 
2 2 2 2 2 2(x y )(x y) (x y ) x y
x y 1 0 (x y 1)( 1) 0
x y x y
+ + − + +
⇔ + + − = ⇔ + − + =
+ +
. 
x y 1 0 y 1 x⇔ + − = ⇔ = − ( Do 
2 2
x y 0
x y
+
>
+
) Thay vào (2), ta ủược: 
2 2 x 1 y 0x (1 x) 1 x x 2 0
x 2 y 3
= ⇒ =
− − = ⇔ + − = ⇔ 
= − ⇒ =
. 
Vậy hệ cú hai cặp nghiệm: (x;y) (1;0), ( 2;3)= − . 
Vớ dụ 10: Giải hệ phương trỡnh: 
7x y 2x y 5
2x y x y 2
 + + + =

+ + − =
 (HSG Quốc Gia – 2001). 
Giải: 
Cỏch 1: ðặt t y x y x t= − ⇔ = + ta cú hệ: 
2
2
8x t (3 t)
7x y 3 t
3x t (2 t)
2x y 2 t 2 t 3
 + = −
 + = − 
⇔ + = + 
+ = + 
− ≤ ≤

2 2 2 9 773t 8t 3(3 t) 8(2 t) t 9t 1 0
t
22 t 3 2 t 3
 
− +− = − − + + + = 
⇒ ⇔ ⇔ = 
− ≤ ≤ − ≤ ≤  
. 
2(t 2) t
x 10 77
3
11 77y t x
2
 + −
= = −

⇒ 
−
= + =
 là nghiệm của hệ ủó cho. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lờ Hồng Phong – Biờn Hũa – ðồng Nai 7 
Cỏch 2: ðặt u 7x y, v 2x y= + = + . Hệ trở thành: 
u v 5
v 2 y x
+ =

= + −
. 
Mặt khỏc 2 2 5 xu v 5x (u v)(u v) 5x u v x v
2
−
− = ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ = (Do u v 5+ = ). 
Từ ủú 5 x 1 x2 y x y
2 2
− +
⇒ = + − ⇒ = thay vào hệ ta cú ủược: 1 x 5 x2x
2 2
+ −
+ = 
2 2
x 5 x 5
10x 2 (5 x) x 20x 23 0
≤ ≤  
⇔ ⇔ 
+ = − − + =  
x 10 77⇔ = − 11 77y
2
−
⇒ = . 
Thay vào hệ ta thấy thỏa món. Vậy hệ ủó cho cú nghiệm 
x 10 77
11 77y
2
 = −


−
=

. 
Vớ dụ 11: Giải hệ phương trỡnh: 
13x(1 ) 2
x y
17y(1 ) 4 2
x y

+ = +


− =
 +
 (HSG Quốc Gia – 1996 ). 
Giải: ðK : x, y 0≥ . Vỡ x=0 hay y=0 khụng là nghiệm của hệ nờn ta cú: 
Hệ 
1 2 1 2 21 1 (1)
x y 3x 3x 7y
1 4 2 1 1 2 21
 (2)
x y 7y x y 3x 7y

+ = = + + 
⇔ ⇔ 
 
− = = − + + 
. Nhõn (1) với (2) ta ủược: 
1 1 2 2 1 2 2 1 8( )( ) 21xy (x y)(7y 24x)
x y 3x 7y3x 7y 3x 7y
= − − = − ⇔ = + −
+
2 224x 38xy 7y 0 (6x y)(4x 7y) 0 y 6x⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ = (Do x, y 0> ) 
Thay vào (1) ta cú: 1 2 11 4 7 22 8 71 x y 6x
21 73x 7x
+ +
= + ⇔ = ⇒ = = 
Thử lại hệ ta thấy thỏa món. 
Vậy hệ cú cặp nghiệm duy nhất 
11 4 7
x
21
22 8 7y
7
 +
=


+
=
. 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lờ Hồng Phong – Biờn Hũa – ðồng Nai 8 
Vớ dụ 12: Giải hệ phương trỡnh: 
3 2
2 2
x 3xy 49 (1)
x 8xy y 8y 17x (2)
 + = −

− + = −
(HSG QG – 2004 ) . 
Giải: 
Cỏch 1: Ta thấy x 0= khụng phải là nghiệm của hệ nờn 
Từ (1) 
3
2 x 49y
3x
+
⇒ = − (*) thế vào phương trỡnh (2) ta ủược: 
3
2 2 3 2x 49x 8xy 8y 17 24y(x x) 2x 51x 49
3x
+
− − = − ⇔ + = + − 
2 2
x 1
24xy(x 1) (x 1)(2x 49x 49) 2x 49x 49y
24x
= −
⇔ + = + + − ⇔ + −
=

* x 1= − thế vào (*) y 4⇒ = ± . 
* 
22x 49x 49y
24x
+ −
= thế vào (*), ta cú: 
23 2
3 2 2x 49 2x 49x 49 192x(x 49) (2x 49x 49)
3x 24x
 + + −
− = ⇔ − + = + −  
 
Biến ủổi rỳt gọn ta ủược: 
4 3 2 2 24x 4x 45x 94x 49 0 (x 1) (4x 4x 49) 0 x 1+ + + + = ⇔ + − + = ⇔ = − . 
Vậy hệ cú hai cặp nghiệm: (x;y) ( 1; 4)= − ± . 
Cỏch 2: Nhõn phương trỡnh (2) với 3 rồi cộng với (1) theo từng vế ta ủược: 
3 2 2 2x 3x 3xy 24xy 3y 24y 51x 49+ + − + = − − 
3 2 2x 3x 3x 1 3y (x 1) 24y(x 1) 48(x 1) 0⇔ + + + + + − + + + = 
( )2 2(x 1) (x 1) 3y 24y 48 0 x 1⇔ + + + − + = ⇔ = − . 
Thế x 1= − vào phương trỡnh (1) ta cú: 2y 16 y 4= ⇔ = ± . 
Vậy hệ cú hai cặp nghiệm (x;y) ( 1; 2)= − ± . 
Cỏch 3: Vỡ x 0= khụng là nghiệm của hệ nờn ta ủặt y tx= . Khi ủú hệ trở thành: 
Nguyến Tất Thu 0918927276 or 01699257507  
Trường THPT Lờ Hồng Phong – Biờn Hũa – ðồng Nai 9 
3
3 2 2 2
2 2
2 2
49 49 49
x
49 3ax (1 3t ) 49 1 3t 49 3(t 16)
8t 17 8t 17 bx (1 8t t ) x(8t 17) x
a bt 8t 1 (t 16) (8t 17)
− − −
= = = ++ = − + + − 
⇔ 
− −
− + = −  = = =

−
− + − − −
(Trong ủú ta ủó ủặt: 2a t 16; b 8t 17= − = − ). 
( )3 3 3349 b 49 b (a b) 3a 049 3a (a b)−⇒ = ⇔ + − + =+ − 
( )2 2 2a 49 b b(a b) (a b) 3 0 a 0 t 16 ⇔ − − + − + = ⇔ = ⇔ =  . 
Thế 2t 16= vào hệ x 1 y 4⇒ = − ⇒ = ± . 
Bài tập: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 
3 x y x y
1) 
x y x y 2

− = −

+ = + +
3 x y x y
2)
x 4 1 y 1 2x

− = −

+ − − = −
2x y 1 x y 13) 
3x 2y 4
 + + − + =

+ =
3
x y 165) 
3x y 8
 =

+ =
3
1 1
x y
x y6) 
2y x 1

− = −


= +
2 3
2
x x( ) ( ) 12
y y7) 
(xy) xy 6

+ =

 + =
2x 2y 3
8) y x
x y xy 3

+ =


− + =
2
2
1 x
x 3
yy9)
x 1
x 3
y y

+ + =


 + + =

x y x y 2
10)
y x y x 1
 + + − =

 + − − =
2 2
2 2 2
x xy y 3(x y)
11)
x xy y 7(x y)

− + = −

+ + = −
2 2
2
3 854xy 4(x y )
3(x y)12)
1 132x
x y 3

+ + + = +

 + =
 +
2 2
3 3
x y 1
13) 13x y
x y
 + =


− = +
2 2
3 3
x y xy 1
14)
x y x 3y
 + + =

+ = +
3 3 2
4 4
x y xy 1
15)
4x y 4x y
 + − =

+ = +
2 2
2 2
x y x y 4 0
16)
2x xy y 5x y 2 0
 + + + − =

+ − − + + =