Hệ thống bài tập ôn thi học kỳ II Toán 11

CHỨNG MINH QUY NẠP
1. Chứng minh rằng ta có: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
2. Chứng minh rằng ta có: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
3. Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
4. Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
5. Chứng minh rằng: (n dấu căn) 
6. Chứng minh rằng: 
a. với và 
b. (n dấu căn) 
c. 
7*. Cho n số thực không âm . Chứng minh rằng ta có: 
8. Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
c. 
9. Cho n số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng: 
10. Cho n số thực . Chứng minh rằng: 
DÃY SỐ
1. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số sau: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
2. Cho dãy số với 
a. Xác định 5 số hạng đầu tiên
b. Số là số hạng thứ mấy của dãy số
c. Số là số hạng thứ mấy của dãy số
3. Cho dãy số với . Chứng minh rằng: 
4. Tìm công thức số hạng tổng quát của các dãy số sau: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
5. Cho dãy số xác định bởi: 
a. Chứng minh rằng: 
b. Xác định công thức tính . Từ đó chứng minh rằng dãy số với có công thức số hạng tổng quát là 
6. Cho dãy số xác định bởi: . Chứng minh rằng: và 
7. Tìm số hạng thứ 2009 của dãy số: 
a. 
b. 
8. Cho dãy số xác định bởi 
a. Tính 
b. Chứng minh rằng: 
9. Cho dãy số xác định bởi 
a. Tính 
b. Chứng minh rằng: 
10. Cho dãy số xác định bởi 
a. Tính 
b. Chứng minh rằng: 
11. Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng: 
12. Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng: là một dãy không đổi
13. Cho dãy số xác định bởi và 
a. Tính 
b Chứng minh rằng: 
14. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
15. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
16. Xét tính đơn điệu của các dẫy số sau: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. (n dấu căn) 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
k. 
l. 
17. Cho dãy số xác định bởi . Xác định a để: 
a. là dãy số tăng
b. là dãy số giảm
18. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. (n dấu căn) 
19. Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên: 
20. Chứng minh rằng dãy số sau giảm và bị chặn: 
21. Cho dãy số xác định bởi công thức: và 
a. Chứng minh rằng 
b. Chứng minh rằng dãy tăng và bị chặn
22. Cho dãy số xác định bởi công thức: và 
a. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
b. Chứng minh rằng: 
23. Cho dãy số xác định bởi công thức: và . Chứng minh rằng: 
24. Cho dãy số xác định bởi 
a. Tìm 5 số hạng đầu tiên
b. Chứng minh rằng: bị chặn
25. Chứng minh rằng dãy số xác định bởi: tăng và bị chặn trên
26. Chứng minh rằng các dãy số sau: 
a. là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1
b. tăng và bị chặn trên bởi 2
c. tăng và bị chặn trên bởi 2
d. tăng và bị chặn trên bởi 
27. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số với 
28. Cho dãy số xác định bởi: . Chứng minh rằng là một dãy số không đổi
29. Cho dãy số xác định như sau: . Chứng minh rằng: 
30*. Cho dãy số xác định như sau: , với . Chứng minh rằng: với là các hằng số phụ thuộc a, b và r là nghiệm kép của phương trình 
Áp dụng: Cho dãy số: . Chứng minh rằng: 
31*. Cho dãy số xác định như sau: , với . Chứng minh rằng: với là các hằng số phụ thuộc a, b và là hai nghiệm phân biệt của phương trình . 
Áp dụng: Cho dãy số: . Chứng minh rằng: 
32. Cho dãy số với và dãy số xác định như sau: 
a. Xét tính đơn điệu của các dãy số: 
b. Xác định công thức tính theo n
33. Cho dãy số với và dãy số với: 
a. Xét tính đơn điệu của các dãy số: , 
b. Xác định công thức tính theo n
34. Cho dãy số xác định bởi: 
a. Chứng tỏ mội số hạng của dãy số đều là số nguyên
b. Tìm công thức số hạng tổng quát
CẤP SỐ CỘNG
1. Cho CSC thoả mãn . Tính 
2. Cho CSC thoả mãn . Tính 
3. Cho CSC thoả mãn . Tính 
4. Tìm CSC biết: 
a. 
b. 
5. Một CSC có: . Tính n, xác định CSC 
6. Cho 3 số a, b, c tạo thành CSC. Chứng minh rằng: 
a. 
b. 3 số cũng tạo thành 1 CSC
c. 
d. 
7. Bốn số a, b, c, d tạo thành 1 CSC có tổng bằng 100, tích bằng -56. Tìm 4 số đó 
8. Năm số a, b, c, d, e tạo thành 1 CSC có tổng bằng 10, tích bằng 320. Tìm 5 số đó
9. Ba số a, b, c tạo thành 1 CSC có tổng bằng 27 và tổng các bình phương là 293. Tìm 3 số đó
10. Ba số a, b, c lập thành 1 CSC có số hạng đầu là 5 và tích của chùng là 1140. Tìm 3 số đó
11. Ba số a, b, c tạo thành 1 CSC có tổng bằng 12, tổng nghịch đảo của chúng bằng . Tìm ba số đó
12. Tìm các nghiệm của phương trình biết rằng chúng tạo thành 1 CSC
13. Bốn số a, b, c, d tạo thành 1 CSC có tổng bằng 8, tổng nghịch đảo của chúng bằng . Tìm 3 số đó
14. Giữa hai số 7 và 35 hãy thêm 6 số nữa để được 1 CSC 
15. Cho các số a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
a. Các số lập thành 1 CSC thì các số cũng lập thành 1 CSC
b. Các số a, b, c lập thành 1 CSC thì các số cũng lập thành 1 CSC
16. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a, b, c lập thành 1 CSC thì 
17. Chứng minh rằng nếu tạo thành 1 CSC thì 3 cạnh a, b, c cũng tạo thành 1 CSC theo thứ tự đó
18. Một đa giác có chu vi là 158 cm, độ dài các cạnh của đa giác lập thành 1 CSC với công sai d = 3. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm. Tính số cạnh của đa giác. 
19. Một đa giác lồi có 9 cạnh và các góc lập thành 1 CSC có công sai . Tính các góc của đa giác đó. 
20. Tìm 4 số nguyên khác nhau biết chúng lập thành 1 CSC và số hạng đầu bằng tổng các bình phương của 3 số còn lại
21. Cho CSC . Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
22. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt lập thành 1 CSC
23. Cho 2 CSC : 4, 7, 10, 13, 16, ...; : 1, 6, 11, 16, 21, .... Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi CSC đó có bao nhiêu số hạng chung
24. Một xe máy xuất phát từ A với vận tốc 24 km/giờ. Sau hai giờ một xe máy khác đuổi theo với vận tốc trong giờ đầu là 30 km/giờ và cứ mỗi giờ sau tăng vận tốc lên 4 km/giờ. Hỏi sau mấy giờ thì hai người gặp nhau và khi đó cách A bao nhiêu km
25. Cho dãy số mà tổng của n số hạng đầu tiên của nó được xác định theo công thức sau: 
a. Hãy tính 
b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số 
c. Chứng minh rằng: là 1 CSC, xác định công sai của CSC 
26. Cho dãy số xác định bởi: 
a. Chứng minh rằng: dãy số xác định bởi là 1 CSC. Xác định CSC đó
b. Hãy tính số hạng tổng quát của dãy số 
c. Tính tổng 
27. Cho dãy số xác địh bởi: . Xét dãy số xác định bởi 
a. Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương k, tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số bằng 
b. Chứng minh rằng: dãy số là 1 CSC, xác định CSC đó
28. Cho dãy số xác định bởi: . Xét dãy số xác định bởi 
a. Chứng minh rằng: dãy số là 1 CSC, xác định CSC đó
b. Cho số nguyên dương k, hãy tính tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số theo k. Từ đó suy ra số hạng tổng quát của 
29. Cho dãy số xác định bởi: 
a. Chứng minh rằng: 
b. Đặt . Chứng minh rằng: là 1 CSC. Xác định công thức tính theo n
30. Cho hai CSC và lần lượt có tổng của n số hạng đầu tiên là và . Tính tỉ số 
31. Xác định CSC biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức 
32. Cho CSC biết và . Hãy tính 
33. Cho CSC biết . Hãy tính 
34. Cho CSC biết . Tìm 
35. Cho CSC biết . Chứng minh rằng: 
36. Cho CSC biết . Tình số hạng 
37. Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 CSC biết: 
a. Tổng của chúng bẳng 15 và 
b. Tổng của chúng bằng 15 và tổng các bình phương bằng 125
c. Tổng các bình phương bằng 35 và số hạng thứ nhất là nghiệm của phương trình 
d. Tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 6
38. Cho 1 CSC có 7 số hạng, d > 0, . Tìm các số hạng còn lại của CSC biết 
39. CSC có . Xác định CSC 
40. Cho CSC có . Xác định CSC 
41. Cho CSC và các số nguyên dương m, k với m < k. Chứng minh rằng: 
42. Cho CSC có . Tính tổng 23 số hạng đầu tiên của CSC
43. Cho CSC có . Tính tổng 346 số hạng đầu tiên của CSC
44. Cho CSC tăng có và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585. Xác định CSC đó
45. Cho là 1 CSC. Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
46. Tìm x để ba số sau lập thành 1 CSC
a. 
b. 
47. Cho phương trình: có 3 nghiệm phân biệt . Chứng minh rằng 3 nghiệm đó lập thành CSC khi và chỉ khi 
48. Xác định m để các phương trình sau có nghiệm lập thành 1 CSC
a. 
b. 
c. 
d. 
49. Cho CSC có . Xác định CSC đó
50. Cho CSC có . Xác định CSC đó
51. Tìm 4 số hạng liên tiếp của 1 CSC, biết của của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120
52. Tìm 5 số hạng liên tiếp của 1 CSC, biết tổng của hcúng bằng 25 và tổng các bình phương của chúng bằng 165
53. Tính các tổng sau: 
a. 
b. 
c. 
54. Số đo 3 góc A, B, C của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 CSC và thoả mãn đẳng thức: 
a. Tính các góc A, B, C
b. Biết nửa chu vi của tam giác bằng 50. Tính các cạnh của tam giác
55. Độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 CSC với công sai bằng d. Chứng minh rằng: 
56. Cho các số khác không lập thành 1 CSC. Chứng minh rằng: 
57. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng với số 6 lập thành 1 CSC 
58. Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành CSC 
59. Gọi là đồ thị hàm số . Xác định m để cát trục hoành tại ba điểm cách đều nhau. 
CẤP SỐ NHÂN
1. Cho CSN có . Tính 
2. Cho CSN thoả: 
a. . Tìm 
b. . Tình 
c. . Tìm 
d. . Tìm 
3. Cho CSN có . Tính tổng 
4. Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng: vừa là CSC, vừa là CSN
5. Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 CSN có q = 2. Tìm 4 góc ấy. 
6. Một CSN có . Tính 
7. Tìm CSN có 6 số hạng biết tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62
8. Tìm CSN có 4 số hạng biết tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72
9. Trong 1 hồ sen có số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen ngày trước. Biết rằng nếu ngày đầu tiên có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen.
a. Khi đầy hồ thì có bao nhiêu lá sen
b. Nếu ngày đầu tiên có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy thì đầy hồ
10. Cho 3 số a, b, c lập thành 1 CSN. Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
c. 
d. 3 số lập thành 1 CSC
e. 3 số cũng lập thành 1 CSN với a, b, c > 0
11. Tìm x để ba số lập thành 1 CSN
12. Cho 3 số lập thành 1 CSN. Nếu thêm 4 vào số hạng thứ 2 ta được 1 CSC. Nếu thêm 32 vào số hạng thứ 3 ta được 1 CSC. Tìm 3 số hạng đó 
13. Tìm CSN a, b, c biết: 
a. 
b. 
14. Biết rằng 3 số a, b, c lập thành 1 CSN và 3 số a, 2b, 3c lập thành 1 CSC. Tìm công bội của CSN
15. Tìm CSN a, b, c biết , đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của 1 CSC
16. Tìm CSN a, b, c biết , đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ tư của 1 CSC
17. Tính các góc của 1 tam giác vông có độ dài ba cạnh lập thành 1 CSN
18. Cho 2 số . Giữa các số hãy thêm 5 số nữa để được 1 CSN
19. Hãy xác định 1 CSN có 6 số hạng, biết rằng tổng 3 số hạng đầu bằng 168, tổng 3 số hạng sau bằng 21
20. Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy với 1 người đi bộ là 10 km. Vận tốc xe máy bằng 10 lần vận tốc của người đi bộ. Hỏi xe máy cần vượt một quảng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ
21. Tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm của các cạnh của tam giác ABC lập thành tam giác , ..., trung điểm các cạnh của tam giác lập thành tam giác . Tính tổng chu vi của các tam giác 
22. Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 CSN. Chứng minh rằng tam giác ấy không thể có 2 góc lớn hơn 
23. Cho tam giác ABC có 3 góc A, B, C lập thành 1 CSN có . Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
24. Hãy xác định a, b sao cho 1, a, b lập thành 1 CSC và lập thành 1 CSN
25. Ba số dương lập thành 1 CSC có tổng bằng 15. Nếu thêm 1 vào số thứ nhất và số thứ hai, thêm 4 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 CSN. Tìm các số đó. 
26. Ba số lập thành 1 CSC có tổng bằng 15. Nếu thêm 1 vào số thứ nhất, thêm 4 vào số thứ hai, thêm 19 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 CSN. Tìm các số đó
27. Bốn số lập thành 1 CSC. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta được 1 CSN. Tìm 4 số đó
28. Ba số khác nhau tạo thành 1 CSN có tổng bằng 15 đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư, thứ hai mươi lăm của 1 CSC. Tìm các số đó
29. Cho CSN a, b, c, d. Chứng minh rằng: 
a. 
b. 
c. 
30. Một CSC và 1 CSN có cùng số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số hạng thứ hai của CSN là 10, còn các số hạng thứ ba thì bằng nhau. Tìm CSC, CSN đó
31. Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành 1 CSN với công bội , đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành 1 CSC với công sai . Tìm q
32. Ba số theo thứ tự lập thành 1 CSC, đồng thời các số theo thứ tự lập thành 1 CSN. Tìm x, y
33. Ba số theo thứ tự lập thành 1 CSC, đồng thời các số theo thứ tự lập thành 1 CSN. Tìm x, y
34. Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành 1 CSN, đồng thời ba số theo thứ tự lập thành 1 CSN và ba số theo thứ tự lập thành 1 CSC. Tìm x, y, z
35. Các số theo thứ tự lập thành 1 CSC, đồng thời các số theo thứ tự lập thành 1 CSN. TÌm x, y
36. Tính các tổng: 
a. 
b. 
c. 
37. Cho dãy số xác định bởi và dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng: là 1 CSN. Tính theo n
38. Tìm ba số hạng liên tiếp của 1 CSN biết: 
a. Tổng của chúng bằng 13 và 
b. Tổng các bình phương bằng 21 và là nghiệm của phương trình 
c. Tổng của chúng bằng 14 và tích của chúng bằng 64
d. Tổng của chúng bằng 7 và nếu lấy số hạng thứ nhất trừ 1, số hạng thứ hai cộng 1, số hạng thứ ba cộng 2 thì theo thứ tự đó lập thành 1 CSC
39. Cho 1 CSN có 7 số hạng, số hạng thứ 4 bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ 2. Hãy tìm các số hạng còn lại của CSN
40. Cho CSN có . Tìm CSN
41. Cho CSN có . Tìm CSN
42. Cho CSN và cho các số nguyên dương m, k với m < k. Chứng minh rằng: 
43. Cho CSN có . Tính tổng 12 số hạng đầu tiên của CSN
44. Cho CSN với . Hãy tính tổng 25 số hạng đầu tiên của CSN đó biết 
45. Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh dãy số vừa là CSC, vừa là CSN
46. Cho CSN có các số hạng khác 0 và . Tìm 
47. Tính x theo a, b, c để ba số lập thành 1 CSN
48. Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 CSN
49*. Cho ba số khác nhau lập thành 1 CSC, bình phương của các số ấy lập thành 1 CSN. Tìm ba số đó 
50. Tính các tổng sau: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. (n chữ số) 
f. 
51*. Với điều kiện nào thì ba số hạng liên tiếp của 1 CSN là độ dài ba cạnh của một tam giác
52. Cho CSN . Chứng minh rằng: 
53. Chứng minh rằng: Nếu phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành 1 CSN thì 
54. Tìm số hạng tổng quát của 
55. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số 
56. Tính các tổng sau: 
a. (n chữ số) 
b. (n chữ số) 
57*. Cho các số lập thành 1 CSC và các số lập thành 1 CSN. Tính tổng: 
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
a. lim 
b. lim 
c. lim 
2. Tính các giới hạn sau:
a. lim 
b. lim 
c. lim
d. lim 
e. lim 
f. lim() 
g. lim
3. Tính các giới hạn sau:
a. lim 
b. lim() 
c. lim)
d. lim) 
e. lim
f. lim 
g. lim
h. lim 
i. lim()
j. lim n() 
k. lim()
l. lim 
m. lim(1 + n2 – )
n. lim 
4. Tính các giới hạn 
a. lim 
b. lim 
c. lim 
d. lim 
e. lim 
f. lim
g. lim với |a| < 1 ; |b| < 1
4. Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = 
a. Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng
b. Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
5. Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = 
a. Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
b. Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
6. Tìm các số hữu tỉ sau : 
a. 2,1111111... 
b. 1,030303030303... 
c. 3,1515151515....
7. Tính: lim(1 – ).(1 – ).(1 – )(1 – )
8. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ . Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn 
9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 "n Î N
a. Chứng minh rằng: |xn – | < ()n "n ≥ 3
b. Tính limxn 
10. Cho dãy số xác định bởi: u1 = ; un +1= 
a. Chứng minh rằng: un < 1 "n
b. Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên 
c. Tính limun
11. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= 
a. Chứng minh rằng un < 3 " n
b. Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
c. Tính limun
12. Tính các giới hạn sau:
a. 	
b. 	
c. 	
d. 
e. 	
f. 	
g. 	
h. 
13. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
a. lim	 
b. lim	
c. lim	 
d. lim 	
e. 	
f. lim ( 
g. lim 	 	
h. lim	
i. 	
j. lim
14. Tìm các giới hạn sau: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
15. Cho dãy số : 
a. Gọi là dãy số xác định bởi . Tìm để là một CSN
b. Tìm 
16. Cho . Tính tổng 
17. Cho . Tính các tổng sau: 
a. 
b. 
c. 
18. Cho dãy số với . Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. 
19. Cho dãy số với . Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. 
20. Tính các giới hạn sau: 
a. 
b. 
c. 
21*. Cho hai dãy số và . Chứng minh rằng nếu và tồn tại một số dương c sao cho với mọi n thì 
22*. Chứng minh rằng nếu thì 
23. Cho hai số dương a, b và dây số với . Tìm trong các trường hợp 
24*. Chứng minh rằng nếu dãy số có giới hạn hữu hạn và dãy không có giới hạn hữu hạn thì dãy số không có giới hạn hữu hạn
25*. Chứng minh rằng nếu dãy số không có giới hạn hữu hạn thì với mọi số , dãy cũng không có giới hạn hữu hạn
26*. 
a. Cho một số 
GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Duøng ñònh nghóa, CMR:
 a. 	
b. 	
c. 
2. Tìm caùc giôùi haïn sau
a. 	 
b. 	
c. 	 
d. 
 e. 
f. 	 
g. 
h. 	 
i. 	 
j. 
k.
Daïng voâ ñònh 
3. Tìm caùc giôùi haïn sau:
a. 	 
b. 	
c. 	
d. 
e. 	 
f. 
g. 	 
h. 
i. 	 
j. 	
k. 
l. 
m. 	
n. 	
o. 
p. 	 
q. 	
r. 	
s. 
t. 	
u. 	
y. 
4. Tìm caùc giôùi haïn sau:
a. 	 
b. 
c. 
d. 
e. 	 
f. 
g. 	 
h. 	
i. 
j. 	 
k. 	
l. 
m. 	 
n. 	 
o. 
p. 	 
q. 	 
r. 
5. Tìm caùc giôùi haïn sau:
a. 
b. 	 
c. 	 
d. 
6. Tính caùc giôùi haïn sau:
a. 	
b. 	 
c. 
d.	
e. 	 
f.
Daïng voâ ñònh 
7. Tìm caùc giôùi haïn sau: 
a. 	 
b. 	 
c. 	
d. 
e. 
f. 
g. 	
h. 
i. 
j. 	
k. 	
l. 
m. 
n. 	 
o. 
p. 
q. 	 
r. 
s. 	 
t. 	
Daïng voâ ñònh 
8. Tính caùc giôùi haïn sau: 
a. 	 
b. 	 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
k. 
l. 	
m. 
n. 
o. 	 
p. 	
q. 
r. 	 
s. 	 
t. 
v. 	 
w. 
Giôùi haïn moät beân 
9. Tìm caùc giôùi haïn sau
a. 	 
b. 
c. 	 
d. 
e.
f. 
g. 
h. 
i. 	 
j. 
k. 
l. 
g. 
h. 
i. 
10. Tìm giôùi haïn beân phaûi, giôùi haïn beân traùi cuûa hs f(x) taïi xo vaø xeùt xem haøm soá coù giôùi haïn taïi xo khoâng? 
a. 
b. 
c. 
11. Tìm A ñeå haøm soá sau coù giôùi haïn taïi xo:
a. vôùi x0 = 1 	 
b. vôùi x0 = 3
Giôùi haïn haøm löôïng giaùc
12. Tính caùc giôùi haïn sau:
a. 	 
b. 	 
c. 	
d. 
e. 	 
f. 	 
g. 	
h. 
13. Tính các giới hạn sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
k. m,nÎN 
14. Tính các giới hạn sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
k. 
l. 
m. 
n. 
o. 
15. Tính các giới hạn sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
g. 
h. 
16. Tính các giới hạn sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
k. 
l. 
m. 
n. 
o. 
p. 
q. 
r. 
17. Tính các giới hạn sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
k. 
l. 
m. 
18. Tính các giới hạn sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
k. 
l. 
m. 
n. 
o. 
19. Tính giới hạn các hàm số sau 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. ) 
g. 
h. 
i. 
j. 
20. Tìm 2 số a,b để 
a. 
b. = 0
21. Tính các giới hạn sau:
a. 
b. 
22. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
a. 	 
b. 	 
c. 
d. 	 
e. 	
f. 
g. 	 
h. 	
i. 
j. 	 
k. 	 
l. 
m. 
23. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:	
a. 	
b. 	 
c. 
d. 	
e. 	 
f. 
24. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
a. 	
b. 	
c. 
d. 	
e. 
25. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
a. 	 
b. 	
c. 
d. 	
e. 	
f. ( 
g. 	
h. 	
i. 
j. 	
k. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. XÐt tÝnh liªn tôc cña mçi hµm sè t¹i mét ®iÓm hoÆc trªn tËp chØ ra:
a. f(x) = t¹i x=0. 
b. f(x) = t¹i x=1.
c. f(x) = t¹i x=0. 
d. f(x) = t¹i x=2
e. f(x) = trªn R. 
f. f(x) = trªn R.
2. T×m a ®Ó mçi hµm sè sau liªn tôc:
a. f(x) = t¹i x=0. 
b. f(x) = trªn R.
c. f(x) = t¹i x=1. 
d. f(x) = trªn R.
3. T×m a,b ®Ó mçi hµm sè sau liªn tôc trªn R:
a. f(x) = 
b. f(x) = 
4. Chøng tá r»ng mçi ph­¬ng tr×nh sau ®Òu cã nghiÖm thùc:
a. x3 - 3x2 + 5x - 1 = 0 	
b. cosx – x + 1 = 0 
c. x5 + 3x4 + 2x3 + x2 + 1 = 0 	
d. 2sinx – x + 3 = 0 
5. Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh:
a. x3 – 3x2 + 3 = 0 cã 3 nghiÖm trong kho¶ng (-1 ; 3).
b. x3 – 3x + 1 = 0 cã 3 nghiÖm trong kho¶ng (-2 ; 2).
c. x3 +mx2 -1 = 0 lu«n cã 1 nghiÖm d­¬ng (víi mäi tham sè m).
d. a.cosx + b.sin2x + c.cos3x = x lu«n cã nghiÖm (víi mäi a, b, c cho tr­íc)
6. Cho f(x) = ax2 + bx + c tháa m·n 3a + 4b + 6c = 0.Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm trong kho¶ng (0 ; 1).
7. Cho f(x) liªn tôc trªn R. Chøng minh r»ng : NÕu ph­¬ng tr×nh f(x) = x v« nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh f(f(x)) = x còng v« nghiÖm.
8. Cho f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [-1 ; 1] . Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh :
 x2.f2(x) – 2f(x) + x = 0 cã nghiÖm trªn ®o¹n [-1 ; 1]
9. Cho f(x), g(x) ®Òu lµ c¸c hµm sè liªn tôc trªn R ®ång thêi tháa m·n f(g(x)) =g(f(x)) víi mäi x thuéc R. Chøng minh r»ng nÕu ph­¬ng tr×nh f(x) = g(x) v« nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh f(f(x)) = g(g(x)) còng v« nghiÖm.
10. Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a. f(x) = x2 + x – 3 
b. f(x) = 
c. f(x) = 
11. Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a. f(x) = tại xo = 1
b. f(x) = tại xo = 2
c. f(x) = tại xo = 1
d. f(x) = tại xo = 1
e. f(x) = tại xo = 2
f. f(x) = tại xo = 0
g. f(x) = tại xo = 0
h. f(x) = tại xo = 2
12. Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a. f(x) = tại x0 = 1
b. f(x) = tại x0 = 1
c. f(x) = tại xo = 0
 d. f(x) = tại xo = 0
13. Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a. f(x) = 
b. f(x) = 
14. Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
a. f(x) = 
b. f(x) = 
15. Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
a. f(x) = 
b. f(x) = 
16. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a. x3 – 2x – 7 = 0 
b. x5 + x3 – 1 = 0
c. x3 + x2 + x + 2/3 = 0 
d. x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
e. x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 
f. cosx – x + 1 = 0
17. Chứng minh rằng phương trình 
a. x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b. 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
c. x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d. x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
e. 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
f. x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
18. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng pt (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0. Có 2 nghiệm phân biệt
19*. Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
20*. Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a. Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b. Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
21*. Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0
a. Chứng minh rằng af() < 0 với a ¹ 0
b. Cho a > 0 , c 0
c. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
22*. Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) Î [a;b] " x Î [a;b]. Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x Î [a;b]
23. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a. cosx + m.cos2x = 0
b. m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
c. a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d. (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
24. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và a , b là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng: phương trình 
f(x) = có nghiệm trên [a;b]
25.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo Î (1;2) và xo > 
26. Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 3. 
27. Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 2.
28. Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 2.
29. Cho hàm số . Tìm m để hàm số liên tục số tại x0 = 5.
30. Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số trên R. 
31. Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số trên R. 
32. Cho hàm số . Tìm m để hàm số liên tục trên R. 
33. Cho phương trình: x5 + x – 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm.
34. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm.
35. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất ba nghiệm.
36. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm.
ĐẠO HÀM – PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
1. Cho f(x)= x(x-1)(x-2)...(x-1994). TÝnh f'(0).
2. Cho f(x)= x(x+1)(x+2)...(x+2007). TÝnh f'(-1000).
3. Cho . TÝnh g'(0).
4. Cho vµ 
a. XÐt tÝnh liªn tôc cña f(x), g(x) t¹i x=0;
b. XÐt tÝnh kh¶ vi cña f(x), g(x) t¹i x=0.
5. Cho . TÝnh ®¹o hµm cña f(x) t¹i x=0.
6. Cho . TÝnh ®¹o hµm cña f(x) t¹i x=0.
7. Cho hµm sè . CMR: f(x) liªn tôc t¹i x=-3 nh­ng kh«ng tån t¹i ®¹o hµm t¹i x= -3
8. Cho vµ 
a. XÐt tÝnh liªn tôc cña f(x), g(x) t¹i x=0;
b. XÐt tÝnh kh¶ vi cña f(x), g(x) t¹i x=0.
9. Cho hµm sè . X¸c ®Þnh n sao cho:
a. f(x) liªn tôc t¹i x=0.
b. f(x) cã ®¹o hµm t¹i x=0.
c. f(x) cã ®¹o hµm liªn tôc t¹i x=0.
10. CMR: §¹o hµm cña mét hµm sè ch½n lµ hµm sè lÎ cßn ®¹o hµm cña mét hµm sè lÎ lµ mét hµm sè ch½n.
11. CMR: NÕu y= f(x) lµ hµm tuÇn hoµn vµ kh¶ vi trªn R th× f’(x) còng lµ hµm tuÇn hoµn.
12. Sö dông ®Þnh nghÜa tÝnh ®¹o hµm cña 
13. Cho .T×m a ®Ó f(x) tån t¹i ®¹o hµm t¹i x= 0.
14. Cho .T×m a, b ®Ó f(x) tån t¹i f'(0).
15. Cho . T×m a, b ®Ó f(x) tån t¹i f'(-1).
16. Cho . T×m a, b ®Ó hµm sè tån t¹i ®¹o hµm t¹i x=1
17. Cho . T×m a, b ®Ó f(x) cã ®¹o hµm t¹i x= 0.
18. TÝnh ®¹o hµm cÊp mét cña c¸c hµm sè sau
a. y=cos2(x2-2x+2) 
b. y=|x2-5x+6|
c. y=(2-x2)cosx+2xsinx
19. T×m ®¹o hµm cÊp n cña c¸c hµm sè sau: