Hệ thống Công thức lượng giác

CễNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
Thpt Lờ Hồng Phong Thỏi Nguyờn -Trang 1 – Cự Xuõn Phước 
1. Cỏc Hệ Thức Lượng Trong Tam Giỏc: 
1. ðịnh lớ Cosin trong tam giỏc: 
ðịnh lớ: Với mọi tam giỏc ABC, ta luụn cú: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2= + − = + − = + −. cos .cos .cosa b c bc A b a c ac B c b a ba C 
2. ðịnh lớ sin trong tam giỏc: 
ðịnh lớ: Trong tam giỏc ABC, với R là bỏn kớnh ủường trũn ngoại tiếp ta cú: 
2= = =
sin sin sin
a b c
R
A B C
3. Cụng thức ủộ dài ủường trung tuyến: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 4 2 4 2 4
+ + +
= − = − = −; ;
a b c
b c a a c b b a c
m m m 
2. Tỉ số lượng giỏc của một số gúc cần nhớ: 
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 
Cung 
0 
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
 π 
sin 0 
1
2
 2
2
 3
2
 1 3
2
 2
2
1
2
 0 
cos 1 3
2
 2
2
1
2
 0 –
1
2
 – 2
2
 – 3
2
 −1 
tan 0 
1
3
 1 3 || – 3 −1 –
1
3
 0 
cot || 3 1 
1
3
 0 –
1
3
 −1 – 3 || 
3. Hằng ủẳng thức lượng giỏc: 

 sin cosx x+ =2 2 1 ⇔ 
2 2
2 2
1
1
 = −

= −

sin cos
cos sin
x x
x x
 ⇔ 
2
2
1
1
 = ± −
 = ± −
sin cos
cos sin
x x
x x

 tan
cos
x
x
+ =2
2
1
1 ⇔ 2
2
1
1
=
+
cos
tan
x
x
⇔ 
π
= ± ≠ + π
+ 2
1
 đk 
2
1
cos
tan
x x k
x

 cot
sin
x
x
+ =2
2
1
1 ⇔ 2
2
1
1
=
+
 sin
cot
x
x
⇔ = ± ≠ π
+ 2
1
 đk 
1
sinx x k
cot x

 = ⇔ = =
1
1
sin
tan .cot tan
cos cot
x
x x x
x x
⇔ 
π
= = ≠
1
 đk 
2
cos
cot
sin tan
x
x x k
x x
 Chỳ ý: Trong cỏc cụng thức cú chứa dấu (±) , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận 
xột giỏ trị của cung x trờn ủường trũn lượng giỏc. 
4. Cụng thức liờn hệ giữa 2 gúc cú liờn quan ủặc biệt 
Hai gúc bự nhau: Hai gúc phụ nhau Hai gúc ủối nhau gúc hơn kộm nhau 2π / : 
π − =
π − = −
π − = −
π − = −
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
( )
a a
a a
a a
cot a cota
2
2
2
2
π
− =
π
− =
π
− =
π
− =
sin( ) cos
cos( ) sin
tan( )
( ) tan
a a
a a
a cota
cot a a
− = −
− =
− = −
− = −
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
( )
a a
a a
a a
cot a cota
sin( ) cos
cos( ) sin
tan( ) cot
cot( ) tan
a a
a a
a a
a a
π
+ =
π
+ = −
π
+ = −
π
+ = −
2
2
2
2
: 
CễNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
Thpt Lờ Hồng Phong Thỏi Nguyờn -Trang 2 – Cự Xuõn Phước 
Hai gúc hơn kộm nhau π 
+ π = −
+ π = −
+ π =
+ π = 
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
a a
a a
a a
a a
Một số cụng thức ủặc biệt 
2
4
2
4
π
+ = +
π
− = −
sin cos sin( )
sin cos sin( )
x x x
x x x
5. Cụng thức cộng: 
+ = +
− = −
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
a b a b a b
a b a b a b
+ = −
− = +
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
6. Ngoài ra ta cũng cú cụng thức sau với một số ủiều kiện: 
1
1
−
− =
+
+
+ =
−
tan tan
tan( ) (*)
tan . tan
tan tan
tan( ) (**)
tan . tan
a b
a b
a b
a b
a b
a b
(*) cú ủiều kiện: 
2 2 2
π π π
≠ + π ≠ + π − ≠ + π, ,a k b k a b k 
(**) cú ủiều kiện: 
2 2 2
π π π
≠ + π ≠ + π + ≠ + π, ,a k b k a b k 
7. Cụng thức biến ủổi tớch thành tổng: 
1
.
2
1
.
2
1
.
2
= − + +
= − − +
= + + −
cos cos [cos( ) cos( )]
sin sin [cos( ) cos( )]
sin cos [sin( ) sin( )]
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
8. Cụng thức biến ủổi tổng thành tớch: 
2
2 2
2
2 2
+ −
+ =
+ −
− = −
cos cos cos .cos
cos cos sin . sin
a b a b
a b
a b a b
a b
2
2 2
2
2 2
+ −
+ =
+ −
− =
sin sin sin .cos
sin sin cos . sin
a b a b
a b
a b a b
a b
9. Cụng thức nhõn ủụi: 
2 2 2 2
2
2 2 1 1 2
2 2
2
2
2 2 21
= − = − = −
=
π π π
= ≠ + π ≠ + ∈
−
Z
cos cos sin cos sin
sin sin cos
tan
tan ( , , )
tan
a a a a a
a a a
a
a a k a k k
a
10. Cụng thức nhõn ba: 
3
3
3 3 4
3 4 3
= −
= −
sin sin sin
cos cos cos
a a a
a a a
11. Cụng thức hạ bậc: 
2
2
2 1
2
1 2
2
+
=
−
=
cos
cos
cos
sin
a
a
a
a
2 1 2
1 2
−
=
+
cos
tan
cos
a
a
a
3
3
3 3
4
3 3
4
−
=
+
=
sin sin
sin
cos cos
cos
a a
a
a a
a
12. Cụng thức tớnh tan a, cosa, sina theo tan
a
t =
2
: 
2
2
1
=
+
sin
t
a
t
2
2
1
1
−
=
+
cos
t
a
t
2
2
21
π
= ≠ + π
−
tan ,
t
a a k
t