Hệ thức Vi-Et

HỆ THỨC VI-ET
I. KIẾN THỨC
a. cú hai nghiệm thỡ: 
b. Tỡm hai số u và v biết rằng: thỡ u và v là nghiệm của pt 
II. BÀI TẬP
1. Cho phương trỡnh ẩn x: ( với m là tham số ).
a. Tỡm m để phương trỡnh trờn cú nghiệm kộp.
. Tớnh nghiệm kộp đú với m vừa tỡm được.
2. Tỡm giỏ trị của tham số m để phương trỡnh x2 +mx + m – 2 = 0 cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món hệ thức .
3. Cho phương trỡnh , (x là ẩn, m là tham số).
a. Giải phương trỡnh đó cho với 
b. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm và tổng lập phương của hai nghiệm đú bằng 27.
4. Cho x1 , x2 là hai nghiệm của phương trỡnh : 2x2 – 5x + 1 = 0 .
	 Tớnh M = x12 + x22
5. Cho phương trỡnh ( là ẩn, m là tham số).
 Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm sao cho:. 
6. Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – 2m – 3 = 0 (m là tham số).
a. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 .
b. Tìm giá trị của m sao cho (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0.
7. Cho phương trỡnh x2 – (2m +1) x + m2 + m = 0 (*)
a. Khi m = 0 giải phương trình (*) 
b. Tỡm m để phương trỡnh (*) cú hai nghiệm phõn biợ̀t x1; x2 và cả hai nghiợ̀m này đờ̀u là nghiợ̀m của phương trình x3 +x2 = 0.
Dạng 3: Định lớ Viet
1. Lập phương trỡnh bậc hai khi biết hai nghiệm 
Vớ dụ : Cho ; lập một phương trỡnh bậc hai chứa hai nghiệm trờn
Theo hệ thức VI-ẫT ta cú vậy là nghiệm của phương trỡnh cú dạng:
Bài tập ỏp dụng: 
x1 = 8	 	x2 = -3
x1 = 36 	x2 = -104
x1 = 	x2 = 
x1=2	x2=5	
x1=-5	 x2=7
x1=-4	x2=-9
2. Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm thoả món biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trỡnh cho trước:
V ớ dụ: Cho phương trỡnh : cú 2 nghiệm phõn biệt . Khụng giải phương trỡnh trờn, hóy lập phương trỡnh bậc 2 cú ẩn là y thoả món : và Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú:
Vậy pt cần lập cú dạng: hay
	Bài tập ỏp dụng :
1. Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
3x1 và 3x2	
-2x1 và -2x2	
 và 	
 và 	
 và 	
 và 
 và 	
 và 	
 và 	
	 và 
 2. Cho phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt . Khụng giải phương trỡnh, Hóy lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm và 
 3. Cho phương trỡnh : cú 2 nghiệm . Hóy lập phương trỡnh bậc 2 cú ẩn y thoả món và (cú nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của cỏc nghiệm của phương trỡnh đó cho).
4. Cho phương trỡnh bậc hai: cú cỏc nghiệm . Hóy lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm sao cho :
	a) và 	b) và 
5. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình. Hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: và 
6. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình. Hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: và 
7. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình. Hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: và 
8. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình. Hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: và 
9. Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
-x1 và -x2	
4x1 và 4x2	
 và 	
 và 	
 và 	
 và 
 và 	
 và 	
 và 	
 và 	
 và 	
x12x2 và x1x22
3. Tỡm hai số khi biết tổng và tớch của chung
Nếu hai số cú Tổng bằng S và Tớch bằng P thỡ hai số đú là hai nghiệm của phương trỡnh :(điều kiện để cú hai số đú là S2 4P ³ 0 )
V ớ dụ: Tỡm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tớch P = ab = 4
Vỡ a + b = 3 và ab = 4 n ờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : 
giải phương trỡnh trờn ta được và 
Vậy 	nếu a = 1 thỡ b = 4
	nếu a = 4 thỡ b = 1
Bài tập ỏp dụng
1.
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 33 , tích của chúng bằng 270.
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 4, tích của chúng bằng 50.
Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 6 , tích của chúng bằng -315.
2. Tìm hai số u, v biết:
u + v = 32; uv = 231	
u + v = -8; uv = -105
u + v = 2; uv = 	
u + v = 42; uv = 441
u - v = 5; uv = 24	
u + v = 14; uv = 40
u + v = -7; uv = 12	
u + v = -5; uv = -24
u + v = 4; uv = 19	
u - v = 10; uv = 24
u2 + v2 = 85; uv = 18	
u - v = 3; uv = 180
u2 + v2 = 5; uv = -2	
u2 + v2 = 25; uv = -12
4. Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức nghiệm
Đối cỏc bài toỏn dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đó cho về biểu thức cú chứa tổng nghiệm S và tớch nghiệm P để ỏp dụng hệ thức VI-ẫT rổi tớnh giỏ trị của biểu thức
 	( =.)
	( = =. )
	( = = )
	( = = ..)
1. Khụng giải phương trỡnh, tớnh giỏ trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh
	1. 	 	2. 	 
	3. 	 	4. 	 
b) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
	1. 	 	2. 	 
c) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
	1. 	 	2. 	 
d) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
	1. 	 	2. 	 
	3. 	 	4. 	 
e) Cho phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 ; x2 , khụng giải phương trỡnh, tớnh 
2. Cho phương trình: . Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính:
a) 	
b) 	
c) 	
d) 	
e) 	
f) 	
g) 	
h) 
i) 	
j) 	
k) 	
l) 
m) 	
n) 
3. Giống yờu cầu bài 2 đối với pt: 
4. Giống yờu cầu bài 2 đối với pt:
5. Giống yờu cầu bài 2 đối với pt:
6. Cho phương trình: . Không giải phương trình hãy tính:
a) Tổng bình phương các nghiệm	b) Tổng nghịch đảo các nghiệm
c) Tổng lập phương các nghiệm	d) Bình phương tổng các nghiệm
e) Hiệu các nghiệm	f) Hiệu bình phương các nghiệm
5. Tỡm giỏ trị tham số của phương trỡnh thừa món biểu thức chứa nghiệm đó cho
Đối với cỏc bài toỏn dạng này, ta làm như sau:
Đặt điều kiện cho tham số để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ạ 0 và D ³ 0)
Từ biểu thức nghiệm đó cho, ỏp dụng hệ thức VI-ẫT để giải phương trỡnh (cú ẩn là tham số).
Đối chiếu với điều kiện xỏc định của tham số để xỏc định giỏ trị cần tỡm.
Vớ dụ: Cho phương trỡnh : Tỡm giỏ trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài giải: 
Điều kiện để phương trỡnh c ú 2 nghiệm x1 và x2 l à :
Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú: 	và từ giả thiết: .
 Suy ra:
Vậy với m = 7 thỡ phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài tập ỏp dụng
1.Cho pt . Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x1; x2 thoả:
2.Cho pt . Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả một trong các hệ thức sau:
a) 	
b) 	
c) 	
d) 
3. Cho pt . Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả . Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
4.
a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
b) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
c) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
d) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
5. Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt: . Chứng minh: 
6.Cho phương trỡnh : Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
7. Cho phương trỡnh : Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức: 
8.Cho phương trỡnh : . Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
ài tập ỏp dụng
1.Cho pt. Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x1; x2 thoả:
2.Cho pt. Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả một trong các hệ thức sau:
a)	
b) 
c)	
d) 
3. Cho pt. Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
4.
a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
b) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhfffffffffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfhoả pt có hai nghiệm x1; x2 thoả. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
4.
a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
b) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhfffffffffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfhoả
pt có hai nghiệm x1; x2 thoả. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
4.
a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
b) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhfffffffffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfhoả
c) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
d) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả
5. Gọi x1; x2 là hai nghiệm khác 0 của pt:. Chứng minh: 
6.Cho phương trỡnh :