Hình học 11 - Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa 
H ÌNH H ỌC 11 
Ch ương 2. 
QUAN HỆ SONG SONG 
www.saosangsong.com.vn
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
2
MỤC LỤC 
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 4 
A.Tóm tắt giáo khoa 4 
B.Giải toán 5 
Dạng 1 : Xác định mặt phẳng :dùng 3 điều kiện xác định mặt phẳng 5 
Dạng 2 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 5 
Dạng 3 : Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng 7 
Dạng 4 : Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng 8 
Dạng 5 : Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 8 
Dạng 6 : Tập hợp các giao điểm M của 2 đường thẳng a và b di động. 9 
Dạng 7: Thiết diện ( mặt cắt) của hình (H) khi cắt bởi mp(P). 10 
C.Bài tập rèn luyện 10 
D.Hướng dẫn giải 11 
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 14 
A. Tóm tắt giáo khoa 14 
B.Giải toán 14 
C.Bài tập rèn luyện 15 
D. Hướng dẫn giải 15 
§3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 16 
A.Tóm tắt giáo khoa 16 
B. Giải toán 17 
C. Bài tập rèn luyện 18 
D. Hướng dẫn giải 19 
§4 . HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 19 
A .Tóm tắt giáo khoa 19 
B.Giải toán 22 
C. Bài tập rèn luyện 24 
D. Hướng dẫn giải 25 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
3
§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG 26 
A. Tóm tắt giáo khoa 26 
B. Giải toán 27 
C. Bài tập rèn luyện 28 
D.Hướng dẫn giải 28 
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CUỐI CHƯƠNG 2 29 
Bảng trả lời 31 
Hướng dẫn giải 31 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
4
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
QUAN HỆ SONG SONG 
§1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 
A.Tóm tắt giáo khoa 
2. Mở đầu về hình học không gian 
Hình học không gian là môn học nghiên cứu các tính chất của những hình có thể không cùng nằm trong 
một mặt phẳng . 
Đối tượng cơ bản của hình học không gian là :điểm ,đường thẳng ,mặt phẳng 
a
P
A
Điểm A thuộc mp(P) : A ∈ mp(P) 
Điểm A không thuộc mp(P) : A ∉mp(P) 
2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian 
Tính chất thừa nhận 1 : 
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước 
Tính chất thừa nhận 2 : 
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước 
Tính chất thừa nhận 3 : 
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng 
Tính chất thừa nhận 4 : 
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất 
cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó,đđường 
thẳng này gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng 
Tính chất thừa nhận 5 : 
Trên mỗi mặt phẳng ,các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng 
Định lí : 
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều 
nằm trên mặt phẳng đó 
3. Điều kiện xác định mặt phẳng 
a) Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng 
b) Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường 
thẳng đó 
c) Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau 
b
AA
O aaC
B PPP 
4. Hình chóp và hình tứ diện 
Hình chóp : Cho đa giác phẳng A1A2 . . .An và một điểm S không thuộc mặt phẳng đa giác. 
Hình gồm n tam giác SA1A2 , . . . , SAnA1 và đa giác phẳng A1A2 . . An gọi là hình chóp và được kí hiệu 
S.A1A2. . .An 
• S là đỉnh . Đa giác A1A2 . . An là mặt đáy. Các cạnh của mặt đáy là cạnh đáy 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
5
• Các đoạn thẳng SA1, SA2 , . . ,SAn là cạnh bên 
• Các tam giác SA1A2 , . . . , SAnA1 là mặt bên 
S S
S
A 5
A D A 1A A 4
B
C A 2C B A 3 
 Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác Hình chóp ngũ giác 
Hình tứ diện : Cho bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng.Hình gồm bốn tam giác ABC,ACD,ABD và 
BCD gọi là hình tứ diện hay tứ diện kí hiệu ABCD. 
• Tứ diện có thể coi là hình chóp tam giác bằng bốn cách,mặt nào cũng có thể là mặt đáy 
• Tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều gọi là tứ diện đều 
B.Giải toán 
Dạng 1 : Xác định mặt phẳng :dùng 3 điều kiện xác định mặt phẳng 
 Ví dụ 1: Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Chứng minh 3 trong 4 điềm này không thẳng hàng 
Giải 
Nếu 3 trong 4 điểm chẳng hạn A,B,C thẳng hàng thì điểm D và đường thẳngABC xác định một mặt 
phẳng ,điều này trái với giả thiết 4 điểm A,B,C và D không đồng phẳng 
 Ví dụ 2 : Cho ba đuờng thẳng a,b,c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một .Chứng minh chúng 
 đồng qui. 
Giải 
Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng a và b .Đường thẳng c phải qua O vì nếu c không qua O thì c cắt 
a tai A khác O và cắt b tại B khác O do đó c nằm trong mp(a,b)vì c có hai điểm A và B thuộc 
mp(a,b).Điều này trái với giả thiết a,b,c không đồng phẳng. 
a 
b
Dạng 2 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 
™ Ta tìm hai điểm chung A, B. Giao tuyến là đường thẳng AB. 
™ Để tìm điểm chung của A của , ta chọn một đường thẳng a của 
và một đường thẳng b của sao cho a và b cắt nhau tại A. 
vàα β
α β
 (Điều kiện cần là a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba) 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
6
 Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD trong đó đáy ABCD là tứ giác có các cặp 
 cạnh đối không song song 
 Tìm giao tuyến của : 
a) Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) 
b) Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) 
c) Hai mặt phẳng (MBC ) và (SAN) với M là trung điểm của SA và N là trung điểm của BC. 
Giải 
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của mặt đáy ABCD thì : 
O thuộc AC nên O thuộc mp(SAC) 
O thuộc BD nên O thuộc mp(SAD) 
Do đó hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có hai điểm chung S và O 
Vậy SO = (SAC) (SBD) ∩
b) Theo giả thiết hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại E .Do đó hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có hai 
điểm chung S và E 
Vậy SE = (SAB) ∩ (SCD) 
c) M là trung điểm của SA nên M ∈ mp(SAN) và M∈mp(MBC) 
N là trung điểm của BC nên N ∈ mp(MBC) và N ∈mp(SAN) 
Vậy MN = (MBC) (SAN) ∩
S
A
MM
B
A NN D
O
D B OC
CE
E 
 Ví dụ 4 : Cho thứ diện ABCD .Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh cạnh AC sao cho đường 
 thẳng MN cắt đường thẳng BC tai E.Gọi O là điểm trong tam giác BCD. 
a) Tìm giao tuyến của hai mp(OMN) và mp(BCD) 
b) Tìm giao tuyến của hai mp(OMN) và mp(ACD) 
Giải 
a) E ∈ BC nên E ∈mp(BCD) 
E ∈ MN nên E ∈ mp(OMN) 
O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng này 
Vậy OE = mp(OMN) ∩mp(BCD) 
b) Hai mặt phẳng (OMN) và mp(ACD) có N chung vì N ∈ AC 
Đường thẳng OE cắt BD tại F . Đường thẳng MF cắt AD tại I vì nằm trong mp(ABD) và giả sử không 
song song. 
I ∈MF nên I ∈mp(OMN) và I ∈AD nên I ∈mp(ACD) 
Vậy NI = mp(OMN) mp(ACD) ∩
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
7
Hoặc : OE cắt CD tại K thì NK = mp(OMN) ∩mp(ACD) 
a
(P) 
Q 
b 
Dạng 3 : Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng 
• Muốn tìm giao điểm của đường thẳng a với mặt phẳng (P) ta tìm 
giao điểm của đường thẳng a với đường thẳng b nằm trong mp(P) 
• Đường thẳng b phải tìm thường là giao tuyến của (P) và mặt 
phẳng (Q) nào đó chứa a. 
 Ví dụ 5 : Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC và O là điểm trong 
 tam giác BCD.Tìm giao điểm của : 
a) CD và mp(OMN) 
 b) AD và mp(OMN) 
Giải 
a) NO và CD cùng nằm trong mp(BCD) và giả sử cắt nhau tai E . 
Vậy CD mp(OMN) = {∩ }E 
b) Ta có mp(OMN) mp(ACD) = ME ∩
Trong mp(ACD) , AD và ME cắt nhau tai F 
Vậy AD ∩mp(OMN) = { }F 
A S
M
M F
IE D C
DB OO
N A N B
C 
 Ví dụ 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi M là trung điểm của SC , 
a) Tìm giao điểm I của AM với mp(SBD) và tính 
IA
IM
b) Gọi N là trung điểm của AB .Tìm giao điểm E của MN với mp(SBD). 
Chứng minh EM = EN 
c) Tìm giao điểm của SD với mp(ABM) 
Giải 
a) Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM và SO giao nhau tại I . 
Mà I ∈SO và SO nằm trong mặt phẳng SBD nên I ∈ mp(SBD) 
Vậy AM ∩mp(SBD) = { }I 
I là trọng tâm tam giác SBD nên 
IA
IM
 = 2 
b) Ta thấy BI = mp(SBD) ∩mp(ABM) .Do đó BI cắt MN tại F 
Vậy MN mp(SBD) = {∩ }E 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
8
Xét tam giác AMN ta có IA = 2 IM (chứng minh trên) 
Do đó gọi F là trung điểm của AI thì NF song song với BI (đường trung của tam giác ABI.Trong tam giác 
MNI ta có EI song song với NF và I là trung điểm của MF nên E là trung điểm của MN 
 c) Trong tam giác SBD đường thẳng BI cắt SD tại H thì H ∈mp(ABM) 
Vậy SD ∩ mp(ABM) tại H 
Dạng 4 : Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng 
Ta chứng minh chúng là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau 
 Ví dụ 7 : Cho tứ diện ABCD.Lần lượt lấy trên các cạnh AB,AC,AD các điểm M,N,P sao cho đường 
 thẳng MN cắt đường thẳng BC tại A’, đường thẳng NP cắt đường thẳng CD tại B’ và đường thẳng MP 
 cắt đường thẳng BD tại C’ 
 Chứng minh ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng 
Giải 
Ta có A’ ∈ MN nên A’ ∈mp(MNP) và A’ ∈BC nên A’ ∈mp(BCD) 
Tương tự B’ và C’ là điểm chung của hai mp(MNP) và mp(BCD) 
Vậy ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng MNP và BCD 
AA
M
P
GbC' GD
DB N
B
C GaA' M
B'
C 
Dạng 5 : Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 
Có 2 cách : 
• chứng minh 3 đường thẳng này không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một 
• chứng minh 2 trong 3 đường thẳng này cắt nhau và giao điểm của chúng ở trên đừơng thẳng 
 thứ ba 
 Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD . Gọi Ga , Gb , Gc lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABC. 
 Chứng minh AGa và BGb cắt nhau .Suy ra ba đường thẳng AGa , BGb và CGc đồng qui 
Giải 
Gọi M là trung điểm của CD . BM là trung tuyến của tam giác BCD nên trọng tâm Ga ∈BM . AM cũng là 
trung tuyến của tam giác ACD nên trọng tâm 
Gb ∈ AM .Trong tam giác ABM hai đoạn AGa và BGb cắt nhau tại G 
Chứng minh tương tự ba đường thẳng AGa , BGb và CGc không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một ,vậy 
chúng đồng qui tại G 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
9
 Ví dụ 9 : Cho hình chóp S.ABCD .Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt SA, SB, SC, SD tại A’, B’ ,C’, D’. Gọi 
 O là giao điểm của AC và BD .Chứng minh ba đường thẳng A’C’, B’D’ và SO đồng qui. 
Giải 
Trong mặt phẳng (P) hai đường chéo A’C’ và B’D’ cắt nhau tại O’ 
Ta có : (SAC) (SBD) = SO ∩
Mà O’∈A’C’ và A’C’ nằm trong mp(SAC) nên O’ ∈mp(SAC) 
b 
M 
và O’ ∈B’D’ và B’D’ nằm trong mp(SBD) nên O’ ∈ mp(SBD) 
Vậy O’∈SO giao tuyến của hai mặt phẳng này 
Suy ra A’C’ , B’D’ và So đồng qui a 
Dạng 6 : Tập hợp các giao điểm M của 2 đường thẳng a và b di động. 
• Tìm mặt phẳng (P) cố định chứa a và mặt phẳng (Q) cố định chứa 
b. 
• M di động trên giao tuyến d của (P) v à (Q). 
• Xét giới hạn. nếu có. 
 Ví dụ 10: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại O.Điểm M di động trên đường 
 thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và không quaO .Tập hợp các đường thẳng OM làmặt phẳng cố 
 định nào? 
Giải 
Điểm O cố định và đường thẳng d cố định không qua O xác định mặt phẳng (O,d) .Điểm M ∈ d nên OM 
nằm trong mặt phẳng cố định (O,d) 
A
M
P
D
O
B
C
D
E
F M
N
I
 Ví dụ 11 : Cho tứ diện ABCD . Gọi E và F lần lượt là hai điểm cố định trên các cạnh AB và AC sao cho 
 EF không song song với BC.Điểm M di động trên cạnh CD 
a) Xác định giao điểm N của mp(MEF) với BD 
b) Tìm tập hợp giao điểm I của EM và FN 
Giải 
a) EF không song song với BC nên cắt BC tại K.Trong tam giác BCD đường thẳng KM cắt BD tại N.Vậy 
N là giao điểm của mp(MEF) với BD 
b) Ta có I∈EM và EM nằm trong mp(ECD) cố định nên I ∈mp(ECD) 
I∈FN và FN nằm trong mp(FBD) cố định nên I ∈mp(FBD) 
Vậy I ∈ giao tuyến của hai mp(ECD) và (FBD) 
Gọi G là giao điểm của BF và CE thì I ∈ DK giao tuyến của hai mp(ECD) vàmp(FBD) 
Giới hạn : khi M di động trên đoạn CD thì I di động trên đoạn DG 
Phần đảo : Gọi I là điểm tùy ý trên đoạn DG .EI cắt CD tại M và FI cắt BD tại N .Vậy I là giao 
O 
d M 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
10
điểm của EM và FN 
M N 
L 
P 
Dạng 7: Thiết diện ( mặt cắt) của hình (H) khi cắt bởi mp(P). 
• Thiết diện là phần chung của mp(P) và hình (H) 
• Xác định thiết diện là xác định giao tuyến của mp(P) 
với các mặt của hình (H). Thường ta xác định giao 
tuyến đầu tiên của (P) và một mặt nào đó ( tìm 2 điểm 
chung). Sau đó kéo dài giao tuyến này ta tìm được các 
điểm chung khác với các mặt khác. Từ đó tìm được các 
giao tuyến tiếp theo. Đa giác giới hạn bởi các đoạn 
 giao tuyến này khép kìm thành thiết diện cần tìm.. 
Trong hình bên, tam giác MNL là thiết diện của mặt 
phẳng (P) và hình chóp. 
 Ví dụ 12 : Cho hình chóp S.ABCD. Lấy điểm A’ trên cạnh SA Xác định thiết diện của 
 mp(A’CD) với hình chóp 
Giải 
S
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của mặt đáy 
.Trong tam giác SAC, SO cắt A’C tại O’.Trong tam giác SBD , 
DO’ cắt SB tại B’. A'
Vậy thiết diện của hình chóp với mp(A’CD) là tứ giác A’B’CD 
B' DI
C.Bài tập rèn luyện A
2.1 Hình chóp có đáy là lục giác thì có bao nhiêu mặt bên 
Ovà bao nhiêu cạnh 
B C
2.2 Cho tứ diện ABCD.Lần lượt lấy trên các cạnh AB,AC và BD 
các điểm M.N,P sao cho MN cắt BC tại E và AD cắt MP tại F 
a) Xác định giao tuyến của hai mp(MNP) và mp(BCD) 
 Xác định giao tuyến của hai mp(MNP) và mp(ACD) 
b) Chứng minh CD, EP và NF đồng qui 
2.3 Cho hình chóp S.ABCD ,giả sử AD và BC cắt nhau tại E .Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và 
SB , điểm M lưu động trên cạnh SD 
a) Tìm giao tuyến của hai mp(SAD) và mp(SBC) 
 Tìm giao tuyến của hai mp(SAC) và (SBD) 
b) Tìm giao điểm N của SC với mp(MIJ) 
c) Tìm tập hợp giao điểm H của IN và JM 
2.4 Cho tứ diện ABCD .Lấy điểm M trên cạnh AB và N trên cạnh AD sao cho MN và BD không song 
song .Gọi O là điểm trong tam giác BCD.Tìm giao tuyến của mp(OMN) với các mp(BCD), 
mp(ABC) và mp(ACD) 
2.5 Cho tứ diện ABCD .Lấy điểm P trên đường thẳng BD không thuộc đoạn BD. Trong mp(ABD) đường 
thẳng qua P cắt hai cạnh AB và AD lần lượt tại E và F .Trong mp(BCD) đường thẳng qua P cắt hai cạnh 
BC và CD lần lượt tại M và N . 
a) Bốn điểm E,F,M,N có thuộc mặt phẳng không? 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
11
b) Gọi O là giao điểm của BN và DM , I là giao điểm của BF và DE , J là giao điểm của EN và FM 
.Chứng mimh ba điểm A,O,J thẳng hàng và ba điểm C,I,J thẳng hàng 
c) Giả sử EM và FN cắt nhau tại K.Chứng minh A,K,C thẳng hàng 
2.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.Lấy điểm M trên cạnh SC, điểm N trên 
cạnh SD và gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 
a) Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng (BMN) 
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (BMN) 
c) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (SAB) 
2.7 Cho tứ diện ABCD.Lấy điểm M trong tam giác BCD và điểm N trong tam giác ACD . 
Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với các mặt phẳng (BCD). (ABC) 
2.8 Cho hình chóp S.ABCD .Giả sử AD và BC không song song .Gọi O là giao điểm của AC và BD,E và 
F lần lượt là trung điểm của SA và SB.Điểm M di động trên cạnh SC. 
a) Xác định giao điểm N của SD với mp(EFM) 
b) Tìm tập hợp giao điểm I của EM và FN 
c) Tìm tập hợp giao điểm J của EN và FM 
2.9 Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a.Kéo dài BC một đoạn CE = a và kéo dài BD một 
đoạn DF = a.Gọi M là trung điểm của AB.Xác định và tính diện tích của thiết diện của tứ 
diện với mp(MEF) 
2.10 Cho hình chóp S.ABCD và điểm O trong tam giác SAB.Xác định thiết diện của hình chóp 
khi cắt bởi mặt phẳng (CDO) 
D.Hướng dẫn giải 
2.1 12 cạnh và 6 mặt bên 
2.2 a) Hai mặt phẳng (MNP) và (BCD) có hai điểm chung E và P .Vậy giao tuyến của chúng là EP 
Hai mặt phẳng (MN) và (ACD) có hai điểm chung là N và F .Vậy giao tuyến của chúng là NF 
b) Gọi I là giao điểm của EP và NF thì I thuộc hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) 
Vậy I thuộc giao tuyến CD của hai mặt phẳng này.Suy ra CD,EP và NF đồng qui 
S
A
M
IM
J N D
A
B
C
D
E
N
F
P
E O
I B
C
2.3 a) Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có hai điểm chung S và E .Vậy giao tuyến của chúng là SE 
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có hai điểm chung S và O .Vậy giao tuyến của chúng là SO 
b) Trong tam giác SBD , SO và MJ cắt nhau tai H.Trong tam giác SAC , IH cắt SC tại N .Vậy N là giao 
điểm của SC với mặt phẳng (MIJ) 
a) Ta có H ∈ IN nên thuộc mặt phẳng (SAC) 
 H ∈ MJ nên H thuộc mặt phẳng (SBD) 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
12
Vậy H ∈ SO giao tuyến của hai mặt phẳng này 
Giới hạn : khi M đến S thì H đến S và khi M đến D thì H đến H’ là giao điểm của SO với JD 
Đảo lại , lấy điểm H trên đoạn SH’.JH cắt SD tại M và IH cắt SC tại N 
Vậy tập hợp các điểm H là đoạn SH’ 
2.4.Trong mặt phẳng ABD , MN và AD không song song nên cắt nhau taiE. 
Hai mặt phẳng (OMN) và (BCD) có hai điểm chung O và E nên giao tuyến của chúng là OE 
Giả sử EO cắt BC tại F .Hai mặt phẳng (OMN) và (ABC) có hai điểm chung M và F .Vậy giao tuyến của 
chúng là MF 
Giả sử OE cắt CD tại H .Hai mặt phẳng (OMN) và (ACD) có hai điểm chung N và H .Vậy giao 
tuyến của chúng là NH 
2.5 a) Hai đường thẳng PEF và PMN đồng qui nên xác định mặt phẳng .Vậy 4 điểm E,F,M,N thuộc mặt 
phẳng 
b) Ba điểm A,O,J là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (ABN) và (ADM) .Vậy chúng thẳng 
hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng này 
 Ba điểm C,I,J là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (CDE) và (CBF) .Vậy chúng thẳng 
hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng này 
c) Ba điểm A,K,C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (ADC) .Vậy chúng thẳng 
hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng này 
A
A
M
N
F
D E E I
HB J DO
BF P OC M N
C 
a) SO và BN nằm trong tam giác SBD nên cắt nhau tại I.Vậy I là giao điểm của SO với mp(BMN). 
b) Trong tam giác SAC, MI cắt SA tại P .Vậy PN là giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) và( SAD) 
c) Trong mp(BMN) giả sử MN và BP cắt nhau tại H thì MN ∩ (SAB) = { }H 
S
A
N
A
D
N
M DBO M
B C C 
2.6. N thuộc mp(ACD) nên AN nối dài cắt CD tại E .Hai mặt phẳng (AMN) và (BCD) có hai điểm chung 
M và E nên giao tuyến của chúng là ME 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
13
Giả sử ME cắt BC tại F .Hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) có hai điểm chung A và F nên giao tuyến của 
chúng là AF 
2.8 a) Trong mp(SAC) , EM cắt SO tại I.Trong mp(SBD) , FI cắt SD tại N.Vậy N là giao điểm của SD 
với mp(EFM) 
b) I thuộc giao tuyến SO của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). 
Giới hạn : Khi M đến S thì I đến S và khi M đến C thì I đến I’ là giao điểm của SO với CE.Xét phần đảo 
c) J thuộc giao tuyến SH của hai mặt phẳng (SBC) và(SAD).Giới hạn : khi M đến S thì J đến S và khi M 
đến C thì J đến J’ giao điểm của SH với MF.Xét phần đảo 
2.9 ME cắt AC tại N và MF cắt AD tại P .Thiết diện của tứ diện với mp(MEF) là tam giác MNP. 
Trong tam giác ABE,AC và EM là hai trung tuyến giao nhau tại trọng tâm N 
Trong tam giác ABF,AD và FM là hai trung tuyến giao nhau tại trọng tâm P 
S
A
N
H
C
D
B
F
M
I
EJ
M
P
A
O N
D FB
C
E 
Ta có AM = 
2
a
 , AN = AP = NP = 
2
3
a
 .Tam giác MNP cân tại M nên đường cao MH cũng là trung 
tuyến ,do đó NH = 
3
a
Tam giác vuông MNH cho MH2 = MN2 – NH2 = 
2 2 5
4 9 36
a a a− =
2
5
6
a
 . Vậy SMNP = Do đó MH = S
B
C
D
A
O
E
H
F
21 1 2 5 5.
2 2 3 6 18
a a aNP MH× = × = 
2.10 Giả sử đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại 
E.Đường thẳng EO cắt SA tại F và cắt SB tại H ( vì 
điểm O ở trong tam giác SAB).Hai mặt phẳng (CDO) và 
(SBC) có hai điểm chung C và H nên cắt nhau theo giao 
tuyến CH .Hai mặt (CDO) và (SDA) có hai điểm chung D 
và F nên cắt nhau theo giao tuyến DF 
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt (CDO) là tứ giác 
CDFH 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
14
§2. Hai đường thẳng song song 
A. Tóm tắt giáo khoa 
1..Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt 
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian : 
a) Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, ta nói hai đường thẳng a và b chéo nhau 
b) Có mặt phẳng chứa cả a và b ,ta nói chúng đồng phẳng 
• nếu a và b không có điểm chung thì ta nói chúng song song với nhau và kí hiệu a // b 
• nếu a và b có một điểm chung duy nhất thì ta nói chúng cắt nhau Nếu điểm chung của chúng 
là I , ta nói chúng cắt nhau tại I hoặc I là giao điểm của chúng và viết a∩ b = { }I 
Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng 
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. 
2. Hai đường thẳng song song 
Tính chất 1 : 
Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ,có một và chỉ một đường thẳng song song 
với đường thẳng đó 
Tính chất 2 : 
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song nhau 
Định lí : 
Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc song 
song 
Hệ quả : 
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) 
song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó) 
B.Giải toán 
 Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD.Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng 
 AB, BC, DA, AC, BD. 
a) Chứng minh ba đoạn thẳng MN,PQ và RS đồng qui tại trung điểm G của mỗi đoạn. 
b) Gọi Ga là trọng tâm tam giác BCD.Chứng minh ba điểm A,G,Ga thẳng hàng và tính 
a
GA
GG
Giải 
a) MP là đường trung bình tam giác ABC và NQđường trung bình 
k
A
C
D
M
N
Q
B
P
R
S
Ga
G
tam giác ACD nên ta có : MP//NQ//AC và 
2
ACMP NQ= = 
Vậy tứ giác MPNQ là hình bình hành nên hai đường chéo MN và PQ 
giao nhau tại trung điểm G mỗi đường. 
Chứng minh tương tự tứ giác PRQS là hình bính hành nên hai đường 
chéo PQ và RS giao nhau tại trung điểm mỗi đường. 
Vậy ba đoạn thẳng MN,PQ và RS đồng qui tại trung điểm G 
b) Ga là trọng tâm của tam giác BCD nên Ga thuộc trung tuyến BN và 
trung tuyến DP ,do đó Ga thuộc hai mặt phẳng (ABN) và mặt phẳng 
(ADP). 
Ba điểm A, G, Ga là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt 
(ABN) và (ADP) .Vậy chúng thẳng hàng trên giao tuyến AGa 
Gọi I là trung điểm của BN thì GI // BM (đường trung bình của tam giác BMN) 
Chương 2. Đường thẳng và mặt phẳng . Quan hệ song song 
www.saosangsong.com.vn 
15
A
B C
D
S
E
F
Ta có 
1 1
2 4
GI BM AB= = 
Hai tam giác GaGI và GaAB đồng dạng nên 
1
4
a
a
G G IG
G A AB
= = 
Vậy 
a
GA
GG
= 3 
 Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành 
 a) Tìm gia