Hình học không gian qua các đề thi

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN QUA CÁC ĐỀ THI
Bài 1. (A 2002)
	Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giá AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 2. (B 2002)
	Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a.
a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
b. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP, C1N.
Bài 3. (D 2002)
	Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4 cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Bài 4. (A 2003)
1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B, A’C, D].
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
a. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b. Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài 5. (B 2003)
	Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 60°. Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài canh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Bài 6. (D 2003)
	Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng Δ. Trên Δ lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấ điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD vuông góc với Δ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 7. (A 2004)
	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tạo gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B (0; 1; 0), S(0; 0; ). Gọi M là trung điểm cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đưởng thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối hình chóp A.BMN.
Bài 8. (B 2004)
	Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng φ (0° < φ < 90°). Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo φ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và φ.
Bài 9. (A 2006)
	Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn (O) và (O’), bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích khối tứ diện OO’AB.
Bài 10. (B 2006)
	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt klà trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 11. (D 2006)
	Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Bài 12. (A 2007)
	Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông goác với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Bài 13. (B 2007)
	Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 14. (D 2007)
	Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. Biết góc ABC = BAD = 90°, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông góc và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Bài 15. (A 2008)
	Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giá vuông tại A, AB = a, AC = a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phằng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.
Bài 16. (B 2008)
	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = avà mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối hình chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thằng SM, DN.
Bài 17. (D 2008)
	Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a. Cạnh bên AA’ = a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.
Bài 18. (A 2009)
	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60°. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
Bài 19. (B 2009)
	Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°; tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 60°. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
Bài 20. (D 2009)
	Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Bài 21. (A 2010)
	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Bài 22. (B 2010)
	Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60°. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Bài 23. (D 2010)
	Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AC = 4AH. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Bài 24. (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 25. (B 2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60°. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
Bài 26. (D2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = và góc SBC = 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 27. (AA1 2012) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Bài 28. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.
Bài 29. (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
Bài 30. (AA1 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30°, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mp (SAB).
Bài 31. (B 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với mp đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
Bài 32. (D 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc BAD = 120°, M là trung điểm của cạnh BC và góc SMA = 45°. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mp (SBC).