Hình học tổng hợp luyện thi vào lớp 10 năm học: 2011-2012
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Hình học tổng hợp luyện thi vào lớp 10 năm học: 2011-2012, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
HÌNH HỌC TỔNG HỢP LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Năm học: 2011-2012 Bài 1 .Cho hình vuoâng ABCD. Treân caïnh BC, CD laàn löôït laáy caùc ñieåm E, F sao cho . Bieát BD caét AE, AF theo thöù töï taïi G, H. Chöùng minh: ADFG, GHFE laø caùc töù giaùc noäi tieáp DCGH vaø töù giaùc GHFE coù dieän tích baèng nhau . Baøi 2. Cho DABC khoâng caân, ñöôøng cao AH, noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O. Goïi E, F thöù töï laø hình chieáu cuûa B, C leân ñöôøng kính AD cuûa ñöôøng troøn (O) vaø M, N thöù töï laø trung ñieåm cuûa BC, AB. Chöùng minh: Boán ñieåm A,B, H, E cuøng naèm treân ñöôøng troøn taâm N vaø HE// CD. M laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DHEF. Baøi 3. Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB. Goïi H laø ñieåm chính giöõa cung AB, goïi M laø moät ñieåm naèm treân cung AH; N laø moät Ñieåm naèm treân daây cung BM sao cho BN = AM. Chöùng minh: DAMH = DBNH. DMHN laø tam giaùc vuoâng caân. Khi M chuyeån ñoängtreân cung AH thì Ñöôøng vuoâng goùc vôùi BM keû töø N luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh ôû treân tieáp tuyeán cuûa nöûa ñöôøng troøn taïi ñieåm B Gôïi yù: 3)Goïi ñöôøng thaúng qua N vuoâng goùc vôùi MB caét tieáp tuyeán taïi B ôû Q. Chöùng minh D AMB = D BNQ Þ BQ = BA = hằng số Baøi 4.Cho (O) ñöôøng kính AC. Treân ñoaïn OC laáy ñieåm B vaø veõ ñöôøng troøn (O/) ñöôøng kính BC. Goïi M laø trung ñieåm ñoaïn AB. Töø M keû daây cung DE^AB. Goïi I laø giao cuûa DC vôùi (O/) Chöùng minh ADBE laø hình thoi. BI// AD. I,B,E thaúng haøng . Gôïi yù: c) Chöùng minh qua B coù 2 ñöôøng thaúng: BE vaø BI cuøng song song vôùi AD. Baøi 5. Treân ñöôøng thaúng d laáy ba ñieåm A,B,C theo thöù tö ïñoù. Treân nöûa maët phaúng bôø d keû hai tia Ax, By cuøng vuoâng goùc vôùi dt. Treân tia Ax laáy I. Tia vuoâng goùc vôùi CI taïi C caét By taïi K. Ñöôøng troøn ñöôøng kính IC caét IK taïi P. 1)Chöùng minh töù giaùc CBPK noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn 2)Chöùng minh AI.BK = AC.CB 3)Giaû söû A,B,I coá ñònh haõy xaùc ñònh vò trí ñieåm C sao cho dieän tích hình thang vuoâng ABKI max. Baøi 6. Töø moät ñieåm S ôû ngoaøi ñöôøng troøn (O) veõ hai tieáp tuyeán SA, SB vaø caùt tuyeán SCD cuûa ñöôøng troøn ñoù. Goïi E laø trung ñieåm cuûa daây CD. Chöùng minh 5 ñieåm S,A,E,O,B cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn Neáu SA = AO thì SAOB laø hình gì? Taïi sao? Chöùmg minh raèng: b/ SAOB laø hình vuoâng c/ Laáy E thuoäc CD Sao cho Chöùng minh D CAE D BAD Þ AB.CE = AC. AD (1) CM AB.DE = AC. CB (2) Töø (1) vaø (2) Þ AB.CD = AC .BD + AD.BC (3) C/minh D SAC D SDA Þ (4) , (5) D SCB D SBD Þ (6) Töø 4, 5, 6 Þ AC.BD = AD. BC (7) Töø 3, 7 Þ ñpcm Baøi 7. Cho DABC vuoâng ôû A. Nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB caét BC taïi D. Treân cung AD laáy moät ñieåm E. Noái BE vaø keùo daøi caét AC taïi F. Chöùng minh: CDEF laø moät töù giaùc noäi tieáp. Keùo daøi DE caét AC ë K. Tia phaân giaùc cuûa goùc CKD caét EF vaø CD taïi M vaø N. Tia phaân giaùc cuûa goùc CBF caét DE vaø CF taïi P vaø Q. Töù giaùc MNPQ laø hình gì? Taïi sao? Goïi r, r1, r2 theo thöù töï laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp caùc tam giaùc ABC, ADB, ADC. Chöùng minh raèng Baøi 8. Cho DABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O, baùn kính R. H¹ caùc ñöôøng cao AD, BE cuûa tam giaùc. Caùc tia AD, BE laàn löôït caét (O) taïi caùc ñieåm thöù hai laø M, N. Chöùng minh raèng: Boán ñieåm A,E,D,B naèm treân moät ñöôøng troøn. Tìm taâm I cuûa ñöôøng troøn ñoù. MN// DE Cho (O) vaø daây AB coá ñònh , ñieåm C di chuyeån treân cung lôùn AB. Chöùng minh raèng ñoä daøi baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DCDE khoângñoåi. YÙ 3 / Deã chöùng minh ñöôïc : HC = B2i 9. Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Laáy D treân cung AB (D khaùc A,B), laáy ñieåm C naèm giöõa O vaø B. Treân nöûa maët phaúng bôø AB coù chöùa D keû caùc tia Ax vaø By vuoâng goùc vôùi AB. Ñöôøng thaúng qua D vuoâng goùc vôùi DC caét Ax vaø By laàn löôït taïi E vaø F . CMR : Goùc DFC baèng goùc DBC CMR : ECFvuoâng Giaû söû EC caét AD taïi M, BD caét CF taïi N. CMR : MN//AB 4)CMR: ñöôøng troøn ngoaïi tieáp EMD vaø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DNF tieáp xuùc nhau taïi moät ñieåm. 4 a/ Söû duïng tính chaát goùc noäi tieáp b/ Chöùng minh toång 2 goùc cuûa ECF baèng 1 vuoâng c/ (cuøng phuï vôùi goùc MDC) Baøi 10. Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB = 2R. Treân nöûa maët phaúng bôø AB chöùa nöûa ñöôøng troøn keû hai tia tieáp tuyeán Ax vaø By. Qua ñieåm M thuoäc nöûa ñöôøng troøn(M khaùc A vaø B) keû tieáp tuyeán thöù ba caét Ax vaø By ôû C, D. Chöùng minh: a) CD = AC+BD b) AC.BD = R2 Xaùc ñònh vò trí ñieåm M ñeå töù giaùc ABDC coù dieän tích nhoû nhaát. Cho R = 2 cm, dieän tích töù giaùc ABDC baèng 32cm2. Tính dieän tích DABM SDABM nhoû nhaát khi CD nhoû nhaát. CD nhá nhÊt khi CD song song vôùi AB Khi ñoù M laø ñieåm chính giöõa cung AB Bµi 11. Cho ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh AB = 2R. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AO. Qua I kÎ d©y CD vu«ng gãc víi AB. 1) Chøng minh: a) Tø gi¸c ACOD lµ h×nh thoi. b) 2) Chøng minh r»ng O lµ trùc t©m cña DBCD. 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M trªn cung nhá BC ®Ó tæng (MB+MC+MD) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 12. Cho D ABC cã 3 gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) . VÏ c¸c tiÕp tuyÕn víi (O) t¹i A vµ B, c¸c tiÕp tuyÕn nµy c¾t nhau t¹i M . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn MC CMR: a/MAOH lµ tø gi¸c néi tiÕp b/ Tia HM lµ ph©n gi¸c cña gãc AHB c/ Qua C kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t MA, MB lÇn lît t¹i E, F. Nèi EH c¾t AC t¹i P, HF c¾t BC t¹i Q. Chøng minh r»ng QP // EF. Bµi 13. Cho (O) ®êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iÓm cña OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C. Gäi K lµ ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MM . CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp. TÝnh AH.AK theo R. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm K ®Ó (KM+KN+KB) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã . Bµi 14. Tõ mét ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn (O) vÏ hai tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn AMN cña ®êng trßn ®ã. Gäi I lµ trung ®iÓm cña d©y MN, H lµ giao ®iÓm cña AO vµ BC. Chøng minh: N¨m ®iÓm A, B, I, O, C cïng n»m trªn mét ®êng trßn. vµ . Bµi 15. Cho tam gi¸c ABC kh«ng c©n cã ba gãc nhän néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O. Hai ®êng cao AI vµ BE c¾t nhau t¹i H. 1/. Chøng minh CHI = CBA . 2/. Chøng minh EI CO. 3/. Cho gãc ACB = 600. Chøng minh CH = CO. Bµi 16. Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®Ønh B vµ C ë trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AD, t©m O. Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i E. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E xuèng AD vµ I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh r»ng: C¸c tø gi¸c ABEH, DCEH néi tiÕp ®îc; E lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c BCH; N¨m ®iÓm B, C, I, O, H ë trªn mét ®êng trßn. Bµi 17.Cho nöa ®êng trßn t©m O cã ®êng kÝnh AB = 2R. KÎ hai tia tiÕp tuyÕn Ax vµ By cña nöa ®êng trßn (Ax, By vµ nöa ®êng trßn cïng thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê AB). Gäi M lµ ®iÓm tïy ý thuéc nöa ®êng trßn (kh¸c A vµ B). TiÕp tuyÕn t¹i M cña nöa ®êng trßn c¾t Ax t¹i D vµ c¾t By t¹i E. Chøng minh r»ng: DOE lµ tam gi¸c vu«ng. Chøng minh r»ng: . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn nöa ®êng trßn (O) sao cho diÖn tÝch cña tø gi¸c ADEB nhá nhÊt. Bµi 18. Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2)cã b¸n kÝnh b»ng nhau vµ c¾t nhau ë A vµ B . VÏ c¸t tuyÕn qua B kh«ng vu«ng gãc víi AB, nã c¾t hai ®êng trßn ë E vµ F . (E Î(O1); FÎ(O2)). 1. Chøng minh AE = AF 2. VÏ c¸t tuyÕn CBD vu«ng gãc víi AB (C Î(O1); DÎ(O2)).Gäi P lµ giao ®iÓm cña CE vµ FD . Chøng minh r»ng: a. C¸c tø gi¸c AEPF vµ ACPD néi tiÕp ®îc ®êng trßn . b. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF . Chøng minh ba ®iÓm A, I, P th¼ng hµng. 3. Khi EF quay quanh B th× I di chuyÓn trªn ®êng nµo ? Bµi 19. Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB b»ng 2R. M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn nöa ®êng trßn (M kh¸c A vµ B). KÎ hai tiÕp tuyÕn Ax vµ By víi nöa ®êng trßn. Qua M kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t hai tiÕp tuyÕn Ax vµ By t¹i C vµ D. Chøng minh r»ng: DCOD vu«ng . Chøng minh r»ng: AC.BD = R2 . Gäi E lµ giao cña OC vµ AM; F lµ giao cña OD vµ BM. Chøng minh r»ng: EF = R T×m vÞ trÝ M ®Ó SABCD ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt. Bµi 20. Cho M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn nöa ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh AB = 2R(M kh«ng trïng víi A vµ B). VÏ c¸c tiÕp tuyÕn Ax, By, Mz cña nöa ®êng trßn ®ã. §êng Mz c¾t Ax vµ By t¹i N vµ P. §êng th¼ng AM c¾t By t¹i C vµ ®êng th¼ng BM c¾t c¾t Ax t¹i D. CMR: Tø gi¸c AOMN néi tiÕp vµ NP = AN+BP N, P lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC AD.BC = 4 R2 X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó SABCD cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 21. Cho (O;R) vµ d©y cung CD cè ®Þnh cã trung ®iÓm lµ H. Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy ®iÓm S vµ qua S kÎ c¸c tiÕp tuyÕn SA, SB víi (O) .§êng th¼ng AB c¾t c¸c ®êng SO; OH lÇn lît t¹i E, F.Chøng minh r»ng: SEHF lµ tø gi¸c néi tiÕp. OE.OF = R2. OH.OF = OE.OS. AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi S ch¹y trªn tia ®èi cña tia DC Bµi 22. Cho (O;R) cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. M lµ ®iÓm bÊt kú thuéc ®êng kÝnh AB (M kh¸c O,A,B). CM c¾t (O) t¹i N (N kh¸c C). Dùng ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi AM t¹i M. TiÕp tuyÕn víi (O) t¹i N c¾t d ë E CMR: OMEN néi tiÕp OCME lµ h×nh g×? t¹i sao? CMR: CM.CN kh«ng ®æi CMR: E ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh khi M chuyÓn ®éng trªn ®êng kÝnh AB (M kh¸c A,B) Baøi 23. Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn (O). Caùc ñöôøng cao AD, BE, CF caét nhau taïi H vaø caét ñöôøng troøn (O) laàn löôït taïi M,N,P. Chöùng minh raèng: Töù giaùc CEHD, noäi tieáp . Boán ñieåm B,C,E,F cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. H vaø M ñoái xöùng nhau qua BC. Xaùc ñònh taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc DEF. Lôøi giaûi: Xeùt töù giaùc CEHD ta coù: ( Vì BE laø ñöôøng cao) ( Vì AD laø ñöôøng cao) => . Maø vaø laø hai goùc ñoái cuûa töù giaùc CEHD , Do ñoù CEHD laø töù giaùc noäi tieáp Theo giaû thieát: BE laø ñöôøng cao => BE ^ AC => . CF laø ñöôøng cao => CF ^ AB => . Nhö vaäy E vaø F cuøng nhìn BC döôùi moät goùc 900 => E vaø F cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính BC. Vaäy boán ñieåm B,C,E,F cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. Xeùt hai tam giaùc AEH vaø ADC ta coù: Ð AEH = Ð ADC = 900 ; laø goùc chung => D AEH DADC => => AE.AC = AH.AD. * Xeùt hai tam giaùc BEC vaø ADC ta coù: ; laø goùc chung => D BEC DADC => => AD.BC = BE.AC. 4. Ta coù ( vì cuøng phuï vôùi goùc ABC) ( vì laø hai goùc noäi tieáp cuùng chaén cung BM) => => CB laø tia phaân giaùc cuûa goùc HCM; laïi coù CB ^ HM => D CHM caân taïi C . => CB cuõng laø ñöôøng trung tröïc cuûa HM vaäy H vaø M ñoái xöùng nhau qua BC. 5. Theo chöùng minh treân boán ñieåm B,C,E,F cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn => ( vì laø hai goùc noäi tieáp cuøng chaén cung BF) Cuõng theo chöùng minh treân CEHD laø töù giaùc noäi tieáp ( vì laø hai goùc noäi tieáp cuøng chaén cung HD) => EB laø tia phaân giaùc cuûa goùc FED. Chöùng minh töông töï ta cuõng coù FC laø tia phaân giaùc cuûa goùc DFE maø BE vaø CF caét nhau taïi H do ñoù H laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc DEF. Baøi 24. Cho tam giaùc caân ABC (AB = AC), caùc ñöôøng cao AD, BE, caét nhau taïi H. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AHE. Chöùng minh töù giaùc CEHD noäi tieáp . 2.Boán ñieåm A, E, D, B cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. Chöùng minh ED = BC. Chöùng minh DE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O). Tính ñoä daøi DE bieát DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lôøi giaûi: Xeùt töù giaùc CEHD ta coù: ( Vì BE laø ñöôøng cao) ( Vì AD laø ñöôøng cao) => . Maø vaø laø hai goùc ñoái cuûa töù giaùc CEHD , Do ñoù CEHD laø töù giaùc noäi tieáp 2. Theo giaû thieát: BE laø ñöôøng cao => BE ^ AC => . AD laø ñöôøng cao => AD ^ BC => . Nhö vaäy E vaø D cuøng nhìn AB döôùi moät goùc 900 => E vaø D cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính AB. Vaäy boán ñieåm A, E, D, B cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 3. Theo giaû thieát tam giaùc ABC caân taïi A coù AD laø ñöôøng cao neân cuõng laø ñöôøng trung tuyeán => D laø trung ñieåm cuûa BC. Theo treân ta coù . Vaäy tam giaùc BEC vuoâng taïi E coù ED laø trung tuyeán => DE = BC. Vì O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AHE neân O laø trung ñieåm cuûa AH => OA = OE => tam giaùc AOE caân taïi O => (1). Theo treân DE = BC => tam giaùc DBE caân taïi D => (2) Maø ( vì cuøng phuï vôùi goùc ACB) => Maø => DE ^ OE taïi E. Vaäy DE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O) taïi E. 5. Theo giaû thieát AH = 6 cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. AÙp duïng ñònh lí Pitago cho tam giaùc OED vuoâng taïi E ta coù ED2 = OD2 – OE2 ó ED2 = 52 – 32 ó ED = 4cm Baøi 25 Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2R. Töø A vaø B keû hai tieáp tuyeán Ax, By. Qua ñieåm M thuoäc nöûa ñöôøng troøn keû tieáp tuyeán thöù ba caét caùc tieáp tuyeán Ax , By laàn löôït ôû C vaø D. Caùc ñöôøng thaúng AD vaø BC caét nhau taïi N. Chöùng minh AC + BD = CD. Chöùng minh . 3.Chöùng minh AC. BD = . 4.Chöùng minh OC // BM 5.Chöùng minh AB laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính CD. 6.Chöùng minh MN ^ AB. ¸7. Xaùc ñònh vò trí cuûa M ®Ó ñeå chu vi töù giaùc ACDB ®¹t ñaït giaù trò nhoû nhaát. Lôøi giaûi Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau ta coù: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Maø CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau ta coù: OC laø tia phaân giaùc cuûa goùc AOM; OD laø tia phaân gaù¸c cuûa goùc BOM, maø vaø laø hai goùc keà buø => . Theo treân neân tam giaùc COD vuoâng taïi O coù OM ^ CD ( OM laø tieáp tuyeán ). AÙp duïng heä thöùc giöõa caïnh vaø ñöôøng cao trong tam giaùc vuoâng ta coù OM2 = CM. DM. Maø OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . Theo treân neân OC ^ OD .(1) Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau ta coù: DB = DM; laïi coù OM = OB =R => OD laø trung tröïc cuûa BM => BM ^ OD .(2). Töø (1) vaø (2) => OC // BM ( Vì cuøng vuoâng goùc vôùi OD). Goïi I laø trung ñieåm cuûa CD ta coù I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc COD ñöôøng kính CD coù IO laø baùn kính. Theo tính chaát tieáp tuyeán ta coù AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => töù giaùc ACDB laø hình thang. Laïi coù I laø trung ñieåm cuûa CD; O laø trung ñieåm cuûa AB => IO laø ñöôøng trung bình cuûa hình thang ACDB IO // AC , maø AC ^ AB => IO ^ AB taïi O => AB laø tieáp tuyeán taïi O cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính CD 6. Theo treân AC // BD => , maø CA = CM; DB = DM neân suy ra => MN // BD maø BD ^ AB => MN ^ AB. 7. ( HD): Ta coù chu vi töù giaùc ACDB = AB + AC + CD + BD maø AC + BD = CD neân suy ra chu vi töù giaùc ACDB = AB + 2CD maø AB khoâng ñoåi neân chu vi töù giaùc ACDB nhoû nhaát khi CD nhoû nhaát , maø CD nhoû nhaát khi CD laø khoaûng caùch giöõa Ax vaø By töùc laø CD vuoâng goùc vôùi Ax vaø By. Khi ñoù CD // AB => M phaûi laø trung ñieåm cuûa cung AB. Baøi 26 Cho tam giaùc caân ABC (AB = AC), I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp, K laø taâm ñöôøng troøn baøng tieáp goùc A ; O laø trung ñieåm cuûa IK. Chöùng minh B, C, I, K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. Chöùng minh AC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O). 3.Tính baùn kính ñöôøng troøn (O) Bieát AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lôøi giaûi: (HD) 1. Vì I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp, K laø taâm ñöôøng troøn baøng tieáp goùc A neân BI vaø BK laø hai tia phaân giaùc cuûa hai goùc keà buø ñænh B Do ñoù BI ^ BK hay . Töông töï ta cuõng coù , nhö vaäy B vaø C cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính IK do ñoù B, C, I, K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 2.Ta coù (1) ( vì CI laø phaân giaùc cuûa goùc ACH. (2) ( vì ). (3) ( vì tam giaùc OIC caân taïi O) Töø (1), (2) , (3) => hay AC ^ OC. Vaäy AC laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O). Töø giaû thieát AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = = 16 ( cm) CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm) OC = = 15 (cm) Baøi 28 Cho ñöôøng troøn (O; R), töø moät ñieåm A treân (O) keû tieáp tuyeán d vôùi (O). Treân ñöôøng thaúng d laáy ñieåm M baát kì ( M khaùc A) keû caùt tuyeán MNP vaø goïi K laø trung ñieåm cuûa NP, keû tieáp tuyeán MB (B laø tieápñieåm). Keû AC ^ MB, BD ^ MA, goïi H laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD, I laø giao ñieåm cuûa OM vaø AB. Chöùng minh töù giaùc AMBO noäi tieáp. Chöùng minh naêm ñieåm O, K, A, M, B cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn . Chöùng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. Chöùng minh OAHB laø hình thoi. Chöùng minh ba ñieåm O, H, M thaúng haøng. 6.Tìm quó tích cuûa ñieåm H khi M di chuyeån treân ñöôøng thaúng d Lôøi giaûi: (HS töï laøm). Vì K laø trung ñieåm NP neân OK ^ NP ( quan heä ñöôøng kính vaø daây cung) => . Theo tính chaát tieáp tuyeán ta coù ; . Nhö vaäy K, A, B cuøng nhìn OM döôùi moät goùc 900 neân cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OM. Vaäy naêm ñieåm O, K, A, M, B cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 3. Ta coù MA = MB ( t/c hai tieáp tuyeán caét nhau); OA = OB = R => OM laø trung tröïc cuûa AB => OM ^ AB taïi I . Theo tính chaát tieáp tuyeán ta coù neân tam giaùc OAM vuoâng taïi A coù AI laø ñöôøng cao. AÙp duïng heä thöùc giöõa caïnh vaø ñöôøng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vaø OI. IM = IA2. 4. Ta coù OB ^ MB (tính chaát tieáp tuyeán) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA ^ MA (tính chaát tieáp tuyeán) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Töù giaùc OAHB laø hình bình haønh; laïi coù OA = OB (= R) => OAHB laø hình thoi. 5. Theo treân OAHB laø hình thoi. => OH ^ AB; cuõng theo treân OM ^ AB => O, H, M thaúng haøng( Vì qua O chæ coù moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB). 6. (HD) Theo treân OAHB laø hình thoi. => AH = AO = R. Vaäy khi M di ñoäng treân d thì H cuõng di ñoäng nhöng luoân caùch A coá ñònh moät khoaûng baèng R. Do ñoù quó tích cuûa ñieåm H khi M di chuyeån treân ñöôøng thaúng d laø nöûa ñöôøng troøn taâm A baùn kính AH = R Baøi 29 Cho tam giaùc ABC vuoâng ôû A, ñöôøng cao AH. Veõ ñöôøng troøn taâm A baùn kính AH. Goïi HD laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn (A; AH). Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi D caét CA ôû E. Chöùng minh tam giaùc BEC caân. Goïi I laø hình chieáu cuûa A treân BE, Chöùng minh raèng AI = AH. Chöùng minh raèng BE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (A; AH). Chöùng minh BE = BH + DE. Lôøi giaûi: (HD) D AHC = DADE (g.c.g) => ED = HC (1) vaø AE = AC (2). Vì AB ^CE (gt), do ñoù AB vöøa laø ñöôøng cao vöøa laø ñöôøng trung tuyeán cuûa DBEC => BEC laø tam giaùc caân. => . 2. Hai tam giaùc vuoâng ABI vaø ABH coù caïnh huyeàn AB chung, => D AHB = DAIB => AI = AH. 3. AI = AH vaø BE ^ AI taïi I => BE laø tieáp tuyeán cuûa (A; AH) taïi I. 4. DE = IE vaø BI = BH => BE = BI + IE = BH + ED Baøi 30 Cho ñöôøng troøn (O; R) ñöôøng kính AB. Keû tieáp tuyeán Ax vaø laáy treân tieáp tuyeán ñoù moät ñieåm P sao cho AP > R, töø P keû tieáp tuyeán tieáp xuùc vôùi (O) taïi M. Chöùng minh raèng töù giaùc APMO noäi tieáp ñöôïc moät ñöôøng troøn. 2. Chöùng minh BM // OP. 3. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB ôû O caét tia BM taïi N. Chöùng minh töù giaùc OBNP laø hình bình haønh. 4. Bieát AN caét OP taïi K, PM caét ON taïi I; PN vaø OM keùo daøi caét nhau taïi J. Chöùng minh I, J, K thaúng haøng. Lôøi giaûi: (HS töï laøm). 2.Ta coù noäi tieáp chaén cung AM; laø goùc ôû taâm chaén cung AM => (1) OP laø tia phaân giaùc ( t/c hai tieáp tuyeán caét nhau ) => (2) Töø (1) vaø (2) => (3) Maø goùc ABM vaø goùc AOP laø hai goùc ñoàng vò neân suy ra BM // OP. (4) 3.Xeùt hai tam giaùc AOP vaø OBN ta coù : (vì PA laø tieáp tuyeán ); (gt NO^AB). => ; OA = OB = R; (theo (3)) => DAOP = DOBN => OP = BN (5) Töø (4) vaø (5) => OBNP laø hình bình haønh ( vì coù hai caïnh ñoái song song vaø baèng nhau). 4.Töù giaùc OBNP laø hình bình haønh => PN // OB hay PJ // AB, maø ON ^ AB => ON ^ PJ Ta cuõng coùPM ^ OJ( PM laø tieáp tuyeán ),maø ON vaø PM caét nhau taïi I neân I laø tröïc taâm tam giaùc POJ.(6) Deã thaáy töù giaùc AONP laø hình chöõ nhaät vì coù => K laø trung ñieåm cuûa PO ( t/c ñöôøng cheùo hình chöõ nhaät). (6) AONP laø hình chöõ nhaät => ( so le) (7) Theo t/c hai tieáp tuyeán caét nhau Ta coù PO laø tia phaân giaùc (8). Töø (7) vaø (8) => DIPO caân taïi I coù IK laø trung tuyeán ñoàng thôøi laø ñöôøng cao => IK ^ PO. (9) Töø (6) vaø (9) => I, J, K thaúng haøng. Baøi31 Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB vaø ñieåm M baát kì treân nöûa ñöôøng troøn ( M khaùc A,B). Treân nöûa maët phaúng bôø AB chöùa nöûa ñöôøng troøn keû tieáp tuyeán Ax. Tia BM caét Ax taïi I; tia phaân giaùc cuûa goùc IAM caét nöûa ñöôøng troøn taïi E; caét tia BM taïi F tia BE caét Ax taïi H, caét AM taïi K. 1) Chöùng minh raèng: EFMK laø töø giaùc noäi tieáp. 2) Chöùng minh raèng: AI2 = IM . IB. 3) Chöùng minh BAF laø tam giaùc caân. 4) Chöùng minh raèng : Töù giaùc AKFH laø hình thoi. 5) Xaùc ñònh vò trí M ñeå töù giaùc AKFI noäi tieáp ñöôïc moät ñöôøng troøn. Lôøi giaûi: 1. Ta coù: ( noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn ) => (vì laø hai goùc keà buø). ( noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn ) => (vì laø hai goùc keà buø). => . Maø goùc KMF vaø goùc KEF laø hai goùc ñoái cuûa töù giaùc EFMK do ñoù EFMK laø töù giaùc noäi tieáp. Ta coù ( vì AI laø tieáp tuyeán ) => DAIB vuoâng taïi A coù AM ^ IB ( theo treân). AÙp duïng heä thöùc giöõa caïnh vaø ñöôøng cao => AI2 = IM . IB. Theo giaû thieát AE laø tia phaân giaùc goùc IAM => => (lÝ do ) => ( hai goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) => BE laø tia phaân giaùc goùc ABF. (1) Theo treân ta coù => BE ^ AF hay BE laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc ABF (2). Töø (1) vaø (2) => BAF laø tam giaùc caân taïi B . BAF laø tam giaùc caân. taïi B coù BE laø ñöôøng cao neân ñoàng thôøi laø ñöôøng trung tuyeán => E laø trung ñieåm cuûa AF. (3) Töø BE ^ AF => AF ^ HK (4). Theo treân AE laø tia phaân giaùc goùc IAM hay AE laø tia phaân giaùc (5) Töø (4) vaø (5) => HAK laø tam giaùc caân taïi A coù AE laø ñöôøng cao neân ñoàng thôøi laø ñöôøng trung tuyeán => E laø trung ñieåm cuûa HK. (6). Töø (3) , (4) vaø (6) => AKFH laø hình thoi ( vì coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng). 5.(HD). Theo treân AKFH laø hình thoi => HA // FK hay IA // FK => Töù giaùc AKFI laø hình thang. Ñeå töù giaùc AKFI noäi tieáp ñöôïc moät ñöôøng troøn thì AKFI phaûi laø hình thang caân. AKFI laø hình thang caân khi M laø trung ñieåm cuûa cung AB. Thaät vaäy: M laø trung ñieåm cuûa cung AB => = 450 (t/c goùc noäi tieáp ). (7) Tam giaùc ABI vuoâng taïi A coù => .(8) Töø (7) vaø (8) => => AKFI laø hình thang caân (hình thang coù hai goùc ñaùy baèng nhau). Vaäy khi M laø trung ñieåm cuûa cung AB thì töù giaùc AKFI noäi tieáp ñöôïc moät ñöôøng troøn. Baøi 32 Cho nöûa ñöôøng troøn (O; R) ñöôøng kính AB. Keû tieáp tuyeán Bx vaø laáy hai ñieåm C vaø D thuoäc nöûa ñöôøng troøn. Caùc tia AC vaø AD caét Bx laàn löôït ôû E, F (F ôû giöõa B vaø E). Chöùng minh AC. AE khoângñoåi. Chöùng minh . Chöùng minh raèng CEFD laø töù giaùc noäi tieáp. Lôøi giaûi: C thuoäc nöûa ñöôøng troøn neân ( noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn ) => BC ^ AE. ( Bx laø tieáp tuyeán ) => tam giaùc ABE vuoâng taïi B coù BC laø ñöôøng cao => AC. AE = AB2 (heä thöùc giöõa caïnh vaø ñöôøng cao ), maø AB laø ñöôøng kính neân AB = 2R khoâng ñoåi do ñoù AC. AE khoâng ñoåi. D ADB coù ( noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn ). => (vì toång ba goùc cuûa moät tam giaùc baèng 1800) (1) D ABF coù ( BF laø tieáp tuyeán ). => (vì toång ba goùc cuûa moät tam giaùc baèng 1800 ) (2) Töø (1) vaø (2) => ( cuøng phuï vôùi goùc BAD) Töù giaùc ACDB noäi tieáp (O) => . ( Vì laø hai goùc keà buø) => ( cuøng buø vôùi goùc ACD). Theo treân . Maø ( Vì laø hai goùckeà buø) neân suy ra , maët khaùc goùc ECD vaø goùc EFD laø hai goùc ñoái cuûa töù giaùc CDFE do ñoù töù giaùc CEFD laø töù giaùc noäi tieáp. Baøi 33 Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB vaø ñieåm M baát kì treân nöûa ñöôøng troøn sao cho AM < MB. Goïi M’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua AB vaø S laø giao ñieåm cuûa hai tia BM, M’A. Goïi P laø chaân ñöôøng vuoâng goùc töø S ñeán AB. 1.Goïi S’ laø giao ñieåm cuûa MA vaø SP. Chöùng minh raèng PS’M caân. 2.Chöùng minh PM laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn . Lôøi giaûi: 1. Ta coù SP ^ AB (gt) => (noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn ) => . Nhö vaäy P vaø M cuøng nhìn AS döôùi moät goùc baèng 900 neân cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính AS. Vaäy boán ñieåm A, M, S, P cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 2. Vì M’ñoái xöùng M qua AB maø M naèm treân ñöôøng troøn neân M’ cuõng naèm treân ñöôøng troøn => hai cung AM vaø AM’ coù soá ño baèng nhau . => ( Hai goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) (1) Cuõng vì M’ñoái xöùng M qua AB neân MM’ ^ AB taïi H => MM’// SS’ ( cuøng vuoâng goùc vôùi AB) => (vì so le trong) (2). => Töø (1) vaø (2) => . Theo treân boán ñieåm A, M, S, P cuøng naèm treân moät ñ/ troøn => (noäi tieáp cuøng chaén ) => => tam giaùc PMS’ caân taïi P. 3. Tam giaùc SPB vuoâng taïi P; tam giaùc SMS’ vuo
File đính kèm:
HINH HOC tổng hợp thi vào lớp 10.doc
