Hội thi giáo viên dạy giỏi bậc THPT chu kỳ 2011 – 2015 môn thi: Toán

Đề thi chính thức
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
 HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT
CHU KỲ 2011 – 2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1.(4,0 điểm)
 a. Hãy trình bày các con đường dạy học định lí toán học. Nêu các hoạt động củng cố định lý toán học. 
 b. Trong SGK lớp 12 (NXB Giáo dục) có định lí: “ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Nếu , thì hàm số f(x) đồng biến trên K. Nếu , thì hàm số f(x) nghịch biến trên K ”.
Hãy nêu bốn ứng dụng của định lí trên (không cần ví dụ) để giải một số dạng bài tập toán .
Câu 2. (4,0 điểm)
a. Hãy nói rõ chức năng của bài tập toán trong dạy học toán bậc THPT.
b. Hãy nêu hai quy trình giải bài toán: “ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian tọa độ Oxyz khi biết phương trình tham số của hai đường thẳng đó ”.
Câu 3. (5,0 điểm)
 a. Cho hệ phương trình: ()
 Giải hệ phương trình trên và hướng dẫn học sinh tìm một cách giải khác.
 b. Tính tích phân:
Câu 4: (4,0 điểm)
 a. Nêu định hướng giúp học sinh giải bài toán sau bằng 2 cách: “ Chứng minh rằng trong hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo ”.
 b. Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự trên các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c là các số thực) . Chứng minh nếu mặt phẳng (MNP) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC thì a + b + c = 3.
 Nêu mệnh đề đảo của bài toán trên. Mệnh đề này đúng hay sai, vì sao?
Câu 5: (3,0 điểm)
 a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
 b. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn và . Chứng minh rằng: 
---Hết----
Họ và tên thí sinh.SBD
Câu
Ý
 Nội dung
Điểm
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
 HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI
 BẬC THPT CHU KỲ 2011 – 2015
Đáp án: MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
 1
a
Các con đường dạy học định lí toán học.
- Con đường suy diễn. Gồm các bước: Tạo động cơ, suy diễn để đi đến định lí, phát biểu định lí, củng cố và vận dụng định lí.
0,5
- Con đường có khâu suy đoán (quy nạp). Gồm các bước: Tạo động cơ, phát hiện định lí, phát biểu định lí, chứng minh định lí, củng cố và vận dụng định lí.
0,5
Các hoạt động củng cố định lí:
- Nhận dạng và thể hiện định lí
0,5
- Hoạt động ngôn ngữ: phát biểu định lí, phát biểu định lý theo dạng khác.
0,25
- Khái quát hóa, đặc biệt, hệ thống hóa định lí.
0,25
b
Nêu bốn ứng dụng của định lí đã cho
- Xét sự biến thiên của hàm số.
0,5
- Chứng minh hàm số đồng biến,nghịch biến
0,5
- Chứng minh bất đẳng thức
0,5
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
0,5
- Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 
..
- Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
- Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình, hệ pt có nghiệm.
 ( Thí sinh nêu đủ bốn ý thì cho điểm tối đa )
2
a
Chức năng bài tập toán.
- Chức năng dạy học: Hình thành, củng cố cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo giải toán
0,5
- Chức năng giáo dục: Rèn luyện tư duy biện chứng, lôgic, gây hứng thú niềm tin, hình thành phẩm chất đạo đức người học
0,5
- Chức năng phát triển: Phát triển tư duy, năng lực, nhận thức
0,5
- Chức năng kiểm tra: Kiểm tra, đánh giá mức độ, kết quả dạy học, trình độ của học sinh. Hoàn chỉnh bổ sung kiến thức đã học
 0,5
b
Nêu các quy trình: Giả sử d1, d2 có phương trình theo các tham số t, k.
Quy trình 1: 
+ Lấy A, B thuộc d1; d2, tính (theo t, k), tìm các vtcp của d1, d2. 
0,25
+ Điều kiện để AB là đoạn vuông góc chung của d1, d2 là: (*)
0,25
+ Giải hệ (*) tìm t, k từ đó tìm A, B 
0,25
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B
0,25
Quy trình 2:
+ Tìm các vtcp của d1, d2. và chọn vtcp của đường vuông góc chung của đường vuông góc chung d là 
0,25
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và có vtpt 
0,25
+ Tìm giao điểm M của (P) và d2.
0,25
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và có vtcp 
0,25
3
a
Giải hệ () (*)
Giải cách 1: Xét y = 0, từ (2) suy ra 1 = 0 (vô lí).
Xét y 0: (*) . Đặt 
0,5
(*) 
0,5
+ Nếu ta có hệ 
Khi đó hệ có nghiệm: 
0,5
+ Nếu , giải tương tự ta có hệ vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm: 
0,5
Hướng dẫn cách 2: Từ (1) suy ra và rút x theo y: 
0,25
- Thế vào (2) và đưa về pt: (3)
0,25
- Phân tích (3) thành nhân tử : (y - 1)(3y - 1)(12y2 + 5y + 1) = 0
0,25
- Suy ra pt có 2 nghiệm: , tìm x, kết luận nghiệm của hệ.
0,25
b
. Đặt = t. 
Đổi cận 
0,5
0,5
= 
0,5
0,5
4
a
Giả sử cho hình bình hành ABCD, chứng minh: 
AB2 + BC2 + CD2+ DA2 = AC2 + BD2 (*) 
Cách 1: Sử dụng công thức đường trung tuyến
0,25
+ Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC, BD
0,25
+ Áp dụng công thức đường trung tuyến trong các tam giác ABC, ACD
0,25
+ Cộng các đẳng thức trên ta có (*)
0,25
Cách 2: Sử dụng véctơ 
0,25
+ Chuyển từ bình phương độ dài về bình phương vô hướng
0,25
+ Do ABCD là hình bình hành nên có 
0,25
+ Biến đổi tương đương (*)
0,25
Cách 3: sử dụng định lý cosin
...
+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC
+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABD
+ Do tính chất hình bình hành nên cosA +cosD = 0, công các đẳng thức lại, từ đó suy ra (*)
( Thí sinh nêu đủ hai cách thì cho điểm tối đa )
b
Mệnh đề đảo: Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự trên các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c là các số thực) . Chứng minh nếu a + b + c = 3 thì mặt phẳng (MNP) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC .
1,0
Chứng minh mệnh đề này đúng. 
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 
Mà , tương tự ; 
0,25
Suy ra (1) . 
Từ giả thiết ta có : (2)
Từ (1) , (2) suy ra 
0,25
 (3)
0,25
 Vì không cùng phương nên từ (3) ta có M, N, P, G đồng phẳng, suy ra mặt phẳng (MNP) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC .
0,25
5
a
f(x) = hàm số liên tục trên đoạn [0; 5] f(x)
0,5
f ’(x) = 
0,5
f ’(x) = 0 . Ta có : f(2) = , f(0) = f(5) = 0
0,5
Vậy , 
 0,5
b
 (*). Đặt vế trái của (*) là P
Nếu ab + bc + ca < 0 thì P 0 suy ra BĐT được chứng minh
0,25
Nếu ab + bc + ca 0 , đặt ab + bc + ca = x0
(a-b)(b-c) (a - b)(b - c)(a - c) (1)
0,25
 Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2 
 2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2
Suy ra 4(5 - x) 3(a - c)2 ,từ đây ta có x 5 và (2) . 
0,25
Từ (1) , (2) suy ra P = (3) 
Theo câu a ta có: f(x) = với x thuộc đoạn [0; 5] 
nên suy ra P . Vậy (*) được chứng minh.
 Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0
0,25
--- Hết ---