Hướng dẫn chấm ôlim pic môn toán lớp 6 năm học 2005-2006

Hướng dẫn chấm ôlim pic
 Môn toán lớp 6
năm học 2005-2006
Bài 1. (4 điểm)
 Thực hiện phép tính: 
 = 
 	 (Mỗi bước 1 đ)
 Bài 2. (5 điểm)
 Thay dấu “ * ” bằng các chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; và 7 đều có số dư là 1
Theo bài ra suy ra:
 (359** - 1) chia hết cho BCNN (5; 6; 7); BCNN (5; 6; 7) = 210 	 (1 đ)
 Hay = 35700 + 200 + (1 đ)
 => - 1 = 210 . 170 + 199 + (1 đ)
 => 199 + chia hết cho 210 => = k . 210 - 199 (k ) (1,5 đ)
 k = 1 => = 11. Vậy số cần tìm là 35911 (1,5 đ)
Bài 3. . (4 điểm)
 Một Đoàn khách 300 người đi du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long. Trong đó có ba loại thuyền để chở: Loại thứ nhất 1 người lái chở được 30 khách, loại thứ hai 2 người lái chở được 30 khách, loại thứ ba 2 người lái chở được 24 khách. Tính toán sao cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa, không thiếu người trên thuyền. Đoàn đã dùng 11 chiếc thuyền và 19 người lái. Tính số thuyền mỗi loại ?
 Giả sử mỗi thuyền đều chở 30 người thì 11 thuyền chở được: 30 . 11 = 330 (người). (1 đ)
 Nên số thuyền 2 người lái chở 24 người / thuyền là (330 - 300): (30 - 24) = 5 (thuyền) (1 đ)
 Giả sử mỗi thuyền đều có 2 người láI, thì số người láI thuyền là: 11 . 2 = 22 (người). (1 đ)
Nên số thuyền 1 người láI chở 30 người là: 22 -19 = 3 (thuyền) 
 Suy ra số thuyền 2 người láI chở 30 người / thuyền là: 11 - (3 + 5) = 3 (thuyền) (1 đ)
 Bài 4. (4 điểm)
 Số 250 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số ? 
 Nhận xét: Số a có n chữ số khi và chỉ khi: (1 đ)
 Ta thấy: (0,5 đ)
 Từ (1) và (2) suy ra: (0.5 đ)
 Mặt khác: (0,5 đ)
 Từ (3) và (4) suy ra: (0.5 đ)
 Vậy ta có: ; Nên số 250 có 16 chữ số viết trong hệ thập phân (1đ)
Bài 5. (3 điểm)
 Tìm ƯCLN của 77...7, (51 chữ só 7) và 777777.
 Ta có: = 777777.1045 +777777. 1039+ . . .+ 777777 .103+777 (0.5 đ)
 = 777777(1045 + 1039 + . . . + 103) + 777 (0.5 đ)
Suy ra: chia cho 777 777 dư 777 (0.5 đ)
 Đặt = A ; 777 777 = B; 1045 + 1039 + . . . + 103 = C (0.5 đ)
 Ta có A = B.C + 777 hay A - B. C = 777. Từ đó mọi ước chung của A và B đều là ước của 777. Mặt khác 777 là ước số của A và B (0.5 đ)
 ( A = 777.(1048 +1045 + . . . + 1); B = 777 . 1001)
 Vậy 777 chính là ƯCLN của A và B. (0.5 đ)
Hướng dẫn chấm ôlim pic
 Môn toán lớp 7
năm học 2005-2006
Bài 1 . (4 điểm)
 Tính 
 = (2đ)
 = (2đ)
Bài 2 . (4 điểm)
 Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
 Do vai trò của x và y như nhau nên giả sử x y ta có: (0,5đ)
 x y 1 nên (1đ)
 (1đ)
 => (0,5đ)
 Với y = 6 => x = 30; y=7; 8; 9 thì giá trị của x không nguyên
 y = 10 => x = 10 (0,5đ)
 Vậy các giá trị x, y cần tìm là: x = 30, y = 6
 x = 10, y = 10
 x = 6, y = 30 (0,5đ)
Cách khác: => => xy - 5x - 5y = 0
 => xy - 5x - 5y + 25 = 25 => (x - 5)(y - 5) = 25 =>
 x - 5 = 25 => x = 30, y = 6
 x - 5 = 5 => x = 10, y = 10
 x - 5 = 1 => x = 6, y = 30
Bài 3 . (4 điểm)
 Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7
Gọi 2 số cần tìm là x và y ta có:
 20 (x + y) = 140 (x - y) = 7 xy (1đ)
 => => (2đ)
 3x = 20 => x = ; 4y = 20 => y = 5
 Vậy các số cần tìm là : và 5 (1đ)
Bài 4 . (4 điểm)
 Tìm x, y thoả mãn: = 
Đặt A = Với mọi y:
 + Xét x 4 ta có A > 3 => Không thoả mãn (1đ)
 + Xét x 1 ta có A > 3 => Không thoả mãn (1đ)
 + Xét 1 < x < 2 ta có A = x - 1- x + 2 + - x + 4
 = - x + 5 + >3 => Không thoả mãn (0,5đ)
 + Xét x = 2 ta có A = = 3 => y = 3 (0,5đ)
 + Xét 2 < x < 4 ta có A = x - 1+ x - 2 + - x + 4 
 = x + 1 + > 3 => Không thoả mãn (0,5đ)
 Vậy khi x = 2, y = 3 thoả mãn đẳng thức trên. (0,5đ)
Bài 5 . (4 điểm)
A
M
B
C
N
K
H
700
500
100
300
300
 Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 400. Chứng minh: BN = MC. 
 	MNB = MCB +NBC Góc ngoàI của NBC.
 = 300 + 100 = 400 => MNB cân tại M (1đ)
 Từ M vẽ MHBC ta có MH = MC (1) (1đ)
 Từ M vẽ MKBN => BK = KN =BN (2) (1đ)
MKB = BHM ( vuông có cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau)
=> MH = KB (3) (0,5đ)
Từ (1), (2) và (3) => BN = MC (ĐPCM) (0,5đ)
Hướng dẫn chấm ôlim pic
 Môn toán lớp 8
năm học 2005-2006
Bài 1 . (4 điểm)
 Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - 6
Ta thấy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nên f(x) có 2 thừa số là (x + 2)(x - 3), do đó 
 (2đ)
 f(x) chia hết cho x2 - x - 6; => f(x) = (x + 2)(x - 3)( x2 + x + 1) (1đ)
 (Vì x2 + x + 1 = x2 + x + > 0) (1đ)
Bài 2. (4 điểm)
 Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 x4 + y4 + z4 Biết x + y + z = 2
áp dụng công thức Buhiacopski ta có:
 (2đ)
 => => (1đ)
 Vậy giá trị nhỏ nhất của 
 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = (1đ)
Bài 3. (4 điểm)
 Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn: 
Chứng minh: 
Từ giả thiết =>
 (bx4 + ay4)(a + b) =ab(x2 + y2)2 (1đ)
 b2x4 +a2y4 - 2abx2y2 = 0 (bx2 - ay2)2 = 0 (1đ)
 bx2 - ay2 = 0 (1đ)
 (Điều phải cm) 
 (1đ)
Bài 4. (4 điểm)
 Chứng minh bất đẳng thức:
Kí hiệu vế trái là A vế phải là B, xét hiệu A - B
 (0.5đ)
 = (0.5đ)
 = . (0.5đ)
 Do a, b, c bình đẳng nên giả sử , khi đó b(a - c) 0, c(b - a) 0, a(c - b) 0 (0.5đ)
 a3 b3 c3 =>abc + a3 abc + b3 abc + c3 => (0.5đ)
 =>A - B = (0.5đ)
 = (0.5đ)
 Mà nên A - B 0 (ĐPCM) Dấu bằng xẩy ra a = b = c (0.5đ)
Bài 5. (4 điểm)
 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = AB. Đường thẳng MC cắt NA tại E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại F
Chứng minh AF = AM.
Gọi H là trung điểm của EC, Chứng minh EH = BM
Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN tại K. (2đ)
Ta có: ACAB (gt), KBAB (gt) =>FC//KB
A
F
K
N
E
C
B
M
Từ (1) và (2) => (ĐPCM)
 b)Từ chứng minh trên suy ra: AFB = AMC => é ABF = éACM
 mà éABF + éAFB = 1v => éACM + éAFB = 1v => éFEC = 1v =>EH = mà (ĐPCM) (2đ)