Hướng dẫn giải 3 bài toán hình tứ giác

HD giải 3 bài toán hình tứ giác

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A,có cạnh AB=6 cm, gọi D,E lần lượt là trung điểm của BC, AC. Gọi F là điểm đối xứng với D qua E
       a, Tính DE ?
       b, Chứng minh ABDF là hình bình hành
       c, Chứng minh ADCF là hình thoi. Tính cạnh hình thoi biết AC=8 ?
       d, Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để ADCF là hình vuông? 

Giải 
a,  DABC có: D là trung điểm của BC, E là trung điểm của AC
ÞDE là đường trung bình của DABC
Þ DE=1/2AB và DE//AB ÞDE=1/2AB =3 (cm)

b, Có: F là điểm đối xứng với D qua E
ÞDE=DF; ÞDF=2DE=AB
ÞABDF là hình bình hành 

c, ABDF là hình bình hành ÞAF//BD và AF=BD
Mặt khác D là trung điểm của BC
ÞBD=AF=BD(5) ÞADCF là hình bình hành
Ta lại có: AB^AC và AB//DFÞAC^DF
Vậy hình bình hành ADCF có hai đường chéo vuông góc hay là ADCF là hình thoi □

Có ADCF là hình thoi ÞAE=1/2AC=4
DADE cóРE=90o (AC^DF)
ÞAE2+DE2=AD2 (Định lý Pythagore)
thay AE=4 và DE=3 tính được AD=√25 =5

d, Để ADCF là hình vuông thì AD^BC
Mà có DC=DB=1/2BC(gt) nên AD^BC khi và chỉ khi AD là đường trung trực của BC
Tức là AB=AC hay DABC vuông cân tại A
èĐiều kiện để ADCF là hình vuông là DABC vuông cân tại A (Hình 2)


Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB và ÐA=60 độ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD và E là điểm đối xứng của A qua B
a, Chứng minh tứ giác ABMN là hình thoi
b,Chứng minh tứ giác AEMN là hình thang cân
c,Chứng minh tứ giác BECD lf hình chữ nhật

 Giải
a,/ Hình bình hành ABCD có M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AD
ÞMN là đường trung bình của ABCD. 
ÞMN//AB//CD (1) MN=1/2(AB+CD) (2)
ÞMN=AB=CD (3) (do ABCD là hình bình hành hay AB=CD).
Mặt khác BC=2AB⇒BM=CM=1/2BC=AB (4)
Từ (1),(3) ÞABMN là hình bình hành  ÞAN=BM(5)
Từ (4),(5) ÞAN=AB(=BM) ÞABMN là hình thoi □


b/, ABCD là hình bình hành 
ÞAD//BC ; ÐA= ÐEBCˆ=60 o (6) (góc đồng vị)
E là điểm đối xứng của A qua B nên 
ÞAB=BE=BM (7) (theo (4))
Từ (6),(7) ÞDBME đều. ÐBEMˆ=60o
Vậy ÐA= ÐBEMˆ=60o
Mà MN//AB nên AEMN là hình thang cân □

c/, DBME đều (cmt) nên ME=BM=1/2BC
Suy ra DBEC vuông tại E hay ÐBECˆ=90o
ÐECD=180o− ÐBECˆ=90o (AE//CD) 

Đến đây ta cần một bổ để để chứng minh tiếp.
Bổ đề 1: Cho DABC có ÐB=60o, AB=1/2BC. Chứng minh được РBAC=90

Theo bổ đề trên ta thấy DABD có ÐBADˆ=60o và AB=1/2BC=1/2AD ÞABDˆ=90o
ÞÐEBDˆ=90o (kề bù)
Tứ giác BECD có ÐBEC= ÐECD= ÐEBDˆ=90o  nên là hình chữ nhật□


 Bài 3 Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD và ÐA= ÐD=90 o ) có AB=AD; kẻ đường cao BK(K thuộc DC) a) Cm: tứ giác ABKD là hình vuông b)Từ D hạ DH vuông góc vs đường chéo AC(H thuộc AC),gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của DH và HC.Cm:M là trực tâm của tam giác AND 

HD Giai

a,/ Do tứ giác ABCD la hinh tứ giác co cac canh doi song song va bang nhau nen la hinh binh hanh Hinh binh hanh co hai canh ke bang nhau la hinh thoi Hinh thoi co 1 goc vuong la hinh vuong => hinh tu giac ABCD la hinh vuong. 
b, Kéo dài AM cho cắt DN ở E , chứng minh được AE ^ DN 
è M là truc tam của tam giác AND 


PHH sưu tầm Và chỉnh biên lời giải - Nguồn diendantoanhoc