Hướng dẫn giải 3 Bài toán về đường trung tuyến

HD giải 3 Bài toán về đường trung tuyến
 ( dành cho HS lớp 7 )
Bài 1 :
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM = ½ BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
Giải;
Cách 1(Kiến thức lớp 7): Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho AB vuông góc với Bx. Trên cạnh Bx lấy điểm D sao cho MD=MBvÌ AM=1/2 BCÞAM=BM=MC = MD (*)Theo (*) thì các căp DACM; DDBM 
và DACM; DDBM cùng là TG cânÞ ÐA1=ÐB1; ÐC1 =ÐD1;
 ÐC2=ÐA2; ÐB2 =ÐD2Theo cách dựng có ÐB1+B2 = 90º 
 ÐA1 +ÐD2 = 90º Þ A, M, D thẳng hàng
(vì theo phần thuận D vuông ABM có BM là trung tuyến)
ÞDACM=DBDM(c.g.c) Þ ÐB2=ÐC2 mà hai góc này ở vị trí so le trongÞAC //BD. Vì ÐB1+B2 = 90º 
Þ ÐA1 + ÐA2 = 90º Þ DABC vuông
Cách 2 (Với kiến thức về góc chắn cung) 
Ta có thể CM gọn hơn: Lấy M làm tâm, dựng đường tròn bán kính = ½ BC= MA. Đường tron phải qua 3 điểm A, B, C mà BC là đường kính 
 Þ ÐBAC chắn ½ đường tròn ÞÐBAC=90º
 Ghi chú: Đây là phần đảo của định lí “Trong tam giác vuông, trung tuyến của cạnh huyền bằng ½ cạnh huyền”. 
Bài 2 :
Cho tam giác ABC có AB = AC. Vẽ đường phân giác AI. Chứng minh rằng :
AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến hạ từ A xuống BC
Giải
Xét hai tam giác ABI và tam giác ACI cóAB=AC( gt); Ð BAI=Ð CAI(gt) AI là cạnh chungÞDABI=DACI (1)ÞÐAIB=Ð AIC(góc tương ứng) mà ÐAIB+ÐAIC=180° ÞÐAIB=ÐAIC=180/2=90° 
ÞAI ^ BC Từ (1) ÞBI=CI( cạnh tương ứng); ÐABI= ÐACI(góc tương ứng) ĐPCM
Bài 3 :
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Vẽ BH và CK lần lượt là đường cao của tam giác ABM và ACM. 
Chứng minh rằng BH = CK.
HD GiảiCách 1: Xét Dvuông HBM và DKCM có BM=CM(gt) Ð HMB= ÐCMK(đối đỉnh)Þ DHMB= DHMC(cạnh huyền góc nhọn)ÞBH=CK(cạnh tương ứng) ĐPCM
Cách 2 (với kiến thức tiểu học) Ta thấy SDBAM = S DCAM vi chung đường cao và 2 cạnh đáy bằng nhau. Vậy khi xoay lại lấy lấy AM là cạnh đáy chung cho 2 tam giác ấy, chúng phải có đường cao BH = CK
PHH sưu tầm và viết lời giải - 12 -2013