Hướng dẫn giải 5 bài tập về hình tứ gác và hình vuông

 HD Giải 5 bài tập về Hình tứ gác & hình vuông
Bài 1 Cho hình vuông ABCD . Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên 4 cạnh của hình vuông. Xác định M,N, P, Q,để:
a/ Tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất.
b/ MNPQ có chu vi nhỏ nhất nhưng diên tích lớn nhất
HD Giải
Xét tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên các cạnh hình vuông như hình 1a.Lấy K,J,I lần lượt là trung điểm PM,PN,QMKhi đó
 PN+MN+MQ+PQ = 2(AI+IJ+JK+KC)≥2ACĐẳng thức xảy ra khi A,I,J,K,C thẳng hàng.Khi đó PQ//AC,MN//ACVà vì K,IÎAC nên DAMQ và DNPC vuông cân. Tức MQ^AC, NP^AC.Vậy đẳng thức xảy ra
PN+MN+MQ+PQ = 2 AC
è Khi MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp hình vuông ABCD và có các cạnh song song với 2 đường chéo hình vuông thì chu vi nhỏ nhất (Hình 1b)
b/ Cùng một chu vi thì Tứ giác MNPQ có các cạnh bằng nhau sẽ có diện tích lớn nhất.
Bài 2 Cho hình vuông ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a. Một góc vuông xOy có tia Oy cắt cạnh AD tại E, tia Ox cắt cạnh AB tại F (h. 2).
Tính diện tích tứ giác OEAF theo a. 
HD Giải
Qua O kẻ OH^ AB; OK ^AD, ta có
Hai tam giác vuông (vàng và lục)
D vuôngOKE = D vuôngOHF àS1 = S2
(vì OK=OH; ÐO1 = ÐO2, góc có 2 cặp cạnh vuông góc nhau)
SOAEF = S1 + S3 = S2 + S3 = S OKAH
 Mà SOKAH = ¼ S ABCD = ½ a 2 
 è SOAEF = ½ a 2 (ĐA)
Bài 3 Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh là a và b. Gọi H, I, E, K lần lượt là các trungđiểm của BC, HC, DC, EC (h. 3). 
Tính : a) Diện tích tam giác DBE theo a,b. b) Diện tích tứ giác EHIK. 
HD giải
a/ S DDBE = S DBEC= ½ S DBDCS DBDC = 1/2 SABCD= ½ a.b
b/ S DCHE = 1/2 S CHOE = 1/8 SABCD
S DCIK = 1/4 S DCHE = 1/32 SABCD è SEHIK = 1/8 – 1/32 = 3/32 a.b
Bài 4 .
a/ Cho ttứ giác ABCD có 2 đường chéo AC ^ BD; Dựng 1 tam giác có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD .
b/ Cho ttứ giác lồi ABCD bất kì; Dựng 1 tam giác có diện tích bằng diện tích tứ giác lồi ABCD
HD Giải
a/ Nhận thấy ( Hình 4a)
SABCD = SDABD + SDCBD (1)
 SDABD = ½ AIxDB
 SDCBD = ½ CIxBD.
Nếu đường cao DCBD được kéo dài về phía C 1 đoạn CK =AI thì
SDKBD = ½(CK + CI)xDB 
 = 1/2DBxCI + 1/2BDxAI
 =SDCBD +SDABD (2)
Từ (1) và (2) è DKBD có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD . (ĐA)
b/ Tương tự phần a/ Trường hợp này chỉ cần hạ 2 đường cao CH và AI, kéo dài đoạn AK = CH ta được tam giác KDB có diện tích bằng diện tích tứ giác lồi ABCD ( Hình 4b)
Bài 5 Hãy dựng 1 hình vuông có diện tích bằng diện tích tứ giác lồi ABCD
HD Giải
Bước 1: Dựng tam giác KDB có diện tích bằng diện tích tứ giác lồi ABCD (Như bài 4)
Bước 2: 
-Trên DB kéo dài dựng 
 BH = ½ KI = ½ h 
- Lấy O là trong điểm của DH, dựng 
đường tròn bán kính = 1/2DH. 
- Dựng qua B đường vuông góc với DB và cắt đường tròn tại M. àta có
 MB2 = DB x BH; Mà BH =1/2 h
Þ MB2 = 1/2hxDB = S DKDB. (*)
è Từ (*) chứng tỏ MB là độ dài của hình vuông cần dựng
 Vậy Hình vuông BMNP là hình phải tìm.
Ghi chú : 
-Trên đây chỉ là gợi ý cách giải; Nếu làm bài toán “dựng hình” cần biện luận và chứng minh đầy đủ.
- Nếu cần mời các bạn tham khảo bài “Quy vuông đa giác” có đăng trong thư viện này cách đây 4 tháng.
 PHH sưu tầm đề và viết lời giải (1 – 2014 )