Hướng dẫn giải 5 Bài toán về Tiếp tuyến đường tròn

HD giải 5 Bài toán về Tiếp tuyến đường tròn
µ Bài 1
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt nó. Lấy điểm S cố định nằm trong (O) và không trùng O. Lấy điểm M di động trên d. Kẻ 2 tiếp tuyến MP,MQ đến (O) (P,Q là tiếp điểm). Chứng minh (SPQ) đi qua một điểm cố định.
@HD giải
Gọi T là cực của d với (O).Đường đối cực của T đi qua M nên đường đối cực của M đi qua T.Hay P,Q,Tthẳng hàng.
Trên ST lấy điểm K sao cho  
TS.TK=TP.TQ
Khi đó hiển nhiên K Î(SPQ).
Mặt khác do d cố định nên T cố định.Do đó TS.TK=TP. TQ = PT/(O)) là hằng số nên K cố định.
Vậy (SPQ) đi qua K cố định. (dpcm)
µ Bài 2 
Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Có cạnh bên AB cố định và các đỉnh C, D thay đổi. Chứng minh đường thẳng đi qua giao điểm 2 đường chéo và song song với 2 đáy luôn đi qua 1 điểm cố định 
@HD Giải
Kẻ tiếp tuyến từ A và B của (O), chúng cắt nhau tại I.
AC ∩ BD =L ta sẽ chứng minh IL//AD
Thật vậy, dễ dàng chứng minh IAOB là tứ giác nội tiếp
Þ ÐAIB=180o−ÐAOB
ÐAOB=ÐALB(do cùng chắn cung AB) ÞAIBL:tgnt ÞÐILA=ÐIBA
Mà ÐIBA=ÐBCA=ÐCAD Þ IL // AD
Vậy đường thẳng đi qua giao điểm 2 đường chéo luôn đi qua một điểm cố định là giao 2 tiếp tuyến tại A,B.
µ Bài 3 :
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng qua A cắt tiếp tuyến của (O) tại B,C ở M,N và cắt (O) tại E. Gọi F là giao điểm của BM và CN. Chứng minh EF đi qua một điểm cố định khi đường thẳng qua A thay đổi.
@ Gợi ý :
Gọi giao điểm của BM và CN là P Ta chứng minh A,K,P¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Theo Ceva thì điều trên tương đương BM/BP⋅CP/CN⋅AN/AM=−1
ÛBM/AM⋅CN//AN¯=−1
Mặt khác ta lại có
MA/ME = NE.NA = (−CA/CE)2)
 à BM/AM⋅CN/AN = −1
Ta có đpcm !~
µ Bài 4
Cho ba điểm A,B,C cố định lấy theo thứ tự đó trên một đường thẳng.Vẽ đường tròn tâm (O) di động qua A và B.Kẻ tiếp tuyến CD,CE với (O).
a/ Chứng minh rằng: CD2=CA.CB
b/ Chứng minh rằng: DE luôn đi qua 1 điểm cố định F
c/ Gọi I là trung điểm của DE.Khi đường tròn(O) thay đổi luôn qua A và B thì các điểm D và I nằm trên những đường nào?
d/ Gọi MN là đường kính vuông góc với AB và P là giao điểm của CM với (O). Chứng minh rằng các đường thẳng AC,DE,NP đồng qui 
@HD Giải
a & b) Gọi J là giao của DE và AB. từ O kẻ OK ^ AB tại K
 Þ  Ð DKCˆ= ÐCDJˆÞ Δ CJD » Δ CDK
ÞCJ.CK = CD2 = CA.CB không đổi (ĐA a) Þ J cố định Þ đpcm câu b/
c) * CD không đổi (câu b) mà C cố định  Þ D cố định  Þ D cách C cố dịnh một khoảng không đổi bằng CD Þ C∈ Î(C;CD)
 * J, C cố định Þ JC không đổi và ÐJIC = 90 0 Þ I nhìn đoạn JC cố định dưới góc 900 Þ I thuộc đường tròn đk JC.
d) CI.CO=CD2=CP.CM Þ ΔCPI » ΔCOM
ÐCIPˆ= ÐCMOˆ Þ MOIP nội tiếp Þ ÐIPMˆ=ÐKOIˆ (1)
 Mà ỌIKK nội tiếp ÐKOIˆ = ÐIJCˆ (2)
Từ (1)(2) ÐIPMˆ= ÐIJCˆ Þ JIPC nội tiếp
Þ JPCˆ=JICˆ=900 Þ JP ^MC tại P, mà JP ^ MC tại P Þ đpcm.
µ Bài 5
Cho đường tròn tâm (O),điểm K nằm ngoài đường tròn.Kẻ các tiếp tuyến KA,KB và cát tuyến KCD với đường tròn.Gọi H là trung điểm của CD.Đường thẳng đi qua H và song song với BD cắt AB ở I. Chứng minh rằng CI ^OB. 
PHH sưu tầm 9-2013 - Nguồn diendantoanhoc