Hướng dẫn giải 6 Bài toán quỹ tích

HD Giải Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích thường được phát biểu dưới dạng: Cho một cấu hình có một số yếu tố cố định và một (hoặc vài) yếu tố thay đổi theo một yêu cầu nào đó (điểm di chuyển trên một đường tròn, đường thẳng quay quanh một điểm ). Yếu tố thay đổi này sẽ dẫn đến sự di động của một số yếu tố điểm khác. Yêu cầu tìm quỹ tích các yếu tố điểm liên quan.
 1/ Các bước giải bài toán quỹ tích:
Phần thuận: Phân tích các yếu tố cố định và thay đổi để chỉ ra tập hợp mà điểm cần tìm quỹ tích phải thuộc vào (thường là đường tròn, đường thẳng). Ta sẽ sử dụng các quỹ tích cơ bản (như cung chứa góc, trung trực, đường tròn Appolonius ) để xác định và chứng minh quỹ tích. Để dự đoán quỹ tích, có thể phải vẽ một số vị trí (trong đó có các vị trí đặc biệt) của cấu hình. 
Phần đảo: Sau khi đã làm phần thuận, tức là xác định tập hợp M những điểm mà quỹ tích thuộc vào, ta cần xem xét xem với những điểm P nào thuộc M thì tồn tại một cấu hình có vị trí điểm cần tìm quỹ tích trùng với P. Bước này sẽ loại bỏ những điểm không tương ứng với một cấu hình nào.
Giới hạn: Sau khi thực hiện phần đảo, ta có thể sẽ thấy rằng chỉ một phần của M thuộc về quỹ tích. Bước này mô tả rõ phần đó. Ví dụ mặc dù điểm P thuộc đường tròn (C) nhưng quỹ tích có thể chỉ là một cung của (C).
Kết luận: Dựa trên các phần trên kết luận quỹ tích là tập hợp những điểm như thế nào.
Bài toán mẫu.
Cho đường tròn (C) tâm O. P là một điểm cố định nằm trong (C) nhưng không trùng với O. Một đường thẳng (d) thay đổi qua P cắt (C) tại A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi (d) quay quanh P.
Giải
Phần thuận: Nối OM. Vì tam giác OAB cân tại O nên OM vuông góc với AB. Suy ra góc OMP vuông. Như vậy M luôn nhìn đoạn OP cố định dưới một góc vuông. Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính OP.
Phần đảo: Lấy một điểm M’ bất kỳ thuộc đường tròn đường kính OP (M khác O). Nối OM’. Qua M’ kẻ đường thẳng (d) vuông góc với OM’ cắt (C) tại A’ và B’. Do góc OM’P = 900 nên (d) đi qua P. Vì tam giác OA’B’ cân tại O và OM’ vuông góc với A’B’ nên M’ là trung điểm của AB. Vậy M’ là một điểm thuộc quỹ tích. 
Giới hạn: Theo chứng minh trên thì mọi điểm M trên đường tròn đường kính OP khác O đều thuộc quỹ tích và ngược lại, mọi điểm thuộc quỹ tích đều thuộc đường tròn trên. Cuối cùng, vị trí M trùng O tương ứng với trường hợp (d) đi qua O. Như vậy, quỹ tích là cả đường tròn đường kính OP.
Kết luận: Quỹ tích là đường tròn đường kính OP.
Ghi chú: Nếu P là một điểm nằm ngoài đường tròn thì quỹ tích sẽ chỉ là phần đường tròn đường kính OP nằm bên trong (C). Như vậy phần đảo và phần giới hạn là có ý nghĩa và nói chung không thể bỏ qua. 
2. Một số quỹ tích cơ bản
1. Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm A và B là đường trung trực của đoạn thẳng đó, tức là đường thẳng qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB.
2. Quỹ tích những điểm A cách một điểm I cố định một đoạn AI = R không đổi là đường tròn tâm I bán kính R.
3. Quỹ tích những điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau a và b là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó.
4. Quỹ tích những điểm cách một đường thẳng a cho trước một đoạn d không đổi là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng cách bằng d. 
5. Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định một góc α cố định là hai cung chứa góc α nhận AB làm dây cung. Đặc biệt, nếu α = 900 thì quỹ tích là đường tròn đường kính AB.
6. Cho hai điểm A, B và số thực k. Quỹ tích những điểm M sao cho MA2 – MB2 = k là một đường thẳng vuông góc với AB tại H, trong đó H xác định bởi hệ thức:
7. Cho hai điểm A, B với AB = 2a và số thực dương k. Quỹ tích những điểm M sao cho MA2 + MB2 = 2k2 là tập rỗng nếu k2 < a2 và là đường tròn tâm I, bán kính .
8. Cho hai điểm A, B và số thực dương k ≠ 1. Quỹ tích những điểm M sao cho là đường tròn đường kính EF, trong đó E và F là các điểm thuộc đường thẳng AB sao cho
	 và 	
(Đường tròn Appolonius)
3. Một số bài toán có lời giải
µ Bài toán 1. Cho đường tròn (C) với dây cung BC cố định. A là một điểm di động trên đường tròn (A khác B và C). 
Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC;
Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC;
Tìm quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC;
Tìm quỹ tích tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC.
Lời giải tóm tắt.
Gọi M là trung điểm của BC. Trên OM lấy điểm O’ sao cho OO’:O’M = 2:1. Theo tính chất của trọng tâm thì AG:GM = 2:1. Từ đó suy ra O’G//OA. Áp dụng định lý Talet ta có O’G:OA = 1:3. Từ đó suy ra O’G = R/3 không đổi.
Hãy tính góc BHC.
Hãy tính góc BIC. 
Hãy tính góc BJC.
µ Bài toán 2. Cho hình vuông ABCD. M là một điểm di động trên cạnh CD. AM và BM kéo dài cắt BC và AD kéo dài tại P và Q. DP cắt CQ tại N. Tìm quỹ tích điểm N khi M di động trên cạnh BC. 
µ Bài toán 3. Cho tam giác ABC. Trên AB kéo dài về phía B lấy điểm M và trên AC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho BM = CN. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
µ Bài toán 4. Cho hai điểm A, B cố định. C là một điểm thay đổi trên đoạn AB, C khác A và B. Dựng các hình vuông ACDE và BCFG nằm về cùng một phía đối với đường thẳng AB. Gọi I, J là tâm các hình vuông ACDE và BCFG. Tìm quỹ tích trung điểm K của IJ.
µ Bài toán 5. 
 Tìm quỹ tích những điểm cách đều một điểm đã cho và một đường thẳng đã cho. 
Bài toán tưởng như rất đơn giản này không thể giải bằng phương pháp hình học thuần túy. Ta có thể dựng một số vị trí để thấy rằng quỹ tích không phải là đường thẳng. Một đặc điểm đáng chú ý nữa là trên 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho sẽ tìm được duy nhất 1 điểm thỏa mãn tính chất.
Bài này có thể Giải được dễ dàng bằng phương pháp tọa độ. 
Gọi điểm đã cho là P và đường thẳng đã cho là P. 
- Xét hệ trục tọa độ có Ox là đường thẳng d và Oy là đường thẳng qua điểm P và vuông góc với d. Giả sử P có tung độ là p > 0. 
- Xét điểm M(x, y) bất kỳ nằm trên quỹ tích. Dễ thấy y > 0. Khi đó khoảng cách từ M đến d là y và từ M đến P là . 
Từ đó ta có .
Đó là phương trình của một parabol
4. Bài tập ứng dụng
1. Cho hai điểm A, B cố định. C là một điểm thay đổi trên đoạn AB, C khác A và B. Dựng các hình vuông ACDE và BCFG nằm về cùng một phía đối với đường thẳng AB. Tìm quỹ tích trung điểm I của EG.
2. Cho một góc nhọn Oxy và một điểm M nằm trong góc ấy. Từ M ta kẻ các đường vuông góc MH xuống cạnh Ox và MK xuống cạnh Oy. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện MH + MK = a, trong đó a là một độ dài cho trước. 
3. Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ PA1, PB1, PC1 vuông góc với BC, CA, AB tương ứng. Tìm tập hợp các điểm P sao cho A1B1C1 là tam giác cân. 
4. Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến cạnh BC, CA, AB tương ứng.
	a) Biết rằng x = 1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC.
b) Tìm quỹ tích những điểm P trong tam giác sao cho x + y = z. Từ đó suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập thành 3 cạnh của một tam giác.
5. Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng (d) thay đổi nhưng luôn đi qua A cắt (C1), (C2) tại các điểm thứ hai C và D tương ứng. Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi (d) quay quanh A. 
6. Cho đường tròn (C) tâm O bán kính R. Đường tròn (C1) có bán kính R/2 tiếp xúc trong với (C) tại A. Bây giờ ta cố định vị trí điểm A trên đường tròn (C1) là cho (C1) lăn nhưng luôn tiếp xúc trong với (C). Hãy tìm quỹ tích điểm A. 
7*. Cho hai điểm A, B cố định, AB = 2a. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho MA + MB = 2c không đổi, với c > a.
PHH sưu tammf và chỉnh lí 10 -2013
Nguồn Trần Nam Dũng
Trường Đại học KHTN Tp HCM