Hướng dẫn Giải 9 bài tập luyện học sinh giỏi 8

HD Giải 9 bài tập luyện HSG 8

Bài 1
Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác của góc A, đờng thẳmg này cắt AC ở K. 
Chứng minh rằng AB = CK.
HD giải : 
*Từ C và B kẻ CM//AB và BM//AC ta có hình bình hành AB M C ị AB = C M . Để chứng minh 
 AB = KC ta cần chứng minh KC = CM. 
* Theo GT có BC = CE ị DC B E cân tại C
ị éB1 = éE vì góc C1 là góc ngoài của DBCE ị B1=1/2éC1 mà AC // BM (ta vẽ) => éC1=éCBM ị éB1 =1/2CBM ố BO là tia phân giác của éCBM. 
*Tương tự ta có CD là tia phân giác của góc BCM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O => MO là phân tia phân giác của góc CMB
Mà : éBAC và éBMC là hai góc đối của hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác của góc A theo gt tia phân giác của góc A còn song song với OK => K,O,M thẳng hàng.
*Tiếp tuc suy luận ta có DCKM cân tại C ị CK = CM. 
 Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm)

Bài 2 Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đờng kẻ từ A và B lần lợt song song với BC và AD cắt các đờng chéo BD và AC tơng ứng ở F và E. 
a/ Chứng minh: EF // AB 
b/Chứng minh AB2 = EF.CD. 
c/ Gọi S1 , S2, S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của các tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC . Chứng minh: S1 . S2 = S3 . S4 .
HD Giải
a) Do AE// BC => 	
 


 BF// AD 
Mặt khác AB// CD ta lại có
	D	A1B1	C
 nên 
 ố EF // AB
b). ABCA1 và ABB1D là hình bình hành ị A1C = DB1 = AB
Vì EF // AB // CD nên ị AB 2 = EF.CD.
c) Ta có: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD.
=> ; => => S1.S2 = S3.S4

Bài 3 Cho hình vuông ABCD, M ẻ đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
	a.BM ^ EF
	b. Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy.
HD Giải
 Gọi K là giao điểm CB với EM; 	
 H là giao điểm của EF và BM 
ịDvuông EMF =Dvuông BKM 
Vì A A’ MB và MKCF là hình vuông
ị é MFE =é KMB ị BH ^ EF 
b. D ADF = DBAE (cgc) ịAF ^ BE 
Tương tự: CE ^ BF ị BM; A’’ F; BI 
 là các đường cao của DBEF
 (A’’ F nằm trên AF ; BI nằm trên CE) 
ị BM, AF, CE đồng quy ( đpcm)

Bài 4 : Cho tam giác ABC ( AB > AC )
	1) Kẻ đờng cao BM; CN của tam giác. Chứng minh rằng:
 DABM ~ DACN Và éAMN = é ABC
	2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. 
	Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của é BAC.
HD Giải
1) DABM và DACN đều là TG vuông có 
éA chung ị đồng dạng ị 
AMN đồng dạng ABC AMN = ABC 
 ( hai góc tương ứng)	
2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H
BAH = CHA	( so le trong, AB // CH)
mà CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác)	
ốCHA =CAH nên CAH cân tại C
do đó :	 CH = CA	 => CH = BK và CH // BK
	BK = CA
ố tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đờng trung bình của tam giác KHA. 
ố Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm)

 Bài 6: Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S.
1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.
2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS . Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
3, Chứng minh P là trực tâm SQR.
4, MN là trung trực của AC.
5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.



1, ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA=BD ( cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, 
ố AQR là tam giác vuông cân.
 Chứng minh tượng tự ta có:ARP=ADS
ố AP = AS vàAPS là tam giác cân tại A.

2, AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên ANSP và AMRQ.
Mặt khác : é PAN=éPAM = 450 ịé MAN vuông. ốTứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
3, Theo giả thiết: QARS, RCSQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR. Vậy P là trực tâm của SQR.
4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =QR.
Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM = QR.
MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.
Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trungtrực của AC
5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đờng trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. 

 Bài 7 Cho hình vuông ABCD . Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC . Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE . Ax cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh :
a/AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi .
b/ AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC
c/ Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi .

HD Giải
a) ABE = ADF (c.g.c) AE = AF
 AEF vuông cân tại tại A nên AI ^ EF .
 IEG = IEK (g.c.g) IG = IK .
Tứ giác EGFK có 2 đường chéo cắt 
nhau tại trung điểm mỗi đường và
 vuông góc nên hình EGFK là hình thoi .
b) Ta có : 
é = éACF = 450 , é F chung
 AKI~CAF(g.g) 
c/ Tứ giác EGFK là hình thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE 
Chu vi tam giác EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) .

Bài 8
Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P .
a) Tứ giác AMDB là hình gi?
b) Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB .
Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng.
c)Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
d) Giả sử CP ^ DB và CP = 2,4 cm,; Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
HD Giải
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. ị AM //PO ị tứ giác AMDB là hình thang.
b) Do AM// BD ị é OBA= é MAE ( đồng vị )
Trong D cân OAB ị góc OBA= góc OAB 
Gọi I là giao điểm của MA và EF ị D AEI cân ở I ị góc IAE = góc IEA 
ị góc FEA = góc OAB ị EF //AC .(1)
Mặt khác IP là đờng trung bình của D MAC ị IP // AC (2)
Từ (1) và (2) ị: E,F, P thẳng hàng.
c) (1 điểm ) Do D MAF ~ D DBA ( g-g) ị không đổi.
d) Nếu ị PD= 9k; PB = 16k.
Do đó CP2=PB. PD 
ị ( 2,4)2=9.16k2 ị k=0,2.
PD = 9k =1,8
PB = 16 k = 3,2 ịDB=5 
Từ đó ta chứng minh được 
BC2= BP. BD=16ố: BC = 4 cm
CD = 3 cm

Bài 9 Cho góc xoy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vuông góc với oy . Biết IC = ID = a. Đờng thẳng kẻ qua I cắt õ ở A cắt oy ở b.
a/ Chứng minh rằng tích AC . DB không đổi khi đường thẳng qua I thay đổi.
b/ Chứng minh rằng 
c/ Biết SAOB = . Tính CA ; DB theo a.

HD Giải
a/IAC vàBAO có A chung ; é AIC =é AB I ( cặp góc đồng vị) 
ịIAC ~ BA	 	
Suy ra:	 	 	(1)
Tương tự:	BID ~ BAO	(gg)	
Suy ra:	 	 	(2)
Từ (1) và(2) Suy ra: 
	Hay AC. BD = IC . ID = a2
	Suy ra: AC.BD = a2 không đổi.
b, Nhân (1) với (2) ta có: 	
mà IC = ID ( theo giả thiết) suy ra: 	
	C, Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có;
	SAOB = OA.OB	mà SAOB = ( giả thiết)
	Suy ra: OA.OB = 	OA . OB = 
Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) = 	a2 + a( CA + DB ) + CA . DB = 
Mà CA . DB = a2 ( theo câu a)	 a(CA +DB) = - 2a2
 CA + DB +. Vậy: 
	Giải hệ pt 	 CA = và DB = 3a
	Hoặc CA = 3a và DB =




PHH sưu tầm 1 -2014 --- Nguồn hocnahocmai (Bài gôc của Thày Trần Văn Tú