Hướng dẫn giải toán trên máy tính cầm tay

Phần I: Làm quen với các bài toán đơn giản.
1. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
 Tính giá trị của các biểu thức sau (Lấy chính xác hoặc làm tròn 5 chữ số ở phần thập phân).
Giải
A = 120; B = 1; C = 2,63070; D = 8; E = 
 Câu 1, 2 chắc là dễ nhưng đối với câu 3 này nếu bạn dùng máy tính fx 570MS trở xuống thì phải chú ý mở thêm ngoặc vì máy tính hiểu sai về thứ tự thực hiện các phép tính, việc sử dụng máy tính fx 570ES hiện thị giống sách giao khoa rất dễ để làm các bài tập này, nó sẽ còn có nhiều thuận lợi hơn khi giải các bài toán về sau mà máy tính khác không giải được.
 Quy trình bấm phím sai trên 500MS hoặc 570MS: 3 shift 5 - shift 4 - shift 2 - shift 20 + shift 25 Đáp số sai: 1,285259478
 Nguyên nhân là phải mở thêm ngoặc vì máy tính sẽ hiều nhầm biểu thức. Quy trình bấm phím đúng: 3 x ( shift ( 5 - shift 4 ) ) - shift 2 - shift 20 + shift 25 Đáp số: 2,630704324
 Câu 6, 7 ta phải biết đến công thức học được ở lớp 8 (ở bài luyện tập).
Bài tập tự luyện:
1. Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số:
2. Thực hiện phép tính:
3. Tính 5% của 	
4.1 Tính giá trị gần đúng đến 7 chữ số ở phần thập phân.
4.2 Tính và làm tròn đến 6 chữ số ở phần thập phân.
4.3 Tính và làm tròn đến 5 chữ số ở phần thập phân.
4.4 Tính giá trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân.
2. BÀI TẬP SỐ HỌC NHỎ
1. Tìm số dư khi chia 2010 cho 12.
Giải
Ta thực hiện phép chia bình thường ấn: 2010 12 = (Kết quả: 167,5)
Tìm số dư ấn tiếp: Ans – 167 = 12 = (Đáp số: 6)
Vậy số dư cần tìm là 6.
2. Số 2009 là số nguyên tố hay hợp số.
Giải
Ta tính: 
Để kiểm tra 2009 là số nguyên tố hay là hợp số thì ta chỉ việc chia số 2009 cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 44.
2009 không chia hết cho 2
2009 không chia hết cho 3
2009 không chia hết cho 5
2009 chia hết cho 7
Vậy 2009 là hợp số.
Bài tập tự luyện
1. Tìm số dư khi chia 20092010 cho 999.
2. Số 4826809 là số nguyên tố hay là hợp số.
3. TÍNH GIÁ TRỊ GÓC, LƯỢNG GIÁC
1. Cho cos = 0,5. Tính các giá trị lương giác còn lại của góc . (Lấy hết kết quả hiện thị ở màn hình).
2. Cho là góc nhọn với . Tính: (Lấy hết kết quả hiện thị ở màn hình).
3. Tính giá trị của biểu thức sau chính xác đến 0,0001.
Giải
1. Ta tính góc bằng cách nhấn: shift cos-1 0,5 = (Kết quả = 60)
Tính các giá trị lượng giác còn lại ta thực hiện tính giá trị lưỡng giác của góc 600.
sin 0,866
tan 1,7321
cot 0,5774
2. Tính góc rồi tính . Quy trình bấm phím: shift sin 0,813 = (54.39008374 thoã góc nhọn) cos ( 5 x Ans ) = (Đáp số: 0,03403465362).
3. Quy trình ấm phím trên máy fx 500MS hoặc fx 570MS là: ( cos 36 o’” 25 o’” 12 o’” – cos 63 o’” 17 o’” 34 o’” ) ( cos 40 o’” 22 o’” 20 o’” + cos 52 o’” 10 o’” 45 o’” ) = (Đáp số: 0015’30,09” 0,2584 )
Bài tập tự luyện:
1. Cho là góc nhọn. (Lấy hết kết quả hiện thị ở màn hình).
sin = 0,831. Tìm cos 5	
cos = 0,1234. Tìm sin 2	
2. Cho cosA = 0,8516; tanB = 3,1725; sinC = 0,4351 (A, B, C nhọn). Tính 
3. Tính A, B, C, biết:
4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ghi nhớ: Đối với các máy fx 500MS, fx 570MS, fx 500ES, fx 570ES thì các phương trình và hệ phương trình được viết dưới dạng tổng quát như sau:
; 
Khi nhập vào máy ta nhấn a, b, c hoặc d.
 Khi nhập vào máy ta nhấn a1, b1, c1, a2, b2, c2.
 Khi nhập vào máy ta nhấn a1, b1, c1, d1 a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3.
Bài tập giải các phương trình và hệ phương trình sau:
1. 
2. 
3. 
4. 	
5. 
6. 
Sử dụng chương trình cài sẵn trong máy để tính.
1. Vào EQU, Degree : 2
Nhập: 1 = -11 = 30 = (Đáp số: x1 = 5, x2 = 6).
2. Vào EQU, Degree : 3
Nhập: 1 = -6 = 11 = -6 = (Đáp số: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3).
3. Vào EQU, 2 unknowns.
Nhập: 12 = -13 = 8 = 37 = 29 = 14 =. Đáp số: 
4. Đáp số: 
5. Vào EQU, 3 unknowns.
Nhập: 4 = 1 = -2 = -1 = 1 = 6 = 3 = 1 = 5 = 4 = 1 = -7 =. Đáp số: 
6. Đáp số: 
Bài tập tự luyện:
1. Giải phương trình (Ghi kết quả đủ 9 chữ số ở phần thập phân).
a, 2,343x2 – 1,54x – 3,141 = 0
b, 	 
2. Giải hệ phương trình.
a,(Ghi đủ 9 chữ số ở phần thập phân)	 
b, c,	 
3. Giải hệ phương trình:
4. Tính biết x và y là nghiệm của hệ: 
5. CÁC BÀI TOÁN ĐỐ
1. Khi dùng máy tính Casio để thực hiện phép chia một số tự nhiên cho 48, được thương là 37, số dư là số lớn nhất có thể có được của phép chia đó. Hỏi số đó là bao nhiêu?
2. Tìm số nguyên x, biết rằng nếu nhân số đó với 12 rồi cộng thêm ½ số đó thì được bình phương số đó cộng với 21.
3. Cho 3 số nguyên nếu cộng hai số bất kì thì ta được các số sau: 12, 22, 28. Tìm ba số đó.
4. Tỉ số vốn của hai nhà kinh doanh là 0,6. Hỏi mỗi người có số vốn là bao nhiêu? Biết rằng người thứ nhất nhiều hơn người thứ hai là 100 triệu đồng.
5. Một ao cá có 4800 con cá gồm ba loại trắm, mè, chép. Số mè bằng số trắm. Số chép bằng số mè. Tính số lưỡng của mỗi loại cá trong ao.
Giải
1. Ta có số dư nhỏ hơn số chia 48, nên số dư lớn nhất có thể được trong phép chia một số tự nhiên cho 48 là 47.
Do thương thu được là 37 nên số bị chia cần tìm là: 37 48 + 47 = 1823
2. Theo đề bài ta có:
Vậy số nguyên x cần tìm là 2.
3. Gọi 3 số đó là x, y, z. (Điều kiện: x, y, z Z)
Theo đề bài ta có:
Vậy ba số phải tìm là 3, 9, 19.
4. Gọi số vốn của hai người là: a, b (triệu đồng) (Điều kiện: a, b > 0)
Theo đề bài ta có:
Vậy số vốn của hai người lần lượt là: 150, 250 triệu đồng.
5. Gọi số cá loại trắm, mè, chép lần lượt là: x, y, z (Điều kiện: z, y, z N*)
Theo đề bài ta có:
Vậy trong ao có 3360 con cá trăm, 960 con cá mè và 480 con cá chép.
Bài tập tự luyện:
1. Một số nguyên x khi nhân với 12 rồi cộng với 12, cộng số tìm được với số phải tìm, được bao nhiêu đem chia cho 3 được 54. Tìm số x ban đầu.
2. Anh Sáu đan xong 6 cái rổ hết 1 giờ, 20 cái rế hết 1 giờ 30 phút. Hỏi anh Sáu đan 100 cái rổ và 100 cái rế hết bao lâu?
3. Một nguời vào bưu điện để gửi tiền cho nguời thân ở xa, trong túi có 5 000 000 đồng. Chi phí dịch vụ hết 0,9% tổng số tiền gửi đi. Hỏi nguời thân nhận tối đa bao nhiêu tiền.
6. CÁC ĐỀ CĂN BẢN
Đề HHN#1: (Thang điểm 50). Thời gian: 30 phút.
Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu gì thì thí sinh phải lấy hết kết quả hiện thị thên màn hình.
Bài 1: (5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: (Làm tròn 5 chữ số ở phần thập phân). 
Bài 2: (5 điểm) Tính tổng của A sau:
A = 2 + 4 + 6 +  + 2010
Bài 3: (5 điểm) Tìm một số biết rằng 5% của số đó là:
Bài 4: (5 điểm) Giải hệ phương trình: 
Bài 5: (5 điểm) Giải phương trình:
3x2 – 9x = - 54
Bài 6: (5 điểm) Tìm số dư của 123456 cho 135.
Bài 7 : (5 điểm) Trình bày 1 phương pháp kiểm tra số 881 là số nguyên tố hay là hợp số.
Bài 8: (5 điểm) Tính giá trị của lượng giác sau:
Bài 9: (5 điểm) Cho 3 số nguyên nếu cộng hai số bất kì thì ta được các số sau: 22, 32, 42. Tìm tích của 3 số đó.
Bài 10: (5 điểm) Một bộ quần áo được bán như sau: Cái quần bán với giá 200 000 đồng trong đó số tiền lãi là 47 000 đồng. Cái áo bán với giá 150 000 đồng. Biết tỉ lệ tiền vốn của cái quần so với chiếc áo là 3/2. Hỏi tiền lãi thu được của bộ quần áo đó là bao nhiêu?
Xem đáp án tự chấm điểm trang 11
Đề HHN#2: (Thang điểm 50). Thời gian: 30 phút.
Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu gì thì thí sinh phải lấy hết kết quả hiện thị thên màn hình.
Bài 1: (5 điểm) Tính tổng của A sau:
A = 3 + 6 + 9 + 12 +  2010
Bài 2: (5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: (Làm tròn 5 chữ số ở phần thập phân). 
Bài 3: (5 điểm) Giải hệ phương trình: 
Bài 4: (5 điểm) Giải phương trình:
2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0
Bài 5: (5 điểm) Tìm 5% của số :
Bài 6: (5 điểm) Tìm số dư của 9999 cho 22.
Bài 7: (5 điểm) Trình bày 1 phương pháp kiểm tra số 157 là số nguyên tố hay là hợp số.
Bài 8: (5 điểm) Tính giá trị của lượng giác sau:
Bài 9: (5 điểm) Một bộ quần áo được bán như sau: Cái quần bán với giá 200 000 đồng trong đó số tiền lãi là 48 000 đồng. Cái áo bán với giá 150 000 đồng. Biết tỉ lệ tiền lãi của cái quần so với chiếc áo 3/2. Hỏi tiền vốn bỏ ra của bộ quần áo đó là bao nhiêu?
Bài 10: (5 điểm) Cho 3 số nguyên nếu tích hai số bất kì thì ta được các số sau: 20, 24, 30. Tìm số lớn nhất trong 3 số đó.
Xem đáp án tự chấm điểm trang 12
7. ĐÁP ÁN ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LUYỆN TẬP
1.1 ; 
1.2 
 Câu A khi tính ra sẽ hiện thị trên màn hình: -7,0963860241011 nhưng trong thực tế là máy tính vẫn tính đúng 2 chữ số bị ẩn đi. Để tính chính xác ta chỉ cần cộng Ans với 7,096381011 để nhìn thấy 2 chữ số đã bị ẩn.
1.3 
1.4 
2.1 Lấy 20092010 999 được 20112,12212 (Phần nguyên là 20112)
Tìm số dư lấy: 20092010 – 20112 999 = 112
Vậy số dư là 112.
2.2 Chia số 4826809 cho các số nguyên tố từ 2 rồi tăng dần.
 Số 4826809 là hợp số vì chia hết cho 13.
3.1 Ta có:
a, Góc = sin-1 0,831 = 56012’5,76” cos 5 = 0,1909460223
b, Góc = cos-1 0,1234 = 82054’41,88” Sin 2 = 0,2449137107
3.2 Ta có: góc A = cos-1 0,8516 = 31036’49,96”; góc B = tan-1 3,1725 = 72030’16,88”; góc C = sin-1 0,4351 = 25047’29,97” = 78019’87’’
3.3 
4.1 a, x1 = 1,532213277; x2 = -0,8749362822
b, 
4.2 a, b, c, 
4.3 Đặt ẩn phụ: 
Vậy nghiệm của phương trình là 
4.4 Giải phương trình ta được: 
Vậy tỉ số cần tìm là 4,946639229
5.1 Theo đề bài ta có: (12x + 12 + x) 3 = 54
 x = 12
Vậy số x phải tìm là 12.
5.2 Thời gian đan 1 cái rổ là: 
Thời gian đan 1 cái rế là: 
Vậy thời gian để anh Sáu đan 100 cái rổ và 100 cái rế là: 24h10’
Người thân nhận số tiền là: 5 000 000 – 5 000 000 0,9% = 4 955 000 đồng.
Đề HHN#1:
1. A = 10,15259; B = 8,11801
2. 
3. Ta có: 
Vậy số phải tìm là: 70,0976521 5% = 1401,953304.
4. 
5. Vô nghiệm.
6. Thực hiện phép chia 123456 135 ta được 914,4888889 (Phần nguyên là 914)
Tìm số dư bằng cách lấy 123456 – 135 914 = 66
Vậy số dư là 66.
7. Ta tính được 
Lần lượt chia 881 cho các số nguyên tố từ 2 đến 29.
Do 881 không chia hết cho số nguyên tố nào từ 2 đến 29.
 881 là số nguyên tố.
8. A = - 341,1758028
B = 0h49’54,77”
9. Do vai trò của các số như nhau. Go 3 số bất kì phải tìm là: a, b, c (a,b,c N*)
Theo đề bài ta có: 
Vậy tích của 3 số phải tìm là: 6.16.26 = 2496
10. Số tiền vốn của cái áo là: (200 000 – 47 000) = 102 000 (đồng).
Số tiền lãi thu được ở cái áo là: 150 000 – 102 000 = 48 000 (đồng)
Vậy số tiền thu được ở bộ quàn áo là: 47 000 + 48 000 = 96 000 (đồng).
Chú ý chấm bài: 
 Các kết quả được làm theo cách khác đáp án, với kiến thức trong chương trình thì vẫn cho điểm theo các phần tương ứng.
 Các kết quả gần đúng, nếu chỉ sai chữ số cuối cùng thì trừ ½ số điểm câu đó; các đáp án có đơn vị, nếu thí sinh không ghi đơn vị thì trừ 1 điểm/ 1 lần ghi thiếu.
Đề HHN#2:
1. 
2. A = 1,62257; B = 13,72148.
3. 
4. x1 = 1,528193532; x2 = -0,9731384072
5. Ta có: 
 Số phải tìm là: 70,09716521 5% = 3,50485826
6. Thực hiện phép chia 9999 22 được 454,5 (Phần nguyên là 454)
Tìm số dư của phép chia trên lấy 9999 – 22454 = 11
Vậy số dư là 11.
7. Ta tính: 
Để kiểm tra xem 157 là số nguyên tố hay là hợp số ta chỉ việc chia 157 cho các số nguyên tố từ 2 đến 12.
Do 157 không chia hết cho số nguyên tố nào từ 2 đến 12.
Vậy 157 là số nguyên tố.
8. D = -253,0332028; E = 007’29,45”
9. Tiền lãi của cái áo là: 48 000 = 32 000 (đồng).
Tiền vốn của cái quần là: 200 000 – 48 000 = 152 000 (đồng).
Tiền vốn của cái áo là: 150 000 – 32 000 = 118 000 (đồng).
Vậy tiềm vốn bỏ ra của bộ quần áo là: 152 000 + 118 000 = 270 000 (đồng).
10. Gọi 3 số nguyên bất kì là a, b, c (Điều kiện: a, b, c N*)
Theo đề bài ta có:
Ba số phải tìm là 4, 5, 6.
Số lớn nhất trong ba số là 6.
Chú ý chấm bài: (Xem phần trên)
Phần Ii: Nâng cao một số chuyên đề giải toán
1. GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Công thức cần nhớ:
 (Cần ghi nhớ)
 (Cần ghi nhớ)
Bí mật tiết lộ: 
Dạng 1: Hãy tính giá trị của biểu thức:
 với 
Giải
Ta nhập giá trị nhớ vào X, ấn như sau:
 ( 1 + 5 ) 2 shift STO X. 
Ta nhập biểu thức , ấn:
( 2 + 2 ( alpha X + 1 ) ) ab/c ( alpha X + 5) =
 Đáp số: 0,757724128
Dạng 2: Phân số nào sinh ra phân số thập phân tuần hoàn: 6,0(6) và 3,15(321)
Giải
2.1: Ta có 
Lấy: 
Vậy phân số sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn 6,0(6) là 
2.2 Không thể sử dụng dạng 2.1 vì phân số sinh ra lớn, tràn màn hình.
Cách 1: Ta đặt: E = 3,15(321). Ta có:
Vậy phân số sinh ra phân số thập phân tuần hoàn 3,15(321) là 
Cách 2: Ta có:
Dạng 3: Trình bày một phương pháp kết hợp máy tính và trên giáy để tính được giá trị của số: A = 2222244444 55555
Giải
3.1 Ta có: N = (22222.105 + 44444) 55555
 N = 22222.55555.105 + 44444.55555
Tính trên máy giá trị: 
A = 22222 55555 = 1234543210
B = 22222 55555 = 2469086420
Tính trên giấy: 105A + B
3.2 Ta có: 
Tính trên máy giá trị:
A = 123452 = 152.399.025
B = 2.12345.6789 = 167.620.410
C = 67892 = 46.090.521
Tính trên giấy: 108 A + 104 B + C
Dạng 4: Tính: 
Giải
Ta có:
 với n là số nguyên.
Aùp dụng vào bài tập ra đươc:
Dạng 5: Tính 
Giải
Ta đặt 
Ta có: 
Lấy: 2A – A = A = - 
 = 233 – 1 = 8589934591
Bài tập tự luyện:
1. Tính giá trị của các biểu thức sau. (Tính chính xác)
a, 	
b, 	
c, 	
d, 	
e, E = 1 1! + 2 2! + 3 3! +  + 16 16!
2. . Có thể sử dụng kết quả đó để tính tổng mà không sử dụng máy tính. Em hãy trình bày lời giải tính tổng S.
3. Phân số nào sinh ra phân số vô hạn tuần hoàn: 1,36(63); 36,56(252)
4. a, Nếu F = 0,4818181 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 81. Khi F được viết dưới dạng phân số tối giản thì tổng mẫu số và tử số bằng bao nhiêu?
b, Nếu E = 0,4727272 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 72. Khi E được viết dưới dạng phân số tối giản thì mẫu số lớn hơn tử số là bao nhiêu?	
5. Tính: . 
6. Nêu một phương pháp (Kết hợp trên giấy và máy tính) để tính kết quả đúng của phép tính sau: 
a, A = 12578963 16475
b, B = 4672093070 430043
c, C = 3333355555 3333377777
d, D = 2222266666 2222244444
e, E = 2222255555 2222266666
f, F = 2120092009 2120102010
g, G = 1234567892
h, H = 21200920102
i, I = 10234563
K = 10384713. 
7. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:
a, 
b, 
c, 
d, 	
e, 
f, (n N). với n = 15
8. Tính tổng: 
Aùp dụng tính B khi n = 2010.
9. Tính giá trị biểu thức: (Lấy hết kết quả hiện thị trên màn hình)
a, tại x = 2008,2009	
b, với 
c, với x = 1,257; y = 2511,2009
d, với 	
10. Tính giá trị của biểu thức chính xác đến 5 chữ số ở phần thập phân.
a, b,	
11. Tính (Ghi toàn bộ kết quả hiện thị trên màn hình máy tính).
12. Rút gọn và tính:
 khi x = 3,6874496
13. Tính và ghi kết quả ở dạng hỗn số: 
a, 	
b, 403,405292 0,403809 + 408250,999 403,809	
14. Thực hiện biến đổi toán học và kết hợp với máy tính. Tính số nghịch đảo của biểu thức: 
a, 
b,
2. GIÁ TRỊ GÓC, LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức sau chính xác đến 0.0001.
Giải
Dạng 1: Bài toán này trên chỉ có giá trị góc là độ và giây (Không có phút). Để tính ta có quy trình ấn phím trên máy fx 500MS hoặc 570MS như sau:
( sin 54 o’” 0 o’” 30 o’” – sin 35 o’” 0 o’” 40 o’” ) ( sin 72 o’” 0 o’” 18 o’” + sin 20 o’” 0 o’”15 o’” = (Kết quả: 0,1820)
Vậy giá trị của A = 0,1820.
Dạng 2: Cho tany = tan38.tan39.tan40tan52. Tính B = coty.
Giải
 Cần áp dụng các công thức lượng giác tính được nhanh hơn. Nếu + = 900 ta có tan = cot và cot .tan = 1
Ta có:
Vậy giá trị của B = 1
Dạng 3: Cho . Tính chính xác đến 9 chữ số ở phần thập phân.
Giải
Sử dụng biến nhớ để tính nhanh hơn, quy trình ấn phím trên máy fx 500MS hoặc 570MS:
Tính góc và nhớ vào A ấn: shift cos-1 0,765 = shift STO A.
Tính giá trị của biểu thức ấn: ( ( cos alpha A ) shift x3 – ( sin alpha A ) x2 – 2 ) ( cos alpha A + ( sin alpha A ) x2 = (Kết quả: -1.667333072)
Vậy giá trị của biểu thức là -1.667333072.
Bài tập tự luyện:
1. Tính giá trị của biểu thức sau:
1.1 Cho sin = 0,3456 (00 < < 900). Tính: 
1.2 Cho . Tính: 
1.3 Cho cosx = 0,7651 (00 < x < 900). Tính: 	 
1.4 Cho . Tính 
1.5 Biết Cos2 = 0,5678 (00 < < 900). Tính:
2. Biết tan = tan350.tan360. tan370. Tan520. tan530. Tính: 
3.1 Tính giá trị của biểu thức M với 
 (Kết quả lấy ở 4 chữ số thập phân).
3.2 Tính
4. Giải phương trình biết :
a, 
b, 
c, 
d, 
3. LIÊN PHÂN SỐ
Dạng 1: Lập quy trình nhấn phím liên tục để tính giá trị của liên phân số. Tính giá trị của liên phân số đó. (Làm tròn đến 4 chữ số ở phần thập phân).
Giải
Cách 1: Tính từ dưới lên.
Quy trình ấn phím là: 1 + 1 ab/c 292 = x-1 + 15 = x-1 + 7 = x-1 + 3 = 
Giá trị của M = 3,1416
Cách 2: Tính một lượt từ trên xuống.
Quy trình ấn phím là: 3 + 1 ab/c ( 7 + 1 ab/c ( 15 + 1 ab/c ( 1 + 1 ab/c 292 =
Giá trị của M = 3,1416
Dạng 2: Cho Viết lại 
Viết kết quả theo thứ tự.
Giải 
Ta có: . Tiếp tục làm như vậy, cuối cùng ta được: 
Bài tập tự luyện
1. Viết quy trình ấn phím tính: 
Giá trị tìm được của A là bao nhiêu?
2. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số.
; 	
3. Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng: 
4. Giải phương trình sau:
4. DÃY SỐ
Dạng 1: Cho dãy số: với n = 0, 1, 2, 3
a,Tính 10 số hạng đầu tiên của dãy số.
b, Lập công thức truy hồi tính giá trị Un+2 theo Un+1 và Un.
c, Viết một quy trình ấn phím liên tục tính giá trị Un+2 theo công thức truy hồi vừa tìm được ở câu trên.
Giải
a, Giá trị của 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
U0 = 0
U5 = 89 104
U1 = 1
U6 = 1 323 520
U2 = 22
U7 = 19 494 208
U3 = 376
U8 = 285 932 416
U4 = 5 896
U9 = 4 185 138 688
b, Để lập công thức truy hồi tính giá trị Un+2 theo Un+1 và Un. 
Ta đặt: Un+2 = aUn+1 + bUn
Khi n = 0 thì 22 = a.1 + b.0
 a = 22
Khi n = 1 thì 376 = 22a + b.1
 b = -108
Vậy công thức truy hồi là: Un+2 = 22Un+1 - 108Un
c,Quy trình ấn phím liên tục tính giá trị Un+2 theo công thức truy hồi vừa tìm được ở câu trên là: 
Cách 1: Sử dụng các biến nhớ. 
Gán giá trị U0 vào A: 0 shift STO A
Gán giá trị U1 vào B: 1 shift STO B
Lập lại quy trình ấn phím sau để tính các giá trị tiếp theo của dãy:
22 alpha B – 108 alpha A shift STO A
22 alpha A – 108 alpha B shift STO B
Nhược điểm: Ta khó biết giá trị tìm được là số hạng của dãy.
Cách 2: Sử dụng vòng lặp CALC (Sử dụng trên máy 570MS và 570ES)
Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha C alpha = 22 alpha B – 108 alpha A alpha : alpha A alpha = alpha B alpha : alpha B alpha = alpha C CALC
Máy hỏi M? 2 =
Máy hỏi B? 1 = 
Máy hỏi A? 0 =
Nhấn: = = = = = = 
M là biếm đếm cho ta biết giá trị C là giá trị thứ mấy của dãy.
Ưu điểm: Tiết kiệm được thời gian khi tính nhiều giá trị. Sử dụng biến đếm M để biết được đó là số hạng thứ mấy của dãy. 
Dạng 2: Cho dãy số: với n = 0, 1, 2, 3, 
a, Tìm 5 số hạng đầu tiên cũa dãy.
b, Chứng minh rằng: .
Giải
a, Giá trị của 5 số hạng đầu tiên cũa dãy:
n
0
1
2
3
4
Un
0
1
10
82
640
b, Chứng minh công thức:
Đặt: ; . Khi ấy a + b = 10; ab = 18.
Và 
Ta lại có:
Nên 
 Điều phải chứng minh.
Lưu ý: Chứng minh công thức khác với lập công thức truy hồi.
Dạng 3: Cho dãy số: ()
a, Cho x1 = 1,5. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị xn
b, Tính x100.
Bài này có thể sử dụng vòng lặp CALC. Ngoài ra ta có thể sử dụng phím Ans.
Giải
a, Quy trình ấn phím trên máy MS là: 
Gán giá trị x1 vào Ans ấn: 1,5 =
Tính giá trị tiếp theo ấn: ( 7 Ans x2 + 3 ) ( Ans x2 + 2 ) = = = =  =
Dấu “=” đầu tiên tương ứng với giá trị x2, các dấu “=” tiếp theo tương ứng với các giá trị kế tiếp.
b, Giá trị x100 = 6,770035041 (Chỉ cần ấn khoảng 10 lần dấu “=” vì tới lúc đó các giá trị sau không thay đổi).
Dạng 4: Cho cặp số (x0;y0) với là nghiệm của phương trình 2x2 – y2 = 1.
a, Chứng minh rằng:
Cặp số (xn;yn) với cũng là nghiệm của phương trình 2x2 – y2 = 1. 
b, Viết quy trình ấn phím liên tục tính giá trị cặp số (xn;yn).
c, Tính cặp số (xn;yn) với n = 1, 2, 3 13.
Giải
A, Chứng minh theo phương pháp quy nạp:
Giả sử n = 1 thì x1 = 3.1 + 2.1 = 5, y1 = 4.1 + 3.1 = 7 thoã là nghiệm của phương trình 2x2 – y2 = 1.
Giả sử n = 2 thì x2 = 3.5 + 2.7 = 29, y2 = 4.5 + 3.7 = 41 thoã là nghiệm của phương trình 2x2 – y2 = 1.
..
Giả sử cặp giá trị xn-1, yn-1 thoã là nghiệm của phương trình, tức là 
Xét cặp giá trị ta có:
Thoã mãn là nghiệm của phương trình.
 Điều phải chứng minh.
b, Quy trình ấn phím liên tục trên 570MS là: 
Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha X alpha = 3 alpha A + 2 alpha B alpha : alpha Y alpha = 4 alpha A + 3 alpha B alpha : alpha A alpha = alpha X alpha : alpha B apha = alpha Y CALC
Máy hỏi M? 0 = 
Máy hỏi A? 1 =
Máy hỏi B? 1 = 
= = = = =  =
Giải thích: M là biến đếm giá trị n.
c, Các cặp giá trị được tính là:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
xn
5
29
169
985
5741
33461
195025
1136689
yn
7
41
239
1393
8119
47321
275807
16007521
n
9
10
11
12
13
xn
6625109
38613965
225058681
1311738121
7645370045
yn
9369319
54613965
31281039
1855077841
1,0812186011010
Bài tập tự luyện
1. Cho dãy số: với n = 0, 1, 2, 
a, Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1.
b, Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 trên máy tính Casio.
2. Cho U0 = 2, U1 = 10, Un+1 = 10Un – Un-1; n = 1, 2,
a, Lập quy trình ấn phím để tính Un+1.
b, Tìm công thức tổng quát của Un.
3. Cho dãy số (Un) được xác định bởi: 
a, Chứng tỏ công thức: 
b, Tính các giá trị U9, U10.
4. Giả sử {an} là một dãy số được xác định như sau:
a0 = a1 = 5, (n = 1, 2, 3, )
a, Hãy lập một quy trình ấn phím liên tục vừa tính giá trị của an và An.
b, Tính an với n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 và với n = 1, 2, 3,  7.
5. Cho dãy số với n > 0 và a1 = 1.
a, Viết quy trình ấn phím trên máy tính tính an+1.
b, Tính a4; a5; a25; a2009; a2010
6. Cho dãy số: U1 = 144; U2 = 233;  Un+1 = Un + Un-1. Tính U12, U37; U38; U39.
Viết quy trình tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy số sao cho:
7. Với mỗi số nguyên dương c, dãy số uc được xác định như sau:
u1 = 1; u2 = c; , 
Tìm những giá trị của c để dãy số có tính chất: uj chia hết cho ui với mọi .
8. Giả sử là một hàm xác định trên tập các số tự nhiên và nhận các giá trị tự nhiên. Giả sử rằng và với mọi n nguyên dương. Hãy xác định 
5. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Giải phương trình nghiệm nguyên: Thực chất có rất nhiều phương pháp tìm nghiệm nguyên, dưới đây là 3 phương pháp cốt lõi, dễ ứng dụng nhất:
1, Phương pháp suy luận:
Ta biểu diễn một ẩn theo các giá trị khác, từ đó suy luận để phương trình có nghiệm nguyên.
2, Phương pháp đưa về phương trình tích: 
Đưa phương trình đã cho về dạng một vế là tích của các biểu thức chứa ẩn còn vế kia là một số nguyên.
3, Phương pháp vận dụng tính chất chia hết của số nguyên.
Dạng 1: (Phương trình phức tạp). 
 Tính giá trị của x từ phương trình sau:
Giải
Ta chia nhỏ ra từng cụm rồi giải tìm x:
Vế phải = shift STO A
Mẫu số = shift STO B
Lấy: shift STO C
Tính tiếp: 0,152 + 0,352 = alpha C = - 4,2 = 3 (Kết quả: )
Vậy giá trị x cần tìm là .
Dạng 2: Giải hệ của phương trình:
(x, y > 0)
Giải
Ta có: 
Do x, y > 0 nên y = 13,19887605 x = 8,988434587
Vậy nghiệm gần đúng (x;y) của hệ phương trình là (8,988434587;13,19887605)
Dạng 3: Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình: 
Giải
Đề tìm nghiệm gần đúng ta sử dụ