Khảo sát chất lượng lần thứ 3 môn: Toán 12­ khối A, A1 ­ B

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
Trường THPT Chuyờn Vĩnh Phỳc 
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ 3 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
(Đề cú 01 trang)  Mụn : Toỏn 12ư Khối A,A1ưB 
Thời gian: 180  phỳt (Khụng kể giao đề) 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 
Cõu 1 (2 điểm). Cho hàm số 
3 
2 
x 
y 
x 
+ 
= 
+ 
cú đồ thị là ( ) H 
a) Khảo sỏt và vẽ đồ thị ( ) H  của hàm số. 
b) Gọi  d là đương thẳng đi qua điểm ( ) 2;0 A -  và cú hệ số gúc  k . Tỡm  k  để  d  cắt ( ) H  tại hai điểm phõn 
biệt  , M N  thuộc hai nhỏnh khỏc nhau của ( ) H  sao cho  2 . AM AN = 
Cõu 2 (1 điểm). Giải phương trỡnh: ( ) ( ) 2 tan 1 sin cos 2 2 3 cos sin sin x x x x x x + + + = +  . 
Cõu 3 (1 điểm). Giải hệ  phương trỡnh: ( )( ) 
2 2 
2 2 
1 1 1 
3 2 4 2 5 
x x y y 
x x y y 
ỡ + + + + = ù 
ớ 
ù + - = - - + ợ 
. 
Cõu 4 (1 điểm). Tỡm tớch phõn : 
1 
0 
15 
25 3.15 2.9 
x 
x x x 
I dx = 
+ + ũ  . 
Cõu 5 (1 điểm). Cho hỡnh chúp  . S ABCD  cú ( ) SC ABCD ^  , đỏy  ABCD  là hỡnh thoi cú cạnh bằng  3 a 
và  ã  0 120 . ABC =  Biết rằng gúc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB  và ( ) ABCD  bằng  0 45  .Tớnh theo  a  thể tớch  khối 
chúp  . S ABCD và khoảng cỏc giữa hai đường thẳng  , . SA BD 
Cõu 6 (1 điểm). Cho cỏc số thực khụng õm  , , a b c thoả món  3 a b c + + =  .Chứng minh rằng 
3 3 3 
1 
16 16 16 6 
a b c 
b c a 
+ + ³ 
+ + + 
II. PHẦN RIấNG (3 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trỡnh Chuẩn 
Cõu 7a (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy  cho hai đường trũn ( ) ( ) ( ) 2 2 1  : 1 2 4 C x y - + - =  và 
( ) ( ) ( ) 2 2 2  : 2 3 2 C x y - + - =  cắt nhau tại điểm ( ) 1;4 A  . Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua  A  và cắt  lại 
( ) ( ) 1 2 , C C  lần lượt tại M và  N  sao cho  2 . AM AN = 
Cõu 8a  (1 điểm).  Trong khụng gian  với  hệ  trục  Oxyz  cho  hai  đường  thẳng  1 
4 5 7 
: 
1 1 1 
x y z 
d 
+ - + 
= = 
- 
và 
2 
2 1 
: 
1 1 2 
x y z 
d 
- + 
= = 
- - 
. Viết phương trỡnh đường thẳng D  đi qua ( ) 1;2;0 M -  ,  1 d ^  và tạo với  2 d  gúc  0 60  . 
Cõu 9a (1 điểm). Giải phương trỡnh:  4 2 4 log ( 3) log 1 2 3log 2 x x + - - = -  . 
B. Theo chương trỡnh Nõng cao 
Cõu 7b (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  cho elip ( ) E  cú hai tiờu  điểm ( ) ( ) 1 2 3;0 , 3;0 F F -  và đi 
qua điểm 
1 
3; 
2 
A ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
. Lập phương trỡnh chớnh tắc của ( ) E  và với mọi điểm ( ) M E ẻ  , hóy tớnh giỏ trị biểu 
thức .  2 2 2 1 2 1 2 3. . P F M F M OM F M F M = + - - 
Cõu 8b (1 điểm). Trong khụng gian với hệ truc toạ độ Oxyz, cho tam giỏc vuụng cõn  ABC  cú  BA BC =  . 
Biết ( ) 5;3; 1 A -  , ( ) 2;3; 4 C -  và điểm  B nằm trong mặt phẳng ( ) : 6 0 Q x y z + - - =  . Tỡm toạ độ điểm  B 
Cõu 9b (1 điểm). Giải  bất phương trỡnh:  1 1 15.2 1 2 1 2 x x x + + + ³ - +  . 
www.VNMATH.com
ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM  KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2013ư2014 
Mụn: TOÁN; Khối A, A 1 ,B (gồm 6 trang) 
Cõu  í  NỘI DUNG  ĐIỂ 
M 
1  2,0 điểm 
TXĐ: { } \ 2 D = - Ă 
Giới hạn: 
3 
lim 1 
2 x 
x 
x đ±Ơ 
+ 
= 
+ 
, 
2 
3 
lim 
2 x 
x 
x + đ- 
+ 
= +Ơ 
+ 
, 
2 
3 
lim 
2 x 
x 
x - đ- 
+ 
= -Ơ 
+ 
0,25 
Chiều biến thiờn: Ta cú 
( ) 2 
1 
' 0 
2 
y 
x 
- 
= < 
+ 
x D " ẻ 
BBT : 
x -Ơ  ư  ư2  ư +Ơ 
y 
1 
-Ơ 
+Ơ 
1 
0,25 
Hàm số luụn nghịch biến trờn { } \ 2 D = - Ă 
Đồ thị hàm số cú TCN là  1 y = 
Đồ thị hàm số cú TCĐ là  2 x = - 
0,25 
a 
Đồ thị: 
Đồ thị hàm số cắt Ox  tại điểm  ( 3;0) A - 
Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm 
3 
0; 
2 
B ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
Nhận xột đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm ( ) 2;1 I -  làm tõm đối xứng 
10  5  5  10 
6 
4 
2 
2 
4 
6 
8 
10 
O 
0,25 
b 
Gọi ( ) 1 2 1 2 
1 2 
1 1 
;1 , ;1 ; 2 
2 2 
M x N x H x x 
x x 
ổ ử ổ ử 
+ + ẻ ạ ạ - ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ ố ứ  0,25
www.VNMATH.com
1 2 
1 2 
1 1 
2;1 ; 2;1 
2 2 
AM x AN x 
x x 
ổ ử ổ ử 
= + + = + + ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ ố ứ 
uuuur uuur 
d  cắt ( ) H  tại  hai  điểm  phõn  biệt  , M N  thuộc  hai  nhỏnh  khỏc  nhau  của ( ) H  sao  cho 
2 . AM AN =  2 AM AN Û = - 
uuuur uuur 
(do  A  nằm giữa hai nhỏnh của ( ) H  vỡ A thuộc TCĐ ) 
0,25 
ta cú hệ phương trỡnh 
( ) ( )
( ) 
1 2 
1 2 
2 2 2 1 
1 1 
1 2 1 2 
2 2 
x x 
x x 
ỡ + = - + 
ù 
ổ ử ớ 
+ = - + ỗ ữ ù + + ố ứ ợ 
thế ( ) 1  vào ( ) 2  ta được 
( )  2 2 1 2 2 
1 1 1 5 
1 2 1 2 1 
2 2 2 2 2 
x x x 
x x 
ổ ử 
- = - + Û + = - Û = - ị = - ỗ ữ + + ố ứ 
0,25 
Vậy ( )  5 1;2 ; ; 1 
2 
M N ổ ử - - - ỗ ữ 
ố ứ 
( ) : 2 4 2 d AM y x k ị º = + ị = 
( nếu dựng phương trỡnh hoành độ ,và định lý vi ột cho ta kết qủ tương tự trờn, hơi dài) 
0,25 
2  1,0 điểm 
Đ/K ( ) cos 0 
2 
x x h h p p ạ Û ạ + ẻ 
Khi đú phương trỡnh đó cho tương đương với 
( ) ( ) 2 2 tan 1 sin 1 2sin 2 3 cos sin sin x x x x x x + + - + = + 
0,25 
( ) ( ) 2 2 tan 1 sin 3 3 cos sin sin 6sin x x x x x x Û - + = - + 
( ) ( ) 2 tan 1 sin 3cos 2 3 cos sin sin 0 x x x x x x Û - + - - = 
( ) ( ) 2 tan 1 sin 3 cos sin cos 0 x x x x x Û - + - = 
0,25 
( )( ) 2 2 sin cos sin 3cos 0 x x x - - = ( )( ) sin cos 2cos 2 1 0 x x x Û - + = 
( ) 
sin cos 0 
4 
1 
cos2 
2 
3 
x x  x k 
k 
x 
x k 
p p 
p p 
ộ - = = + ộ ờ ờ Û Û ẻ ờ ờ = - ờ = ± + ở ờ ở 
 
0,25 
Đối chiếu với điều kiện ta cú nghiệm ( ) , 
4 3 
x k x k k p p p p = + = ± + ẻ  0,25 
3 
Giải hệ  phương trỡnh: 
( )( ) ( )
( ) 
2 2 
2 2 
1 1 1 1 
3 2 4 2 5 2 
x x y y 
x x y y 
ỡ + + + + = ù 
ớ 
ù + - = - - + ợ 
.  1,0 
đ 
ĐK:  3 , 2 x y Ê Ê 
Ta thấy  2 2 2 1 1 0 y y y y y y y + > = ³ ị + - > " ẻĂ . 
Từ ( ) 1  ta cú: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 (3) x x y y x x y y + + = + - Û + + = - + - + 
hàm số ( )  2  1 f t t t = + +  đồng biến trờn ( ) 
2 
( 1 0 
1 
t 
do f t t 
t 
 = + > " ẻ 
+ 
Ă Ă 
phương trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 f x f y x y Û = - Û = - 
0,25 
Thế ( ) 4  vào ( ) 2  ta được phương trỡnh ( ) 2  5 4 2 3 0 5 y y y + - - - + =  Đ/K.  3 2 y - Ê Ê 
ptrỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 1 4 1 2 2 3 0 y y y Û - + - - + - + =  0,25
www.VNMATH.com
( )  4 1 1 1 0 
1 2 2 3 
y y 
y y 
ộ ự 
Û - + + - = ờ ỳ 
+ - + + ờ ỳ ở ỷ 
Û 
1 
4 1 
1 0 (6) 
1 2 2 3 
y 
y 
y y 
= ộ 
ờ 
ờ + + - = 
ờ + - + + ở 
Xột phương trỡnh ( ) 6  . 
hàm số ( )  4 1 1 
1 2 2 3 
g y y 
y y 
= + + - 
+ - + + 
xỏc định và đồng biến trờn đoạn [ ] 3;2 - 
( ) 
( ) ( ) 
( ) 2 2 
2 1 
1 0 3;2 
2 1 2 2 3 2 3 
do g y y 
y y y y 
 = + + > " ẻ - 
- + - + + + 
0,25 
Mặt khỏc [ ] 2 3;2 - ẻ -  và ( ) 2 0 g - =  , pt ( ) ( ) ( ) 6 2 2 g y g y Û = - Û = - 
ã ( ) ( ) 1 1 , 1,1 y x x y = ị = - ị = -  thoả món đ/k 
ã ( ) ( ) 2 2 , 2, 2 y x x y = - ị = ị = -  thoả món đ/k 
Vậy hệ phương trỡnh cú hai nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,1 , , 2, 2 x y x y = - = - 
0,25 
4  1,0 điểm 
1 1 
0 0 
5 
15  3 
25 3.15 2.9  25 5 
3. 2 
9 3 
x 
x 
x x x x x I dx dx 
ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ = = 
+ + ổ ử ổ ử + + ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
ũ ũ  0,25 
Đặt 
5 5 5 
ln 
3 3 3 
x x 
t dt ổ ử ổ ử = ị = ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
. Đổi cận 
0 1 
5 
1 
3 
x t 
x t 
= ị = ỡ 
ù 
ớ 
= ị = ù ợ 
0,25 
5 5 
3 3 
2 
1 1 
1 1 1 1 
ln 5 ln3 3 2 ln5 ln3 1 2 
dt 
I dt 
t t t t 
ổ ử = = - ỗ ữ - + + - + + ố ứ ũ ũ 
0,25 
5 
3 
1 
1 1 ln12 ln11 2ln 2 ln3 ln11 
ln 
ln 5 ln 3 2 ln5 ln3 ln5 ln3 
t 
I 
t 
+ - + - 
= = = 
- + - - 
0,25 
5  1,0 điểm 
Kẻ  SK AB ^ ị hỡnh chiếu ( ) ( ) ( ) ( ) ã  0 , , 45 CK AB SAB ABCD SK CK SKC ^ ị = = = 
ã ã 0 0 0  3 120 60 .sin 60 
2 
a 
ABC CBK CK CB = ị = ị = = 
0,25 
0  3 tan 45 (1) 
2 
a 
SC CK ị = =  , 
2 
0  3 3 . .sin120 (2) 
2 ABCD 
a 
S AB BC = = Y 
Từ ( ) 1  và ( ) 
3 
. 
1 3 3 
2 . 
3 4 S ABCD ABCD 
a 
V SC S ị = = Y 
0,25 
Gọi  . O AC BD = ầ  Vỡ ( ) , AC BD BD SC BD SAC ^ ^ ị ^  tại  O .  Kẻ  OI SA OI ^ ị  là 
đoạn vuụng gúc chung giữa  BD  và  SA 
0,25
www.VNMATH.com
( ) 
2 
2 
3 3 
3 3 5 2 2 ( ) 
10 2 5 3 
3 
2 
a a 
OI AO AO SC a a 
AOI ASC g g OI 
SC AS SA  a 
a 
ì ì 
D D - ị = ị = = = = 
ổ ử + ỗ ữ 
ố ứ 
: 
Vậy khoảng cỏch ( )  3 5 , 
10 
a 
d BD SA = 
0,25 
6  1,0 điểm 
Sử dụng kỹ thuật AMưGM ngược dấu ta cú 
3 3 3 2 
3 3 3 3 3 
1 1 1 1 
16 16 16 16 2 2 16 12 16 12 
a ab ab ab ab 
a a a a 
b b b b 
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử 
= - = - ³ - = - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ + + + + ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ 
. 
Tương tự ta cú 
2 2 
3 3 
1 1 
, 
12 16 12 12 16 12 
b bc c ca 
b c 
c a 
ổ ử ổ ử 
³ - ³ - ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ ố ứ 
0,25 
Do đú bài toỏn quy về chứng minh 
2 2 2 
3 3 3 
1 1 
3 
16 16 16 16 12 6 
a b c ab bc ca 
b c a 
ổ ử + + 
+ + ³ - ³ ỗ ữ + + + ố ứ 
2 2 2  4 ab bc ca Û + + Ê  .(*) 
0,25 
Khụng mất tớnh tổng quỏt , giả sử  b nằm giữa  a  và c . 
Hiển nhiờn ta cú ( )( )  2 2 2 2 2 0 a b c b a ab bc ca a b bc abc - - Ê Û + + Ê + + 
( ) ( ) ( ) ( ) 
3 
2 2 2  1 1 2 2 4 
2 2 3 
b a c a c 
b a c ac b a c b a c a c 
+ + + + ổ ử = + + Ê + = + + Ê = ỗ ữ 
ố ứ 
(*) đựoc cm 
0,25 
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 
( )( ) 
( ) 2 2 2 
0 
0 
1 
2  2 
3 
a b c b a 
a 
a ac c a c  b 
b a c  c 
a b c 
ỡ - - = 
ù = ỡ 
ù ù + + = + Û = ớ ớ 
= + ù ù = ợ ù + + = ợ 
hoặc cỏc hoỏn vị tương ứng  0,25 
7.a  1,0 điểm 
( ) ( ) ( ) 2 2 1  : 1 2 4 C x y - + - = ( ) 1 C ị  cú tõm ( ) 1  1;2 O  và bỏn kớnh  1  2 R = 
( ) ( ) ( ) 2 2 2  : 2 3 2 C x y - + - = ( ) 2 C ị  cú tõm ( ) 2  2;3 O  và bỏn kớnh  2  2 R =  , ( ) 1;4 A  . 
Giả sử ( ) ( ) ( )  2 2 : 1 4 0 ; 0 MN a x b y a b - + - = + >  (do  MN  đi qua  A ).Gọi  1 2 , H H  lần lượt 
là trung điểm của ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , 2 4 AM AN AH AH R O H R O H ị = Û - = - Û 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2  2 2 2 2 
2 4 2 3 4 
, 4 , 4 4 2 
a b a b a b a b 
R d O d R d O d 
a b a b 
ỡ ỹ ộ ự ộ ự + - - + - - ù ù - = - đ - = - ớ ý ờ ỳ ờ ỳ 
+ + ù ù ở ỷ ở ỷ ợ ỵ 
0,25 
( ) 2  2  2 
2 2 2 2 2 2 
4 4 2 
4 8 1 2 0 
a b  a ab 
b ab 
a b a b a b 
- - 
Û - = - Û = Û + = 
+ + + 
0,25 
ã ( ) 1 , 0 : 1 0 b a d x = ạ ị - =  0,25 
ã  2 0 a b + =  chọn ( ) 1, 2 : 2 7 0 a b d x y = = - ị - + = 
Vậy cú hai đường thẳng thoả món là ( ) : 1 0 d x - =  và ( ) : 2 7 0 d x y - + = 
0,25
www.VNMATH.com
8.a  1,0 điểm 
Giả sử D  cú vtcp ( )  2 2 2 ; ; , 0 u a b c a b c D = + + > 
r 
( ) 1 1 . 0 0 1 d u u a b c D D ^ Û = Û - + = 
r r  0,25 
( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 2 2 2  2 2 2 
2 
, 60 cos60 2 2 3 
1 1 4 
a b c 
d a b c a b c 
a b c 
- - 
D = Û = Û - - = + + 
+ + + + 
( ) 2 
Từ (1)  b a c ị = +  thay vào (2) ta được ( ) 2 2 2 2 2 2 18 3 2 0 c a a c c a ac c ộ ự = + + + Û + - = ở ỷ 
( )( ) 2 0 a c a c Û - + =  2 a c a c ị = Ú = - 
0,25 
ã  2 a c b c = ị =  chọn ( ) 1 1; 2;1 c u D = ị = 
r 
ta cú 
1 2 
: 
1 2 1 
x y z + - 
D = =  0,25 
ã  2 a c b c = - ị = -  chọn ( ) 1 2;1; 1 c u D = - ị = - 
r 
ta cú 
1 2 
: 
2 1 1 
x y z + - 
D = = 
- 
0,25 
9.a  1,0 điểm 
Đkxđ:  1 x > 
Phương trỡnh  2 2 2 
1 1 1 
log ( 3) log ( 1) 2 log 8 
2 2 2 
x x Û + - - = -  0,25 
2 2 2 2 2 
3 
log ( 3) log ( 1) 4 log 8 log log 2 
1 
x 
x x 
x 
+ 
Û + - - = - Û = 
- 
0,25 
3 
2 
1 
x 
x 
+ 
Û = 
- 
3 2 2 5 x x x Û + = - Û =  (thỏa món)  0,25 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm là  5 x =  .  0,25 
7.b  1,0 điểm 
( ) 
2 2 
2 2 
: 1 , 0 
x y 
E a b 
a b 
+ = > >  0,25 
do ( ) E  cú hai tiờu  điểm ( ) ( ) 1 2 3;0 , 3;0 F F -  2 2 2 2 2 3, 3 c c a b a b ị = = - ị = +  (1) 
1 
3; 
2 
A ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
( )  2 2 
3 1 
1 (2) 
4 
E 
a b 
ẻ ị + = 
0,25 
Thế (1) vào (2)  ta giải phương trỡnh ẩn  2 b  được ( ) 
2 2 
2 2 1 4 : 1 
4 1 
x y 
b a E = ị = ị + =  0,25 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2  2 2 2 2 2 3 1 M M M M M P e ax e ax x y a e x = + + - - + - - =  0,25 
8.b 
Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; 6 5; 3; 5 , 2; 3; 2 B a b a b P AB a b a b CB a b a b + - ẻ ị = - - + - = - - + - 
uuur uuur 
,gtị  0,25 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 
5 2 3 3 5 2 0 (1) . 0 
5 3 5 2 3 2 (2) 
a a b b a b a b ABCB 
AB CB  a b a b a b a b 
ỡ ỡ - - + - - + + - + - = = ù ù Û ớ ớ 
= - + - + + - = - + - + + - ù ù ợ ợ 
uuur uuur 
uuur uuur  0,25 
( ) 2 6 5 6 0  2 3 2 3 
7 2 3 1 7 2 
a a  a a a a 
b a b b b a 
ỡ - + = = Ú = = = ỡ ỡ ỡ ù Û Û Û Ú ớ ớ ớ ớ = - = = = - ợ ợ ợ ù ợ 
0,25 
Từ đú ( ) 2;3; 1 B -  hoặc ( ) 3;1; 2 B -  0,25 
9.b
www.VNMATH.com
Đặt ( ) 2 1 , 1 x  t t - = > -  . Khi đú bpt ( ) ( ) 30 1 1 2 1 t t t Û + + ³ + +  (*)  0,25 
TH1  0, t ³  thỡ (*) trỏ thành  30 31 3 2 t t Û + ³ +  2 30 31 9 12 4 t t t Û + ³ + + 
2  2 3 0 1 3 t t t Û - - Ê Û - Ê Ê  kết hợp  0, t ³  nghiệm bpt TH1 là  0 3 t Ê Ê 
0,25 
TH2  1 0 t - < <  thỡ (*) trỏ thành  30 31 2 t t Û + ³ +  2 30 31 4 4 t t t Û + ³ + +  (hai vế dương) 
2  26 27 0 1 27 t t t Û - - Ê Û - Ê Ê  kết hợp  1 0 t - < <  nghiệm bpt TH2 là  1 0 t - < < 
0,25 
kết hợp hai TH  1 3 1 2 1 3 0 2 4 2 x x t x ị - < Ê Û - < - Ê Û < Ê Û Ê  . Nghiệm bpt  2 x Ê  0,25 
LƯU í CHUNG: 
ư Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo 
cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. 
ư Với Cõu 5 nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh phần nào thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú. 
ư Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. 
ưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưư 
www.VNMATH.com