Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 trung học cơ sở năm học 2008 - 2009 môn toán

sở giáo dục và đào tạo tuyên quang
Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs Năm học 2008 - 2009
 Đề chớnh thức
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang
Câu 1 (3 điểm). Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn: và . 
Chứng minh rằng: .
Câu 2 (3 điểm). Cho 3 số x, y, z thoả mãn: 
.
 Tính giá trị biểu thức P = x2008 + y2009 + z2010.
Câu 3 (3 điểm). Cho biểu thức .
	a) Phân tích biểu thức P ra thừa số.
b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n.
Câu 4 (3 điểm). Tìm tất cả cỏc nghiệm nguyên của phương trình (x, y là cỏc ẩn số) 
Câu 5 (6 điểm). Cho tam giỏc ABC vuông tại C, đường cao CH. O là trung điểm AB, đường thẳng d đi qua C và vuông góc với OC. Gọi D, E lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B tới đường thẳng d. 
a) Chứng minh rằng: AH = AD; BH = BE .
b) Chứng minh rằng: AD.BE = CH2 .
c) Chứng minh rằng: DH // BC.
d) Cho góc và BC = a. Tính diện tích hình thang vuông ABED theo a.
Câu 6 (2 điểm). Cho hai số a, b thỏa món a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng:
0 < a + b ≤ 2.
…………….HẾT……………..
sở giáo dục và đào tạo tuyên quang
đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs cấp tỉnh 
Năm học 2008 - 2009
Môn thi: Toán
Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
1(3đ)
Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn: (1) và a+b+c=abc (2). 
Chứng minh rằng: .
Từ giả thiết (1), bình phương 2 vế ta được:
 ị (*)
Từ giả thiết (2), do abc≠0, nên chia 2 vế cho abc ta được:
. Thay vào (*) ta được: .
1,5
1,5
2(3đ)
Cho 3 số x, y, z thoả mãn: . Tính giá trị biểu thức P=x2008+y2009+z2010.
Vì x2, y2, z2 > 0, nên từ (2) ị x2, y2, z2 < 1 ị -1 < x, y, z < 1 ị 
ị x3+y3+z3 < x2+y2+z2 = 1. Nhưng do (3) ị ị x, y, z chỉ có thể là 0 hoặc 1
 ị x2008=x, y2009=y, z2010=z ị P=x2008+y2009+z2010=x+y+z=1 (theo (1))
1
1
1
3(3đ)
Cho biểu thức .
	a) Phân tích biểu thức P ra thừa số.
b) Chứng minh rằng P chia hết cho 120 với mọi số nguyên n.
a) Ta có: 
b) Ta có 120 = 3.5.8
- Vì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên P chia hết cho 3 và 5.
- Nếu n chẵn thì n - 2 và n + 2 cũng chẵn nên P chia hết cho 8.
- Nếu n lẻ: n = 2p + 1 thì (n - 1)(n +1) = 4p(p + 1) chia hết cho 8
Vậy P chia hết cho 120 (do 3, 5 và 8 đụi một nguyờn tố cựng nhau)
1,5
0,5
0,5
0,5
4(3đ)
Tìm tất cả cỏc nghiệm nguyên của phương trình (x, y là cỏc ẩn số) 
Ta có : 
1đ
2đ
5(6đ)
1đ
a) Xét 2 tam giác vuông : DAHC và DADC có : AC chung
 (D OAC cân đỉnh O)
 (so le trong, do OC // AD ) 
Suy ra DAHC = DADC ị AH = AD.
CM tương tự DBHC = DBEC ị BH = BE
1đ
b) Trong tam giác vuông ABC ta có : CH2 = HA.HB = AD.BE 
1đ
c) Vì AC là phân giác trong của góc của tam giác cân AHD nên 
 AC ^ DH, mặt khác AC ^ BC suy ra DH // BC.
1đ
d) Ta có : 
DOBC có OB = OC và nên DOBCđều ị OC = BC = a.
Tam giác vuông BCE có BC = a và nên 
Do đó 
2đ
6(2đ)
Cho hai số a, b thỏa món a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng:
0 < a + b ≤ 2.
Ta cú: 	
a3 + b3 > 0 ị a3 > –b3 ị a > – b ị a + b > 0	 (1)
(a – b)2(a + b) ≥ 0 ị (a2 – b2)(a – b) ≥ 0 ị a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0
ị 	a3 + b3 ≥ ab(a + b) ị 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) 
ị 	4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 ị 8 ≥ (a + b)3 ị a + b ≤ 2 (2)
Từ (1) và (2) ị 0 < a + b ≤ 2.
2đ
Ghi chỳ‎: học sinh làm bài theo cỏch khỏc với đỏp ỏn (nếu đỳng) vẫn cho điểm tối đa.
………………..HẾT……………..