Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2013-2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC
 Số báo danh
.............................

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2013-2014
Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
 Ngày thi 20/03/2014.
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.

Câu I (4,0 điểm): Cho hàm số (1) với đồ thị (Cm) .
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với .
 2. Tìm để đường thẳng (d): cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho điểm C(0;1) nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng . 
Câu II (4,0 điểm.
 1. Giải phương trình 
 2. Giải hệ phương trình 
Câu III (4,0 điểm).
 1. Cho là các số thực dương .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 .
 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình 
có nghiệm thực duy nhất. 
Câu IV (4,0 điểm). 
1. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết và điểm D nằm trên đường thẳng.
Câu V (4,0 điểm).
1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có , SA vuông góc với đáy và . Gọi M là điểm nằm trên cạnh SA sao cho . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MBC). Tìm theo để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
 2.Trong không gian với hệ toạ độcho mặt phẳng và hai điểm Tìm điểm M trên (P) sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất, biết điểm M có hoành độ lớn hơn 2.
.............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

Đề chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN 
LỚP 12 THPT
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 8 trang )
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I.
(4.0)
1.

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ... 
2,00


Với m=1 ta có 
TXĐ: D=R
Sự biến thiên:
- Giới hạn: 
0,50


- Ta có: 
-BBT: 
x
 0 1 
y’
 + 0 - 0 +
y
 1 

 0

0,50



Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;0) và (1; )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yCĐ=1
 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và yCT=0




0,50



Đồ thị:
Ta có là điểm uốn của đồ thị.
Đồ thị (C) cắt trục Oy tại Đồ thi cắt trục Ox tại 



0,50







2.

Tìm để đường thẳng (d): cắt đồ thị (Cm) hàm số (1) tại ba điểm A;B;C phân biệt sao cho điểm C(0;1) nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng .
2,00


Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (Cm) của hàm số: là nghiệm phương trình: 
0,50



Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm C, A, B phân biệt và C nằm giữa A và B khi và chỉ khi PT (*) có 2 nghiệm trái dấu .
0,50


Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn và (Trong đó xA ; xB là 2 nghiệm của phương trình (*))
AB =
0,50



. Vậy là giá trị cần tìm.

0,50
II.
(4.0)
1.

Giải phương trình: (1)
2,00


*ĐK: 
* Ta có: 
0,50


* Khi đó: 
 
	 
0,50


 
 
 
0,50


 
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: 

0,50

2.

 Giải hệ phương trình 
2,00


Đặt phương trình (1) có dạng 
 , Xét hàm số là HSNB trên R
 Phương trình (*) có dạng 
0,50


Khi đó phương trình (2) có dạng 

0,50


Xét hàm số , f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng 
Phương trình trên có dạng và x =3
0,50


Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (x;y) là: .
0,50
III.
(4.0)

1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
	Với là các số thực dương.
2,00


Ta có: 
0, 50


Đặt ta có Xét hàm số với 
Ta có ; 


0, 50


Bảng biến thiên 

Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN của P bằng khi 


0.50


0,50

2.

Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm thực duy nhất. 
2,00


Hệ phương trình tương đương với:


0,50










 Tập nghiệm của (I) là phần nằm giữa hai đường thẳng và trên 


Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm.
 Nếu thì tập nghiệm của (II) là hình tròn (kể cả biên) 
 có tâm bán kính .

0,25




0,50


Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi là tiếp tuyến của đường tròn .
0,25


 Nghĩa là : 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi 

0,50
IV.
(4.0)
1.

Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
2,00


Xét phép thử : T = ‘Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0". Ta có: 
Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có: 
Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là . Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:



0,50


TH1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả thảy số tự nhiên.


0,50


TH2. 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy số tự nhiên.


0,50


Vậy: .
Kết luận: 


0,50

2.

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần lượt là trung điểm đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết: và D nằm trên đường thẳng.
2,00


A
M
D
C
B
N
H
Trong tam vuông BCH ta có : HN=NC (1)
H
 Mặt khác: BH và DN song song với
(Vì cùng vuông góc với MC)
Từ đó: H và C đối xứng qua DN
 DH vuông góc với HN





0.50


Gọi D(m ; m-4) Sử dụng điều kiện 
0,50


 Nhận xét H và C đối xứng qua DN tìm được 
0,50


Từ đó tìm được : .
0.50
V
(4.0)
1

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có . Cạnh SA vuông góc với đáy và . Gọi M là điểm nằm trên cạnh SA sao cho . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MBC). Tìm x theo a để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
2.00



 
Thiết diện là hình thang vuông MNCB, vuông tại B và M.


0,50


 Tính diện tích thiết diện:
 ; 
 đồng dạng 
Vậy .




0,50


 Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABCD
 Gọi là thể tích của khối SMNCB: 
 Ta có 
 .





0,50


Ta có 
 
 Yêu cầu bài toán 
 
Vậy với thì mp(MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.








0,50

2

Trong không gian với hệ toạ độcho mặt phẳng và hai điểm Tìm điểm M trên (P) sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất, biết điểm M có hoành độ lớn hơn 2.
2,00


Nhận thấy đường thẳng AB song song với (P). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB, I là trung điểm của AB, suy ra Phương trình (S): 
0,50


Vì AB có độ dài không đổi và song song với (P) nên điểm M cần tìm nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua AB và vuông góc với (P).
0,50


Ta có , suy ra VTPT của (Q) là . Phương trình (Q): 
0,50


Điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là điểm đồng thời thuộc (P), (Q) và (S). Do đó tọa độ điểm M là nghiệm hệ phương trình suy ra . Vậy 


0,50
 ...........................Hết..............................
Chú ý: 
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.