Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 8 cấp trường năm học 2009-2010 Môn : Toán Trường THCS Cẩm Duệ

 TRƯỜNG THCS CẨM DUỆ
TỔ: TOÁN LÝ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TRƯỜNG
 NĂM HỌC 2009-2010
Môn : Toán
Thời gian : 150 phút( Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: Chứng minh rằng: 1110 - 1 chia hết cho 100.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: P = x2( y - z ) + y2( z - x ) + z2( x - y )
Bài 3: Cho biểu thức: Q = 1 + 
a- Rút gọn Q.
b- Tính giá trị của Q biết: 
c-Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Bài 4: Tìm giá trị của m để cho phương trình: 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 
Bài 5: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y) thoả mãn phương trình: x2 -25 = y( y+6)
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN.Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, cắt DC ở F.
a- Chứng minh rằng: BM = ND.
b-Chứng minh rằng: N; D; C thẳng hàng.
c-EMFN là hình gì?
d-Chứng minh: DF + BM = FM và chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi vị trí trên BC. 

...................................Hết ...........................................

(Đề thi gồm 01 trang)


*Yêu cầu: Học sinh không giải toán bằng máy tính

















HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN 8
(Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang)

Câu
Nội dung
Biểu điểm
Bài 1
1110 - 1 = ( 11 -1 )()
 = 10()
Vì 10 10
và () có chữ số tận cùng ( hàng đơn vị) bằng 0
Nên: () chia hết cho 10
Vậy: 1110 - 1 chia hết cho 10.
0.5
0.5

0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 2:
x2( y - z ) + y2( z - x ) + z2( x - y )
= x=
 


0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
b)
Bài 3
a) Q = 1 + 
=
 (Điều kiện: x0;-1; 2)


 ( Loại)
V ới x =
c) Q với 




1.0


1.0


1.0


0.25


0.25





0.25

0.25

0.25

0.75

Bài 4
( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 ( 1)

Để phương trình 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm gấp ba lần nghiệm của phương trình ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 hay x =-6 
Ta có: 6(-6) - 5m = 3 +3m(-6)
 
Vậy: Với m = 3 thì phương trình 6x - 5m = 3 + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số của phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 


Bài 5
 x2 -25 = y( y+6) 
 
 
Suy ra: x-y 7 -1 5 1 11 -5 4 2 19 -13
 
 x+y 1 -7 5 -11 -1 -5 13 -19 -2 -4
Vậy: các cặp số nguyên phải tìm là: 
 
 
 
 
Bài 6
a) ABCD là hình vuông ( gt)
A1 + MAD = 900 ( gt) (1) 
Vì AMHN là hình vuông ( gt)
 A2 + MAD = 900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A1 = A2 
Ta có: ( c.g.c)
 B = D1 = 900 và BM= ND
b) ABCD là hình vuông =>D2 = 900
 D1 + D2 = NDC
 900 + 900 = NDC
 NDC = 1800
 N; D; C thẳng hàng
c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và MN của hình vuông AMHN
 O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN
 AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E;F AH
 EN = EM và FM = FN (3)
Tam giác vuông EOM = tam giác vuông FON ( OM= ON; N1=M3)
 O1 = O 2
EM = NF (4)
Từ (3) và (4) EM=NE=NF=FM
MENF là hinh thoi (5)
d) Từ (5) suy ra: FM = FN = FD +DN
Mà DN = MB ( cmt)
 MF=DF+BM
Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông ABCD là a
P = MC + CF + MF = MC +CF +BM + DF (Vì MF = DF+MB)
= (MC + MB) + ( CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a
Hình vuông ABCD cho trước a không đổi p không đổi
N
D
F
C
M
A
d
H
O
E
B
1
3
2
2
1
2
1