Kiểm tra học kì 2 môn: Toán – lớp 11

TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI
KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2012-2013
TỔ TOÁN
Môn: TOÁN – Lớp 11
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm)
(3,0 điểm) Cho hàm số .
Tính.
Giải bất phương trình .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng .
(3,0 điểm)
Cho hàm số . Tính và .
Cho hàm số . Tính .
Tính đạo hàm của hàm số .
 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Tính .
II. PHẦN TỰCHỌN (3,0 điểm)
Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu IVa. (2,0 điểm) 
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . 
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
Câu Va. (1,0 điểm)
 Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu IVb. (2,0 điểm)
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh ; là giao điểm và . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . 
Chứng minh hai đường thẳng và vuông góc với nhau.
Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Câu Vb. (1,0 điểm) Chứng minh phương trình có nghiệm.
------------------------HẾT------------------------
Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 
 Họ và tên học sinh:	 Lớp:	
 Chữ kí của giám thị 1:	Chữ kí của giám thị 2:	
TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI
KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2012-2013
TỔ TOÁN
Môn: TOÁN – Lớp 11
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu 
Ý
Nội dung
Điểm
Câu I. (3 điểm) 
1) (1 điểm) 
Với mọi , ta có: .
0.25
Vì 
0.25
và 
0.25
nên theo Quy tắc tính giới hạn vô cực ta có .
0.25
2) (1 điểm) Giải bất phương trình .
Ta có: 
0.25
0.25*
Bảng xét dấu 
 0 
 0 
0.25*
.
0.25
2) (1 điểm) Viết pttt của đồ thị hàm số đã cho, biết tt có hệ số góc bằng .
Tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình là : .
0.25
 Ta có: Hệ số góc của d bằng 
;
0.25
Khi đó .
0.25
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: .
0.25
Câu II. (3 điểm)
1) (1 điểm) Cho hàm số . Tính và .
0.25
 .
0.25
Vì , và 
0.25
nên .
0.25
2) (1 điểm) Cho hàm số . Tính .
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm, ta có: . 
0.25
Ta có: 
0.25*
0.25
. Suy ra .
0.25
3) Tính đạo hàm của hàm số .
Ta có: ;
0.25*
 ; 
0.25
 .
0.25
Suy ra 
0.25
Câu III.( (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Tính .
Vì nên là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và .
0.25
Ta tính được .
0.25
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ta có: .
0.25
Suy ra .
0.25
Câu IVa. (2,0 điểm) 
1) (1 điểm)
+) Ta có: 
0.25
0.25
+) . Ta lại có: . Suy ra .
0.25
+) Từ và suy ra .
0.25
2) (1 điểm)
+) Vì nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là . 
Vì tam giác vuông tại N nên .
0.25
+) Vì đường thẳng cắt mặt phẳng tại và nên .
Gọi . Kẻ vuông góc với tại . Vì nên . Suy ra . Do đó .
0.25
Vì tam giác vuông tại và có là đường cao nên 
.
0.25
Vì tam giác vuông tại và có là đường cao nên 
.Suy ra .
0.25
Câu Va. (1,0 điểm)
Ta có: 
0.25
và .
0.5
Vì nên hàm số đã cho gián đoạn tại điểm .
0.25
Câu IVb. (2,0 điểm) 
1) (1 điểm) 
B
+) Ta có: 
0.25
+) . Ta lại có: . Suy ra .
0.25
Trong mặt phẳng , có ; hơn nữa là hình chiếu vuông góc của trên . Theo Định lí ba đường vuông góc, ta suy ra .
0.5
2) (1 điểm)
+) Vì nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , ta tính được . Trong tam giác vuông , ta có .
0.25
Kẻ vuông góc với tại , kẻ vuông góc với tại . Suy ra . Do đó .
0.25
Ta tính được .
0.25
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , ta có: . Suy ra 
0.25
Câu Vb. (1,0 điểm) Chứng minh phương trình có nghiệm.
Xét hàm số .
Ta có: .
0.5
Vì là hàm đa thức nên nó liên tục trên . Do đó liên tục trên đoạn .
0.25
Suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
0.25
--------------------------Hết--------------------------