Kiểm tra học kì II môn: Toán – lớp 12

kiểm tra học kì II, năm học 2007-2008 
	Môn: Toán – lớp 12. 
	 Thời gian: 150 phút. (không kể thời gian phát đề). 
----------------------------------------------------------------------------
Đề bài
Bài 1. (3,5 điểm). Cho hàm số y = x3 -3x2 + mx
Định m để hàm số đạt cực trị tại x = 2.
Khảo sát hàm số khi m = 0. Gọi (C) là đồ thị hàm số.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 -3x2 -k = 0.
Bài 2. (1,5 điểm)
	a) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx; y = 0; x = 0; x = . 
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành.
	b) Tính I = .
Bài 3. (1,0 điểm)
	Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x + y)15.
Bài 4. (1,5 điểm)
	Cho hypebol (H): và đường thẳng (D): x -y -2 = 0.
Chứng minh rằng (D) luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
Tìm điểm C thuộc (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4.
Bài 5. (2,5 điểm)
	Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng 
	D1 : và D2: .
	a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 và song song với đường thẳng D2.
	b) Cho điểm M(-2; 1 ; 0). Xác định điểm H thuộc đường thẳng D1 sao cho độ dài MH nhỏ nhất.
	c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng D1 và D2.
-------------------------------------------------------------------------
	ĐáP áN Và hướng dẫn chấm đề kiểm tra học kì II
môn toán 12, năm học 2007-2008 
Bài
Đáp án
Biểu điểm
Bài1
a)
TXĐ : D=R
Y’= 3x2 -6x +m
Hàm số đạt cực trị tại x=2
ị y’(2)= 0 Û 12 -12 +m= 0 Û m=0
Khi m=0 hàm số trở thành y= x3- 3x
Xét y’= 3x3 -6x, 
 y’’= 6x -6
 y’(2)= 12 -12 =0, 
 y’’(2)= 12 -6 =6 > 0
ị x=2 là điểm cực tiểu
Vậy khi x=2 thì hàm số đạt cực trị tại m = 0
b)
Khi m= 0 hàm số trở thành y= x3 - 3x2
* Tập xác định: D=R
* Sự biến thiên 
 + y’ = 3x2-6x 
 y’=0 Û 3x2-6x=0Ûx = 0 hoặc x = 2
 + Giới hạn: , 
 + Bảng biến thiên
x
 0 2 
y'
 + 0 - 0 +
y
 0 
 -4 
Hàm số đồng biến trên hai khoảng (; 0) và (2; )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=0 ; yCĐ=0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; yCT= -4
 + y’’= 6x -6, 
 y’’=0 ị 6x -6 =0 Û x=1ị y= -2
 Bảng xét dấu y’’:
x
 1 
y’’
 - 0 +
ĐTHS
 lồi điểm uốn lõm
 I(1; -2)
* Đồ thị:
Cho x= -1ị y= -4
 x= 3 ị y=0
Đồ thị qua các điểm (-1; -4), (3; 0)
c)
x3 - 3x2 -k =0 Û x3 - 3x2 =k (1)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường: (C): y= x3- 3x2
 (d): y= k
Đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành và đi qua điểm (0;k).
Số giao điểm của (d) và (C) là số nghiệm của phương trình đã cho. 
 Dựa vào đồ thị: 
 + Khi k 0 thì (d) và (C) có một điểm chung suy ra phương trình đã cho có một nghiệm.
 + Khi k= -4 hoặc k = 0 thì (d) và (C) có hai điểm chung suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm. 
 + Khi -4 < k < 0 thì (d) và (C) có ba điểm chung suy ra phương trình đã cho có ba nghiệm.
Bài2
a)
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm:
V = p = 
 = 
= (đvtt)
b)
Đặt ị
Suy ra 
 I = - 
 = ln2 - 
Bài3
Số hạng thứ (k+1) trong khai triển (x3 +xy)15 là 
Tk+1 = (k = 0, 1 ,, 15)
 = 
Hệ số của x25y10 ứng với Û k = 10
Vậy hệ số của x25y10 là = 3003
Bài 4
a)
Toạ độ giao điểm của đường thẳng (D) và Hypabol (H) là
 là nghiệm của hệ phương trình: 
Từ (2) ta suy ra: y = x- 2 thay vào (1) ta được:
x2 + 4x -12 = 0 Û x = 0 hoặc x = -6 
Với x = 0 thì y = 0, ta có A(2; 0)
Với x = -6 thì y = -8, ta có B(-6; -8)
Khi đó AB = 8
b)
Gọi C(x;y) ẻ (H) thì
d(C,D) = 
Û 
Û 
Vì C ẻ (H) nên có pt: 2x2 - y2 = 8
Với y = x - 3 thì x2 + 6x - 17 = 0 Û 
Với y = x - 1 thì x2 + 2x - 9 = 0 Û 
Vậy có 4 điểm cần tìm: ; 
 ; 
Bài 5
a)
Đường thẳng D1 có VTCP:
 và D1 đi qua A(0; 1; 2)
Đường thẳng D2 có VTCP: và D2 đi qua B(2; 1; 1)
Khi đó VTPT của mp(P) là: = (13; 5 ; -4)
Phương trình mặt phẳng (P) là: 13x + 5y -4z + 3 = 0
b)
Vì Hẻ D2 nên H(2+t; 1-t; 1+2t) và =(4+t; -t; 1+2t)
MH nhỏ nhấtÛ MH ^ D2 Û. 2= 0
 Û 4 +t +t + 2(2t+1) = 0 Û 6t + 6=0
 Û t= -1
Khi đó: H(1; 2; -1)
c)
d(D1 , D2) = 
Mà = (2; 0; -1)
 ị13.2 + (-4)(-1) = 30
Do đó: d(D1 , D2) = =