Kiểm tra phần phương trình - Hệ phương trình và số học

KIỂM TRA PHẦN PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ SỐ HỌC
Bồi tỉnh 2013 -2014 Cẩm Mỹ -Đồng Nai
Bài 1: Giải phương trình –hệ phương trình
 (1)Vô lý à pt vô nghiệm
 ; Đặt t = - y 
Vai trò x , t như nhau .
từ (2)à
*)Nều ,từ (2) à t = 0 kết hợp (1) à(x;t) = (1;0)à (x;y) = (1;0) là nghiệm của hệ
*)Nều ,từ (2) à x = 0 kết hợp (1) à(x;t) = (0;1)à (x;y) = (0;-1) là nghiệm của hệ
*)Nếu , từ (2)à à
	+ Nếu x,y cùng dấu thì ( không thỏa (1))
	+ Nếu x,y trái dấu thì ( không thỏa (1))
Vậy (x;y) = (1;0) , (0;-1)
 ; Đặt 
*) t=2 hệ thành :
*)
Thử lại với (1) à nghiệm
Bài 2 :
1)Chứng minh rằng : thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9
Cách 1: dùng phép chia có dư .Xét n = 9k + r với r không chia hết cho 9
Cách 2: Giả sử n2 + n + 1 = 9k () à n2 + n + 1- 9k = 0 (1)
Vì 12k – 1 không chia hết cho 3 nên chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
à không chính phương à(1) không có nghiệm nguyên nên n2 + n + 1 không chia hết cho 9
2) Cho x.y thỏa (x - y)(y - z)(z - x) = x + y + z .(1) Chứng minh : x + y + z chia hết cho 27
*)Nếu x,y,z chia cho 3 có số dư đôi một khác nhau thì (x - y)(y - z)(z - x) 3 và x+y+z 3
à (1) không xảy ra
*) Nếu x,y,z chia cho 3 chỉ có 2 số có cùng dư 
Giả sử hai số đó là x,y thì x – y 3àVT(1) 3 còn VP(1) 3 à (1) không xảy ra
Như vậy x,y,z chia cho 3 có cùng dư 
Nên : x – y 3, y – z 3, z –x 3, VT(1) 27 à VP(1) 27
Vậy x + y + z chia hết cho 27
3)Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + 2y2 + 3xy - 2x - 4y + 3 = 0 (1)
có nghiệm nguyên thì chính phương à y2 + 4y – 8 = k2 (k )
(y+2-k)(y+2+k) = 12
Ta có (y+2-k)+(y+2+k) = 2(k+2) à(y+2-k) & (y+2+k) cùng chẵn
à (y+2-k)(y+2+k) = 2.6=6.2=-2.(-6)=-6.(-2) à y= 2 V y= -6 thay vào (2)
à (x;y)= (-1;2),(-3;2),(11;-6),(9;-6)
Bài 3:
1)Tìm m để phương trình : (x2 + mx + 1)2 + m(x2 + mx + 1) + 1 – x = 0 (1) có nghiệm
Đặt y = x2 + mx + 1 à(1) thành
Giải (1): (1) có nghiệm x2 +(m-1)x +1 = 0 có nghiệm(m-1)2 - 4
Giải (2): (2) có nghiệm x2 +(m+1)x +m+2 = 0 có nghiệm(m+1)2 –4(m+2)0 
Từ (4) &(5) à (1) có nghiệm khi 
2)Cho ba số lẻ a,b,c . chứng minh phương rình : ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu ti.
Ta có :
Vì a,b,c lẻ à ac lẻ
Đặt b = 2m + 1 , ac = 2n + 1 ( m,n là số nguyên)
Vì m(m+1) 2 nên 
Ta chứng minh không chính phương 
Bài toán : Tìm dư khi chia một số chính phương cho 8
 Xét số chính phương p2 với p = 8q +r (p,q,r
Vậy một số chính phương khi chia cho 8 chỉ có thể dư là 0 hoặc 1 hoặc 4
Vì chia cho 8 có dư là 5 nên không chính phương 
à phương rình : ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu ti