Kiểm tra Toán 9 đề 16

ĐỀ KIỂM TRA 16
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: Cho hai số tự nhiên m > 0, n > 0 thỏa mãn m+1n+n+1m là số nguyên. Chứng minh rằng: Ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m+n
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x3+y3-x2+y2x-1y-1 trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1
Bài 3: Cho a, b, c là 3 số dương, chứng minh rằng: ab+bc+ca≥a+b+c3abc
Bài 4: Giải phương trình x2+x-1+x-x2+1=x2-x+2
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B cắt cạnh AC tại điểm D thỏa mãn BC = BD + DA.
a) Tính các góc của tam giác ABC
b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2 (AB = AC = b; BC = a)
ĐÁP ÁN ĐỀ 16
Bài 1: Cho hai số tự nhiên m > 0, n > 0 thỏa mãn m+1n+n+1m là số nguyên. Chứng minh rằng: Ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m+n
Lời giải:
Gọi d = (m, n) ⟹m=dx, n=dy với x, y là các số tự nhiên x > 0, y > 0 nào đó và (x, y) = 1.
Ta có: m+1n+n+1m=m2+n2+m+nmn=dx2+y2+x+ydxy⟹x+y ⋮d⟹x+y≥d
⟹ d(x + y) ≥ d2 . 
⟹ m + n ≥ d2 ⟹d≤m+n. ĐPCM.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x3+y3-x2+y2x-1y-1 trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1
Lời giải:
Đặt a = x – 1, b = y – 1. Khi đó a > 0, b > 0 và
x3 – x2 = x2(x –1) = (a + 1)2a = (a –1)2a + 4a2 
y3 – y2 = y2(y –1) = (b +1)2b = (b –1)2b + 4b2 
⟹ x3 – x2 + y3 – y2 = (a –1)2a + 4a2 + (b –1)2b + 4b2 
 ≥ 4(a2 + b2) ≥ 8ab = 8(x –1)(y –1) 
P=x3+y3-x2+y2x-1y-1≥8 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 ⟺ x = y = 2
Vậy Pmin = 8. Giá trị này đạt được tại x = y = 2
Bài 3: Cho a, b, c là 3 số dương, chứng minh rằng: ab+bc+ca≥a+b+c3abc
Lời giải:
Ta có: ab+bc+ca≥a+b+c3abc
⟺a2c+b2a+c2babc≥a + b + c3a2b2c2abc 
⟺ a2c + b2a + c2b ≥ (a + b + c) 3a2b2c2 	(1)
Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta được:
a2c + c2b + c2b ≥ 33a2c.c2b.c2b=33a2b2c5	(2)
	b2a + a2c + a2c ≥ 33b2a.a2c.a2c=33a5b2c2	(3)
	c2b + b2a + b2a ≥ 33c2b.b2a.b2a=33a2b5c2	(4)
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức (2), (3), (4) , ta được:
3(a2c + b2a + c2b) ≥33a2b2c5+3a5b2c2+3a2b5c2
⟺ a2c + b2a + c2b ≥ (a + b + c) 3a2b2c2. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b= c.ĐPCM. 
 Bài 4: Giải phương trình x2+x-1+x-x2+1=x2-x+2
Lời giải:
Điều kiện để căn thức có nghĩa:
 x2+x-1≥0x-x2+1≥0⇔x≥-1+52x≤-1-521-52≤x≤1+52⟺-1+52≤x≤1+52 	
Ta có:
x2+x-1+x-x2+12≤2x2+x-12+x-x2+12=4x 
⟹x2+x-1+x-x2+1≤2x 	(1)
Lại có: x2-x+2-2x=x-12+x-12≥0	(2)
⟹x2-x+2≥2x 	(3)
Từ (1) và (3) suy ra, điều kiện cần để x2+x-1+x-x2+1=x2-x+2 là:
x2-x+2=2x ⟺x=1 
Thử lại, rõ ràng x =1 là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B cắt cạnh AC tại điểm D thỏa mãn BC = BD + DA.
a) Tính các góc của tam giác ABC
b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2 (AB = AC = b; BC = a)
Lời giải:
a) Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
với BC.Vì tứ giác ADEB là tứ giác nội tiếp nên:
CE.CB = CD.CA
⟹ECCD=CACB 	(1)
Mặt khác, vì BD là đường phân giác góc B nên DADC=ABBC=ACBC	(2)
Từ (1) và (2) suy ra DA = EC
Ta có: BC = BE + EC = BE + DA	(3)
Mặt khác, theo giả thiết ban đầu BC = BD + DA	(4)
Từ (3) và (4) suy ra BD = BE ⟹ΔBDE là tam giác cân
 ⟹∠BDE = 900 – ∠EBD2 = 900 – B4	(5)	
Mặt khác, tứ giác ADEB là tứ giác nội tiếp nên ∠CDE = ∠ABC = B	(6)
Lại vì ∠BDA là góc ngoài của tam giác BCD nên:
∠BDA = ∠DBC + ∠BCD = 3B2 	(7)
Ta có: ∠ADB + ∠BDE + ∠EDC = 1800
3B2 + 900 – B4 + B = 1800 
⟹B = 400
Vậy A = 1000, B = C = 400
b) Ở câu a) ta chứng minh được ∠CDE = B = C ⟹ΔCED là tam giác cân
⟹DE = EC = DA.
Kẻ DF song song với AB, dễ dàng chứng minh được tam giác BDF và tam giác CDF là các tam giác cân ⟹BF = DF = CD
Mặt khác, BD là đường phân giác góc B nên
 DADC=BABC=ba⟹DADA+DC=ba+b⟹DA=b2a+b
DC=AC-DA=b-b2a+b=aba+b 
⟹EF = BC – BF – CE = BC – CD – DA = BC – AC = a-b
Dễ dàng chứng minh được ΔABE