Kiến thức cần nhớ về phương trình mũ và logarit

Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web:  
Lại Văn Long:  1 
KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
I. Hàm số mũ 
 y=ax; TXĐ D=R 
 Bảng biến thiên 
a>1 0<a<1 
x  0 + x  0 + 
y + 
1 
  
 y + 
1 
  
 Đồ thị 
-3 -2 -1 1
-2
-1
1
2
3
x
y
y=3x
 
-2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
x
y
x
y 






3
1
 
 
II. Hàm số lgarit 
 y=logax, ĐK:





10
0
a
x
; D=(0;+) 
 Bảng biến thiên 
a>1 0<a<1 
x 0 0 + x 0 0 + 
y + 
1 
  
 y + 
1 
  
 
 Đồ thị 
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3x
y=log3x
 
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
x
y 






3
1
xy
3
1log
y=x
 
 
III. Các công thức 
1. Công thức lũy thừa: 
Với a>0, b>0; m, nR ta có: 
anam =an+m; mnm
n
a
a
a  ;( na
1 =am ; a0=1; a1=
a
1 ); 
(an)m =anm ; (ab)n=anbn; m
nn
b
a
b
a





 ; n mn
m
aa  . 
2. Công thức logarit: logab=cac=b (00) 
Với 00; R ta có: 
loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga
2
1
x
x = logax1logax2; 
Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web:  
Lại Văn Long:  2 
xa xa log ; logax=logax; 
xx aa log
1log

  ;(logaax=x); logax= a
x
b
b
log
log ;(logab= ablog
1 ) 
logba.logax=logbx; alogbx=xlogba. 
IV. Phương trình và bất phương trình mũlogarit 
1. Phương trình mũlogarit 
a. Phương trình mũ: 
Đưa về cùng cơ số 
+0<a1: af(x)=ag(x) (1)  f(x)=g(x). 
+ 0<a1: af(x)=b   




bxf
b
alog
0
. 
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0 
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số.. 
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3 ), (7 4 3 ),… Nếu trong một phương trình có chứa 
{a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x. 
Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x) f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1. 
b. Phương trình logarit: 
Đưa về cùng cơ số: 
+logaf(x)=g(x)    




xgaxf
a 10
 +logaf(x)= logag(x)     
   






xgxf
xgxf
a
00
10
. 
Đặt ẩn phụ. 
2. Bất phương trình mũlogarit 
a. Bất phương trình mũ: 
 af(x)>ag(x)        




01
0
xgxfa
a
;  af(x)ag(x)        




01
0
xgxfa
a
. 
Đặt biệt: 
* Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x)  f(x)>g(x); 
af(x)ag(x)  f(x)g(x). 
* Nếu 0ag(x)  f(x)g(x); 
 af(x)ag(x)  f(x)g(x). 
b. Bất phương trình logarit: 
logaf(x)>logag(x)    
      






01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
; logaf(x)logag(x)    
      






01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
. 
Đặt biệt: 
+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x)  
   
 




0xg
xgxf
; 
+ Nếu 0logag(x)  
   
 




0xf
xgxf
. 
 
 
* 
* * 
 
 
 
 
 
Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web:  
Lại Văn Long:  3 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 
I. Biến đổi thành tích 
Ví dụ 1: Giải phương trình:    2 2 22 22 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0x x x x x x x x          . 
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân 
tích thành tích:    2 22 1 . 2 4 0x x x    . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. 
Ví dụ 2: Giải phương trình:    29 3 32 log log . log 2 1 1x x x   . 
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: 
 3 3 3log 2 log 2 1 1 .log 0x x x      . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. 
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta 
biến đổi thành tích. 
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 2( 2)3 2 5 0x xx x     . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: 
 2 2 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x          . Thay vào (*) ta tìm được x. 
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương. 
Ví dụ 2: Giải phương trình:      23 3log 1 5 log 1 2 6 0x x x x       . Đặt t = log3(x+1), ta có: 
 2 5 2 6 0 2, 3t x t x t t x          x = 8 và x = 2. 
III. Phương pháp hàm số 
Các tính chất: 
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không 
quá một nghiệm trong khoảng (a;b). 
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có 
 ( )f u f v u v   . 
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình 
f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). 
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì 
 bac ; :      
ab
aFbFcF


' . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì 
     ; : ' 0 ' 0c a b F c F x     có nghiệm thuộc (a;b). 
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá 
hai nghiệm thuộc D. 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2log2.3 3xx   . 
Hướng dẫn: 2 2log log2.3 3 2.3 3x xx x     , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên 
phương trình có nghiệm duy nhất x=1. 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 2 5 3x x x x   . Phương trình tương đương 6 5 3 2x x x x   , giả sử 
phương trình có nghiêm . Khi đó:  2356  . 
Xét hàm số      tttf  1 , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại 
 2;5c sao cho:     1' 10 1 0 0, 1f c c c               , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là 
nghiệm của phương trình. 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 1 22 2 ( 1)x x x x     . Viết lại phương trình dưới dạng 
21 22 1 2x x xx x x      , xét hàm số   ttf t  2 là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương 
trình được viết dưới dạng:    2 21 1 1f x f x x x x x x         . 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2x x x   . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần 
chứng minh không còn nghiệm nào khác. 
Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web:  
Lại Văn Long:  4 
Xét hàm số     2 23 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0x x x xf x x f x         Đồ thị của hàm số này lõm, 
suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. 
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 
2
2
2007
1
2007
1
x
y
ye
y
xe
x
  


  
 
 có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 
0. 
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số  
2
2007
1
x xf x e
x
  

. 
Nếu x < 1 thì   020071  exf suy ra hệ phương trình vô nghiệm. 
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. 
Ví dụ 6: Cho 0 ba . Chứng minh rằng 1 12 2
2 2
b a
a b
a b
        
   
(ĐH Khối D2007) 
HD: BĐT 
1 1ln 2 ln 2
1 1 2 2ln 2 ln 2
2 2
a b
a b
a b
a b
b a
a b
       
              
   
. Xét hàm số 
 
1ln 2
2
x
x
f x
x
  
  với x > 0 
Suy ra f’(x) 0, nên hàm số nghịch biến vậy với 0 ba ta có  bfaf )( (Đpcm). 
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ 
phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 
1.Dạng 1: Khác cơ số: 
Ví dụ: Giải phương trình 7 3log log ( 2)x x  . Đặt t = 7log 7tx x  Khi đó phương trình trở 
thành: 3
7 1log ( 7 2) 3 7 2 1 2.
3 3
t t
t t tt                 
. 
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp 
Ví dụ 1: Giải phương trình  4 2 256log ( 2 2) 2 log 2 3x x x x     . 
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có  6 5log 1 logt t  . 
Ví dụ 2: Giải phương trình  6log2 6log 3 logxx x  . Đặt 6logt x , phương trình tương 
đương 36 3 2 3 1
2
t
t t t t       
 
. 
3. Dạng 3:  logb x ca x  ( Điều kiện: b = a + c ) 
Ví dụ 1: Giải phương trình  7log 34 x x  . Đặt  7log 3 7 3tt x x     , phương trình 
tương đương 4 14 7 3 3. 1
7 7
t t
t t           
   
. 
Ví dụ 2: Giải phương trình   42 5log3  xx . Đặt t = x+4 phương trình tương đương 
  tt 1log32 
Ví dụ 3: Giải phương trình      3 3log 1 log 14 1 2 0x xx x     . 
4. Dạng 4:  logax b ss c dx e x      , với ,d ac e bc     
Phương pháp: Đặt log ( )say b dx e   rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ 
phương trình một ta được: ax b ay bs acx s acy    . Xét   at bf t s act  . 
Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web:  
Lại Văn Long:  5 
Ví dụ: Giải phương trình 1 77 6log (6 5) 1
x x    . Đặt  71 log 6 5y x   . Khi đó chuyển thành hệ 
 
 
1 1
1 1
1
7
7 6 1 1 7 6 5
7 6 7 6
1 log 6 5 7 6 5
x x
x y
y
y y
x y
y x x
 
 

      
     
     
. Xét hàm số   17 6tf t t  suy ra x=y, 
Khi đó: 17 6 5 0x x    . Xét hàm số   567 1   xxg x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta 
được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. 
Ví dụ: Giải phương trình 
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x      
 
HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2x x x x   
 
   
, đặt 
1 12 1, 2 1. , 0x xu v u v      . 
 Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 
8 1 18
.
u v u v
u v u v

 

  
 
Bài tập 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
a.    2 3 2 3 4 0x x     
b.    2 3 2 3 4x x    
c.    7 4 3 3 2 3 2 0x x     
d.     33 5 16 3 5 2x x x    
e.    2 1 2 1 2 2 0x x     (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1. 
f. 3.8x+4.12x18x2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. 
g. 2 2 22 4.2 2 4 0x x x x x     (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. 
k. 2 222 2 3x x x x    (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=1, x=2. 
i. 3.16 2.8 5.32x x x  
j.
1 1 1
2.4 6 9x x x  
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 
a. 
3 2 3
4 128
5 1
x y
x y

 
 


 b. 2( ) 1
5 125
4 1
x y
x y

 
 

 
 
c. 2 2 12
5
x y
x y
  

 
 
d. 
   
2 2
2 2
2 2log 1 log
3 81x xy y
x y xy
 
   


 (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2) 
e. 
 2 39 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
    

 
 (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). 
f. 
 1 4
4
2 2
1log log 1
25
y x
y
x y
   

  
 (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) 
g. 
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y

  

 


 (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). 
Giáo Viên: Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web:  
Lại Văn Long:  6 
Bài 3: Giải và biện luận phương trình: 
a .  2 .2 .2 0x xm m m    . b . .3 .3 8x xm m   . 
Bài 4: Cho phương trình 2 23 3log log 1 2 1 0x x m     (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) 
a. Giải phương trình khi m=2. 
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3   . 
ĐS: a. 33x  , b. 0  m  2 
Bài 5: Cho bất phương trình  14 . 2 1 0x xm    a. Giải bất phương trình khi m= 169 . 
 b. Định m để bất phương trình thỏa x R  . 
Bài 6: Giải các phương trình sau: 
a.    5 5 5log log 6 log 2x x x    b. 5 25 0,2log log log 3x x  
c.  2log 2 5 4 2x x x   d. 2 3lg( 2 3) lg 01
xx x
x

   

 
e. log2x1(2x2+x1)+logx+1(2x1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. 
f.  22 2log 1 6 log 1 2 0x x     (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. 
g.  2 2 1log 4 15.2 27 2 log 04.2 3
x x
x   
 (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23. 
Bài 7: Giải bất phương trình: 
a.  3 1
3
2 log (4 3) log 2 3 2x x    (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4  x  3. 
b. 
2
0,7 6log log 04
x x
x
 
  
 (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4 8. 
c.    25 5 5log 4 144 4 log 2 1 log 2 1x x     (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. 
d. 
2
1
2
3 2log 0x x
x
 
 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: 
 2 2;1 2;2 2    . 
