Kinh nghiệm phân tích đa thức thành thừa số

Phần một : phần mở đầu
Lí do chọn đề tài :
Cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đang diễn ra sôi động trên phạm vi toàn thế giới , khoa học vũ trụ vừa mới đây còn là ngành khoa học mới mẻ nhất, thì nay trước sự phát triển như vũ bão khoa học điện tử , tin học và công nghệ thông tin cùng với công nghệ sinh học trở thành ngành khoa học mũi nhọn của nhiều nước trên thế giới , trong đó có cả nước ta . Một đặc điểm đáng chú ý của Cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật này là sự thâm nhập ngày càng nhiều của toán họcvào các ngành khoa học.
Nếu trước đây Toán học là bộ môn chính của khoa học tự nhiên , thi bây giờ ngay cả những bộ môn xem như không có vẻ Toán học chút nào , cũng được diễn tả thông qua ngôn ngữ toán học.
Tóm lại : Kiến thức toán học có một vị trí rất lớn và vai trò rất quan trọng trong sự phát triển chung cuả nhân loại . Thiếu toán học đời sống của xã hội sẽ ra sao ? Có lẽ sẽ không tồn tại bất kì một ngành khoa học nào bởi vì Toán học không chỉ là môn ngữ diễn tả các sự kiện mà còn là phương tiện nghiên cứu các boọ môn khoa học khác đúng như Thủ tướng Phạm Văn Đồng nói :“ Dù các bạn phục vụ ở ngành nào , trong công tác nào thì các kiến thức và phương pháp Toán cũng cần cho các bạn ”.
Chính vì những lí do trên đây mà việc dạy học Toán ở trường phổ thông, đặc biệt là cấp THCS là một nhiệm vụ quan trọng vào bậc nhất vì “ Toán học là môn thể thao của trí tụê giúp chúng ta nhiều trong công việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ , phương pháp suy luận , phương pháp học tập , phương pháp giải quyết các vấn đề giúp con người rèn luyện trí thông minh sáng tạo ”. Để việc dạy và học Toán được tốt nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy mỗi người giáo viên phổ thông phải nghiên cứu tìm tòi cải tiến phương pháp giảng dạy đó cũng là yếu tố cấp bách nhằm đáp ứng với tình hình cải cách giáo dục hiện nay .
Song qua nghiên cứu thực tế việc học toán của học sinh hiện nay , tôi có nhận thấy rằng các em học sinh vẫn chưa thực sự có hứng thú học môn Toán kể cả những em đạt học sinh giỏi toàn diên ở các trường mà chỉ là đạt giải trong kì thi chọn học sinh giỏi các cấp . Tại sao vậy ? Đó cũng là do một phần lỗi của chúng ta , đội ngũ các nhà làm công tác giáo dục ,phải chăng chúng ta vẫn chưa làm cho các em thực sự say mê học tập mà đặc biệt là môn Toán . Các em muốn nghĩ đến việc giải các bài tập khó dần lên theo từng mức độ . Là một giáo viên trực tiếp dạy môn Toán ở THCS đặc biệt là được nhà trường và Phòng GD giao cho bồi dưỡng nhiều đội tuyển học sinh giỏi môn Toán ở cấp THCS . Tôi có rất nhiều suy nghĩ , Trăn trở làm sao cho chất lượng học sinh ngày một tốt hơn , các em có thể tự mình tìm ra những lời giải hay hơn , giải được nhiều bài toán khó hơn . Qua việc quan sát học sinh ở các lớp khác nhau , các trường khác nhau và qua việc tham khảo đồng nghiệp Tôi xin mạnh dạn nói ra một kinh nghiệm mà mình đã tìm ra trong quá trình nghiên cứu thực tế đó là “ Kinh nghiệm dạy loại bài toán phân tích đa thức thành thừa số ”
 Mục đích nghiên cứu
Với Toán học bậc THCS thì việc phân tích đa thức thành thừa số đóng vai trò rất quan trọng ,đặc biệt là việc vận dụng nó vào việc giải phương trình bậc cao , việc biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học...Ngoài ra việc vận dụng phân tích đa thức thành thừa số giúp chúng ta có thể giải được các bài toán có nội dung phức tạp .
Xong việc trình bày nó cần tuân theo một trật tự nhất định mà không thể coi nhẹ bước nào . Với kinh nghiệm nhỏ của tôi hy vọng rằng các em học sinh có thể giải tốt hơn các bài toán có liên quan đến việc phân tích đa thức thành thừa số như giải phương trình , bất phương trình bậc cao ...

Đối tuợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu:
*Đối tuợng nghiên cứu
Toàn bộ học sinh khối THCS mà đặc biệt là các em học sinh khá giỏi và nằm trong các câu lạc bộ Toán học ở các trường .
*Phạm vi nghiên cứu
Học sinh trường THCS Thị trấn Bố hạ và toàn bộ số học sinh đạt giải trong kì thi học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2003 – 2004
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Với khuôn khổ thời gian và năng lực có hạn , kinh nghiệm nhỏ này của tôi ra đời nhằm ứng dụng giúp giáo viên giảng dạy học sinh THCS hình thành kĩ năng biến đổi toán học , hình thành phương pháp tư duy , năng lực tự học , tự nghiên cứu để nâng cao kiến thức trong nhà trường ,và đặc biệt là giúp các em học sinh biết cách làm các bài tập có liên quan đến việc phân tích đa thức thành thừa số như giải phương trình , bất phương trình , rút gọn phân thức ...đây là những kiến thức cơ bản mà các em học sinh không thể không biết trong trừng THCS đối với môn toán .
Phương pháp nghiên cứu
Trong Toán học đòi hỏi người giải phải lập luận chặt chẽ ( tránh ngộ nhận ) đôi khi chúng ta phải sử dụng phương pháp laọi trừ dần .Đối với kinh nghiệm này :
+Đọc tài liệu tham khảo về cách giải các bài toán có liên quan đến việc phân tích đa thức thành thừa số 
+Đàm thoại , trao đổi với những giáo viên có kinh nghiệm và thành công trong nghề nghiệp .
+Trắc nghiệm với học sinh 
+Đúc rút kinh nghiệm của bản thân đã nhiều năm tham gia trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng các lớp học sinh giỏi bậc THCS .




Những đóng góp của đề tài
Kinh nghiệm này của tôi được được hình thành ngay từ đầu năm học cùng với việc bồi dững học sinh giỏi môn toán lớp 8 , vì vậy thực tế Kinh nghiệm này đã được ứng dụng từ đầu năm học 2003 – 2004 cho nên nó đã có đóng góp rất lớn đối với đội tuyển toán 8 của trường THCS –Thị trấn Bố hạ . Cụ thể năm học 2003 – 2004 đội tuyển toán 8 của tôi có 10 học sinh dự thi cấp huyện thì tất cả các em đều làm tốt bài toán phân tích đa thức thành thừa số và kết quả là có 7 em được vào đội dự tuyển thi học sinh gỏi cấp tỉnh cuối cùng có 5 em được dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh .
Kết cấu của đề tài 
Kinh nghiệm này của tôi gòm 3 nội dung chính đó là 3 phương pháp phân tích đa thức thành thừa số 






















Phần hai : nội dung chính của đề tài 
Trong toán học đặc biệt là toán học bậc THCS việc phân tích đa thức thành thừa số là kiến thức cơ bản không thể thiếu được , vì vậy đối với người giáo viên bậc THCS , việc trang bị cho các em học sinh kĩ năng về việc phân tích đa thức đa thức thành thừa số hết sức quan trọng . Ngoài những phương pháp cơ bản mà các em đã được học trong sách giáo khoa hiện nay ,thì người giáo viên phải trang bị cho cá em học sinh thêm một số phương pháp khác nữa nhằm đáp ứng được yêu cầu của thời đại , và đặc biệt là cung cấp kiến thức cho các em học sinh trong các câu lạc bộ toán học và các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi các cấp . Trong kinh nghiệm này tôi chỉ đề cập thêm 3 phương pháp khác ngoài các phương pháp các em đã được học mà nó thường xuyên được áp dụng trong quá trình học toán của các em .
Phương pháp 1
tách một số hạng thành nhiều số hạng khác:
Bài 1 :
Phân tích thành thừa số : 3x2- 8x + 4
Giải
Đa thức trên không chứa thừa số chung , không là một hằng đẳng thức , cũng không thể nhóm các số hạng . ta biến đổi đa thức ấy thành nhiều số hạng hơn.
Cách 1 ( Tách số hạng thứ hai )
3x2- 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
=3x(x – 2) – 2(x- 2 )
=(x-2)(3x-2)
Cách 2 ( Tách số hạng thứ nhất )
3x2- 8x + 4 = 4x2 – 8x+ 4-x2
=4x(x – 2) -(x- 2 )(x+2)
=(x-2)(3x-2)
Nhận xét trong cáh một , số hạng –8x được tách thành hai số hạng –6x và -2x . Trong đó đa thức 3x2- 6x –2x+ 4 , hệ số của các số hạng là 3,-6,-2,4 . Các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp –2 lần hệ số liền trước , nhờ đó mà suất hiện thừa số chung x-2 .
Một cáh tổng quát , để phân tích tam thức bậc hai ax2+bx+c thành thừa số , ta tách số hạng bx thành b1x +b2x 
sao cho b1b2=ac
Để đơn giản trong thực hành ta làm như sau :
Bước 1 : Tìm tích ac
Bước 2 : Phân tích tích ac thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng b


Bài 2:
 phân tích đa thức sau thành thừa số : 4x2- x -3
Giải :
Ta có : 4x2- x –3 = 4x2- 4x+3x –3=4x(x-1)+3(x-1)=(x-1)(4x+3)
*Nhận xét : 
Qua hai bài tập trên , ta thấy việc tách một số hạng thành nhiều số hạng khác thường nhằm mục đích :
+Làm suất hiện các hệ số tỉ lệ , nhờ đó mà suất hiện thừa số chung 
+Làm suất hiện hằng đẳng thức 3
Ngoài ra đối với đa thức bậc 3 trở lên người ta thường dùng phương pháp nhẩm nghiệm dựa vào nhận xét sau : “Nghiệm nguyên nếu có của một đa thức là ước của số hạng tự do của đa thức ấy
Ví dụ :
Phân tích thành thừa số : x3- x2 - 4 
Giải 
Lần lượt kiểm tra với x= 1,2,4,-1,-2,-4 ta thấy đa thức có nghiệm x=2 , do đó đa thức chứa thừa số x- 2. Vì vậy ta tách các số hạng như sau :
x3- x2 – 4 = x3-2 x2 +x2– 4
=x2(x-2)+(x-2)(x+2)
=(x-2)(x2+x+2)
Cách 2
x3- x2 - 4 = x3-8-x2+4
=(x-2)(x2+x+4)-(x-2)(x+2)
=(x-2)(x2+x+2)
*Chú ý : 
+Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1 do đó nó chứa thừa số (x-1)
+Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm bằng -1 do đó nó chứa thừa số (x+1).
+Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự nhiên không là nghiệm của đa thức f(x) , có thể dùng nhận xét sau : 
Nêu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1). f(-1)0 thì vàđều là số nguyên.
Bài 4 
Phân tích thành thừa số : 4x3-13 x2 +9x– 18
Giải 
Ta thấy đa thức có nghiệm x=3 do đó chứa thừa số x-3 có thể dùng phép chia đa thức hoặc cách tách các số hạng một cách hợp lí ta có :
4x3-13 x2 +9x– 18 = (x-3)(4x2-x+6)



Bài 5
Phân tích thành thừa số : f(x) = 4x3-13 x2 +9x– 18
Giải 
Ta thấy đa thức không có nghiệm nguyên mà có nghiệm hữa tỉ x= do đó đa thức chứa thừa số 3x -1 vì vậy ta phân tích như sau:
f(x) = 4x3-13 x2 +9x– 18 = x2(3x -1)-2x(3x -1)+5(3x -1)
=(3x -1)(x2-2x+5)
ở ví dụ này cái khó là làm thế nào để biết được đa thức có chứa thừa số 3x -1 ?
Ta có nhận xét sau : 
Trong đa thức có các hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có của nó phải có dạng trong đó a là ước của hệ số tự do , blà ước của số hạng cao nhất. Chẳng hạn ở bài tập 5 thì :1 là ước của hệ số tự do -5 , 3là ước dương hệ số hạng cao nhất 3
Bài tập áp dụng:
 6x2-11x+3
 2x2+3x-27
 3x3+2x-3
 x3+5x2+8x
Phương pháp 2
Thêm bớt cùng một số hạng
Đối với phương pháp này việc chúng ta thêm bớt cùng một số hạng nhằm vào 2 mục đích :
+ Thêm bớt cùng một số hạng làm suất hiện hiệu bình phương của 2 biểu thức
VD 1 Phân tích thành thừa số : 4x4+81
Rõ ràng đa thức này không có nhân tử chung , không là hằng đẳng thức ...việc phân tích bằng các phương pháp đã biết là rất khó cho nên ta làm như sau :
4x4+81=4x4+36x2+81-36x2=(2x2+9)2-36x2
=(2x2+6x+9)( 2x2-6x+9)
+ Thêm bớt cùng một số hạng làm suất hiện thừa số chung
VD 2 Phân tích thành thừa số : X7+x2+1
Giải :
X7+x2+1 = X7-x+x2+x+1
=x(x6-1)+( x2+x+1)
=x(x3+1)(x3-1) +( x2+x+1)
= x(x3+1)(x-1)( x2+x+1) +( x2+x+1)
= ( x2+x+1)(x5-x4+x2+1)



VD 3: Phân tích thành thừa số :
x3+x2+4 (đề thi HSG cấp tỉnh năm 99 - 2000)
 Giải 
x3+x2+4= x3+2x2-x2+4
= (x3+2x2)-(x2-4)
=x2(x+2)-(x-2)(x+2)
=(x+2)(x2-x+2)
VD 4: Phân tích thành thừa số : a3+4a2-29a+24
Giải :
a3+4a2-29a+24= a3-a2+5a2-5a-24a+24
=a2(a-1)+5a(a-1)-24(a-1)
=(a-1)(a2+5a-24) 
=(a-1)(a-3)(a+8)
VD 5: Phân tích thành thừa số : x3+6x2+11x+6
Giải :
x3+6x2+11x+6 = x3+x2+5x2+5x+6x+6
=x2(x+1)+5x (x+1)+6(x+1)
=(x+1)(x2+5x+6)
=(x+1)(x+2)(x+3)
VD 6: Phân tích thành thừa số :x8 +x+1
Giải
X8 +x+1 = X8 +x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1-( x7+x6+x5+x4+x3+x2) 
=( X8 +x7+x6) +( x5+x4+x3)+ (x2+x+1) – (x7+x6+x5) –( x4+x3+x2)
=x6(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1) – x5(x2+x+1) – x2(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x6+x3+1-x5-x2)
VD 7: Phân tích thành thừa số :x8 +x7+1
Giải
x8 +x7+1= X8 +x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1-( x6+x5+x4+x3+x2+x) 
=( X8 +x7+x6)+( x5+x4+x3)+( x2+x+1) –( x6+x5+x4)-( x3+x2+x)
= x6(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1) – x4(x2+x+1) –x(x2+x+1)
= (x2+x+1)(x6 +x3 –x4-x+1)
VD 7: Phân tích thành thừa số : x10 +x5 +1
Giải 
x10 +x5 +1 =( x10 + x9 + x8 ) –( x9 + x8 +x7)+ (x7  + x6+x5)- (x6+x5+x4)+(x5+x4+x3)-(x3+x2+x)+( x2+x+1)
= x8( x2+x+1)-x7( x2+x+1) +x5( x2+x+1)-x4( x2+x+1) +x3( x2+x+1) -x( x2+x+1)
+( x2+x+1)
=( x2+x+1)(x8-x7+x5-x4+x3-x+1)




VD 8: Phân tích thành thừa số : x8 +x4 +1
Giải 
Ta có : x8 +x4 +1 = x8 +2x4 +1-x4
=(x4+1)2 –x4 = (x4-x2+1) (x4+x2+1)

Phương pháp 3: 
Phương pháp đổi biến
Trong thực tế khi làm một số bài toán phân tích đa thức thành thừa số việc áp dụng các phương pháp đã biết là rất khó khăn . Nếu ta sử dụng phương đổi biến thì việc làm trở nên dễ dàng hơn rất nhiều , chẳng hạn ta xét ví dụ sau :
Ví dụ 1 Phân tích thành thừa số:
X(x+4)( x+6)(x+10) +128 
=(x2+10x)(x2+10x+24) +128
Đặt y = x2+10x + 12
Lúc này đa thức đã cho có dạng :
(y+12)(y-12) +128
=y2-16
=(y-4)(y+4)
=(x2+10x+8) (x2+10x+16)
=(x2+10x+8)(x+2)(x+8)
Trong ví dụ trên ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với biến x về đa thức bậc hai đối với biến y
Ví dụ 2 Phân tích thành thừa số:
A = X4+6x3+7x2-6x+1
Giải
Với x 0 viết đa thức dưới dạng như sau :
X4+6x3+7x2-6x+1=x2(x2+6x+7-)
=x2 (x2+ +6(x-)+7)
Đặt x-=y thì x2+= y2+2
Do đó A = x2(y2+6y+9)
A=x2(y+3)2
=(xy + 3y)2
=(x2+3x-1)2
Ta có thể trình bày lời giải như sau :
A = X4+6x3+7x2-6x+1
= x4+2x2(3x-1)+(3x-1)
=(x2+3x-1)2



Ví dụ 3 Phân tích thành thừa số:
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15
Giải
Ta biến đổi như sau :
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 =(x2+8x+7)( x2+8x+15)
Đặt : (x2+8x+7) = y 
Ta có :
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 = y(y+8) +15
=y2+8y+15
=(y+3)(y+5)
Vậy: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15
=(x2+8x+10)( x2+8x+12)
=(x2+8x+10)(x+2)(x+6)
Ví dụ 4 Phân tích thành thừa số:
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
Giải
Đặt : x-y = a , y-z = b , z-x = c
Suy ra a+b+c = 0 suy ra a+b = -c 
Nên (a+b)3 =-c3
 a3 +b3+3ab(a+b)= -c3
a3 +b3 +c3 = - 3ab(a+b)=3abc
Vậy:
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)















Phần iii : kết luận chung
Kết quả nghiên cứu và ứng dụng của đề tài
Thông qua việc kiểm tra trực tiếp đối với các học sinh Tôi đã dạy . Tôi nhận thấy rằng đa số các em đã hình thành tốt kĩ năng làm dạng bài toán “phân tích đa thức thành thừa số ”. Thông qua các cáh làm bài tập này rèn luyện cho các em nhiều về tư duy Toán học và từ đó các em có thể đề suất thêm các bài toán mới và tự mình làm được các bài toán đó.

Triển vọng của đề tài
Hy vọng rằng với kinh nghiệm nhỏ của tôi sẽ góp phần làm tăng hứng thú học tập của các em học sinh , và đặc biệt là nó có thể kích thích , giúp các em học sinh trong việc tự đọc tài liệu , tự lực thực hiện khả năng học Toán của mình và từ đó có thể làm các bài tổng quát hơn .
Đối với đồng nghiệp đây là một kinh nghiệm nhỏ góp phần vào việc giảng dạy bộ môn ở trường học.
Với năng lực và thời gian có hạn , nên tài liệu này chưa thể đáp ứng hết được nguyện vọng của các em học sinh và đồng nghiệp , hơn thế nữa chỉ trình bày về cách phân tích đa thức thành thừa số.Cho nên còn nhiều hạn chế cần khắc phục , vì vậy tôi rất mong muốn nhận được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp.


Thị trấn Bố Hạ ngày 20 tháng 4 năm 2004
Người viết




Nguyễn Xuân Hường