Kinh nghiệm: Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học

PHẦN MỘT

§ÆT VÊN §Ò

Trong quá trình giảng dậy , việc hình thành và phát triển một số kĩ năng cơ bản cần thiết cho HS là vấn đề mà người giáo viên luôn phải duy trì, đồng thời phải đưa ra được những giải pháp để hình thành và phát triển những kĩ năng đó. Với tôi, một trong những kĩ năng đó là “vẽ hình phụ”.
 Trong thực tế, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng khi đứng trước bài toán chứng minh hình học, nhất là với những bài cần phải kẻ thêm đường. Các em chưa định hướng được vấn đề, đôi khi còn chưa biết phải bắt đầu từ đâu, vẽ hình phụ như thế nào? Có cơ sở nào giúp các em tìm ra hướng đi cho việc kẻ thêm hình mỗi khi chưa tìm ngay được lời giải của bài toán?
 Thiết nghĩ đây là vấn đề rất trăn trở với mỗi người giáo viên dạy toán. Không chỉ là định hướng và rèn kĩ năng cho các em,mà thực sự đây còn là cách để rèn luyện và phát triển tư duy cho HS, nâng cao khả năng suy luận lôgic và khả năng vận dụng tri thức vào thực tiễn. Với mục đích như vậy, tôi đã viết và áp dụng kinh nghiệm “ vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học”. 
 Phạm vi áp dụng kinh nghiệm này xin giành cho các em HS lớp 8 và 9.
 Nội dung chỉ xin đề cập đến một kĩ năng nhỏ trong kĩ năng vẽ hình phụ của HS , nên rất mong sự đóng góp bổ sung ý kiến của đồng nghiệp để kinh nghiệm được hoàn chỉnh và đầy đủ hơn . 
Tôi xin trân trọng cảm ơn!









PHẦN HAI

GI¶I QUYÕT VÊN §Ò


Khi giải các bài toán hình học , việc vẽ hình phụ tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải của bài toán, nhưng biết tạo ra hình phụ một cách thích hợp không phải là bài toán dễ. Trong bài viết này tôi đưa ra một cách phân tích có chủ ý để tìm được cách vẽ thêm được hình phụ thích hợp khi giải một số bài toán chứng minh đẳng thức hình học dạng:
 	xy = ab + cd, x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + b2
Ta xuất phát từ một bài toán đơn giản như sau:
“Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng khác : 
AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia đoạn AB thành hai đoạn bởi điểm M sao cho AM = CD, công việc còn lại là chứng minh MB = EF ”
 Ý tưởng trên cũng được sử dụng để chứng minh đẳng thức 
xy = ab + cd và các trường hợp riêng như sau:
Bước 1: 
Chia đoạn thẳng độ dài x thành hai đoạn bởi điểm M sao cho
 x = x1 + x2 và x1y = ab

Bước 2:
Chứng minh hệ thức x2y = cd

Bước 3:
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được đpcm

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ áp dụng phương pháp trên









Vídụ 1
Đ ịnh lí Pytago: Tamgiác ABC có góc A vuông .
 	CMR BC2 = AB2 + AC2 

Phân tích : Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM.BC = AB2 
tamgiác BMA đồng dạng với tam giác BAC nên góc BMA bằng 900.
Suy ra M là chân đường cao hạ từ A xuống BC
Lời giải:
Hạ AM vuông góc với BC . 
Ta thấy M thuộc cạnh BC
Ta có tam giác BMA đồng dạng với tam giác BAC
Tam giác CMA đồng dạng với tam giác CAB 
Ta suy ra AB2 + AC2 = BC2










Ví dụ 2:

 Cho tứ giác ABCD có góc DAB = 900 và góc DBC = 900 . 
 CMR : DC2 = DI.DB + CI.CA

Phân tích: 
Lấy điểm M thuộc cạnh CD sao cho DM.DC = DI.DB 


tam giác DMI đồng dạng với tam giác
DBC , do đó góc DMI = góc DBC = 900 hay IM vuông góc với DM (DC)
Vậy ta xác định được điểm M
Lời giải :
Kẻ IM vuông góc với DC
Ta có tam giác DBC đồng dạng với tam giác DMI (1)
Lại thấy tam giác ACD đồng dạng với tam giác MCI (2)
Từ (1) và (2) ta có:
DC.(DM+MC) = DI.DB + CI.CA
Hay DC2 = DI.DB + CI.CA











Ví dụ 3:
 Cho tam giác ABC có AD là phân giác của góc A. 
 CMR: AD2 = AB.AC – BD.CD

Phân tích :
Lấy điểm E trên AD sao cho
 AD.AE = AB.AC tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADC , do đó góc ABE = góc ADC.


Như vậy ta xác định được điểm E
Lời giải:
 Trên AD lấy E sao cho AD góc ABE = góc ADC . Dễ thấy AD = AE – DE Do AD là phân giác góc A nên tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADC (1)
Lại thấy tam giác BDE đồng dạng với tam giác ADC nên (2)
Từ (1) và (2) ta có:
AD.( AE – DE ) = AB.AC – BD.CD
Hay AD2 = AB.AC – BD.CD













Ví dụ 4:

 Cho hình thang cân ABCD ( AD//BC) . CMR: AB2 + AD. BC = AC2 

Phân tích:
Giả sử điểm M thuộc cạnh AC sao cho
 AB2 = AM.AC suy ra tam giác ABM đồng dạng với tam giác ACB do đó 
góc ABM bằng góc ACB.
Vậy ta xác định được điểm M


Lời giải:
Dựng góc ABM bằng góc ACB
 ( M thuộc AC)
Ta thấy tam giác ABM và tam giác ACB đồng dạng (1)
Mặt khác ta thấy : góc BCM = góc CAD và 
góc CBM = góc ACD. Do đó tam giác CBM đồng dạng với tamgiác ACD (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
AB2 + AD. BC = AM.AC + CM.AC , 
 vậy AB2 + AD.BC = AC2












Ví dụ 5:

Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi E và F lần lượt là các đường vuông góc hạ từ C xuống các đường thẳng AB và AD. 
CMR: AC2 = AB. AE + AD. AF

Phân tích:
Lấy M thuộc đoạn AC sao cho 
AM.AC = AB.AE tam Giác ABM đồng dạng với tam giác ACE nên BM vuông góc với AC .
Vậy điểm M cần tìm là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC


Lời giải:
Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC, ta thấy M thuộc đoạn AC do góc A nhọn nên AC = AM + MC 
Lại thấy tam giác ABM đồng dạng với tam giác
ACE (g.g) suy ra AM. AC = AB. AE
Và tam giác ACF đồng dạng với CBM(g.g)
 
suy ra CM. AC = BC. AF.
 Do BC =AD ta có :
AB. AE + AD. AF = AM. AC + CM. AC = AC2






 
Ví dụ 6:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.
CMR: AC. BD = AB. CD + AD. BC

Phân tích:
Giả sử M thuộc đoạn AC sao cho 
AM.BD=AB. CD, suy ra tam giác ABM đồng dạng với tam giác DBC nên góc ABM bằng góc DBC . Như vậy ta xác định điểm M như sau

Lời giải:
Do góc ABC > góc DBC nên tồn tại điểm M trên đoạn AC sao cho góc ABM = góc CBD. Suy ra tam giác ABM đồng dạng với tam giác DBC (g.g) nên AM. BD = AB. CD (1) 
Dễ thấy tam giác BMC đồng dạng với tam giác BAD (g.g) nên MC. BD = AD. BC(2)
Từ (1) và (2) AC. BD =AB. CD + AD. BC







Ví dụ 7:
Cho tam giác ABC biết 3A + 2B = 1800. 
Chứng minh rằng: AB2 = BC2 +AB. AC

Phân tích :
Giả sử điểm M thuộc cạnh AB sao cho BM . AB =BC2 suy ra tam giác BMC đồng dạng với tam giác BCA nên 
góc BCM = góc BAC = góc A
Kết hợp giả thiết ta có 
góc ACM = góc AMC hay tam giác ACM cân tại A. Vậy ta xác định được điểm M như sau







Lời giải:
Từ giả thiết suy ra AB > AC
Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = AC, do đó tam giác ACM cân tại A nên góc ACM = (A + B + C – A) = A+ B. 
Do đó góc BCM = C – ACM = A
Suy ra tam giác BCM đồng dạng với tam giác BAC suy ra BM. BA = BC2 
nên ( AB – AC ).AB = BC2, do đó AB2= BC2 + AB. AC



Ví dụ 8:
 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn . D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A. Gọi I, K và H lầnlượtlà hình chiếu của D trên các đường thẳng BC,AB và AC.CMR: 


Phân tích :
Giả sửđiểm M thuộc cạnh BC sao cho tam giác DKI đồng dạng với tamgiác BAM suy ra góc BAM = góc DKI mà góc DKI = góc DBI nên sđ CD = sđ BN
( N là giao điểm của AM với đường tròn)
Do đó DN // BC. Vậy ta xác định được điểm M và N như sau




Lời giải:
Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn tại N( khác D). AN cắt BC tại M
Ta thấy tam giác DKI đồng đạng với tamgiác BAM (g.g) 
Lại thấy tam giác ACM đồng dạng với tam giác HDI (g.g) 
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có ĐPCM 

 











 
 Các hệ thức hình học rất đa dạng. Việc tìm ra chúng tuỳ thuộc vào điều kiện cụ thể của bài toán và sự sáng tạo, linh hoạt của người giải. 
 Xin giới thiệu bài toán tương tự
Bài 1:
 Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF cắt nhau tại H. CMR: 
BE. BH + CF. CH = BC2
Bài 2: 
 Cho tam giác ABC vuông tại C. Lấy điểm E trên đường cao CH. Kẻ BD vuông góc với AE tại D. CMR:
AE.AD + BA.BH = AB2
AE. AD – HA.HB = AH2
Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH . Gọi HD, HE lần lượt là các đường cao của tam giác ABH và ACH. CMR: AH3 = AD.AE.BC










PHẦN BA
KÕT LUËN Vµ KIÕN NGHÞ 

Trên đây là một nội dung nhỏ trong việc rèn kĩ năng vẽ hình phụ cho HS.Qua thực tế áp dụng tôi thấy đã thu được kết quả khá khả quan. Các em bớt đi những lúng túng khi phải kẻ đường phụ trong bài toán chứng minh hình học. Và hơn cả là các em đã giải quyết được các bài toán có nội dung tương tự một cách chính xác, logic, nhanh chóng. Với những HS giỏi toán,các em còn giải quyết được các bài toán khó hơn,phức tạp hơn.
Tuy vậy ,còn rất nhiều những bài toán hình học cần đến kĩ năng vẽ hình phụ mà thực sự vẫn còn là bài toán khó cho việc định hướng cho HS.Vì vậy rất mong chờ các bài viết và kinh nghiệm quý báu của các đồng nghiệp để tôi được học tập và trau dồi bổ sung kiến thức cho bản thân. 
 Tôi xin trân trọng cảm ơn!