Kỳ khảo sát học sinh giỏi lớp 6,7,8 cấp huyện năm học 2013-2014 Môn: Toán - Lớp 8

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)


ĐỀ CHÍNH THỨC


Bài 1 (2,0 điểm):
Thực hiện tính:
	a) với: .
	b) với: a + b + c = 2013 và 

Bài 2 (2,0 điểm): 
a) Cho các số a, b, c bất kỳ. Chứng minh: 
b) Giải phương trình: 
	
Bài 3 (2,5 điểm):
	Cho ABC là tam giác nhọn có BD và CE là các đường cao. Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng ED. Đường thẳng qua E vuông góc với AC cắt CH tại F.
a) Chứng minh BE = DF.
b) Gọi I là giao điểm của DE và BF. Chứng minh I là trung điểm của GH.
c) DF cắt EC tại M. Đường thẳng qua E song song với AC cắt BD tại N. Chứng minh MN song song với BC.

Bài 4 (2,0 điểm): 
Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự tại A’, B’, C’. 
a) Chứng minh .
b) Cho M = . Tìm giá trị nhỏ nhất của M.

Bài 5 (1,5 điểm):
Cho ( là các số có ba chữ số)
a) Chứng tỏ S chia hết cho 37.
b) Chứng tỏ S không là số chính phương.


UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1 (2,0 điểm): 
Thực hiện tính:

0,25

0,25

0,25
=7.18 - 3 = 123
0,25


0,50
 
0,25
Tính được B+3 = 
0,25
Bài 2 (2,0 điểm): 
Û 4a2 + 4b2 +4c2 +4 > 4a + 4b + 4c 
0,25
Û 4a2 - 4a + 1+ 4b2 - 4b +1 + 4c2 - 4c + 1 + 1 > 0
0,50
Û (2a - 1)2 +(2b - 1)2 +(2c - 1)2 + 1 > 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bđt cần cm luôn đúng.
0,25

Û (4x2 + 16x + 15)(x2 + 4x + 4) = 3
0,25
Đặt y = x2 + 4x + 4 được y(4y -1 ) -3 = 0
Û 4y2 - y - 3 = 0 Û ( y - 1)(4y +3) = 0
0,25
y - 1 = 0 Û (x+2)2 - 1 = 0 Û (x+2)2 = 1
 x + 2 = 1 Û x = -1; x + 2 = -1 Û x = -3
0,25
4y + 3 = 0 Û 4(x+2)2 + 3 = 0
4(x+2)2 + 3 ³ 3 nên phương trình vô nghiệm.
0,25
Bài 5 (1,5 điểm):

0,75
Để S chính phương thì chia hết cho 37.
0,25
Có 0 < a,b,c £ 9 nên 0 <£ 27 
0,25
Þ không chia hết 37 Þ S không chính phương.
0,25


Bài 3 (2,5 điểm):
Có BD//EF (BD, EF cùng vuông góc với AC)
0,25
FD ^ EC (D là trực tâm của DEFC) Þ FD//BE (FD, BE cùng vuông góc với CE).
0,25
Þ Tứ giác BEFD là hình bình hành Þ BE = DF
0,25
 (cùng bù với cặp góc bằng nhau)
0,25
ÞDFDH = DBEG (Cạnh huyền, góc nhọn) Þ EG = DH
0,25
Tứ giác BEFD là hình bình hành Þ IE = ID Þ IE + EG = ID + DH
Þ IG = IH hay I là trung điểm của GH.
0,25
Gọi O là giao điểm của BD và CE.
DM// BE Þ ; EN//DC Þ 
0,50
Þ OM. OB = ON.OC (=OE.OD) Þ Þ MN// BC.
0,50
Bài 4 (2,0 điểm): 
Gọi S, S1, S2. S3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, OBC, OCA, OAB.
Hạ AH ^ BC; OG ^ BC được (OG//AH).
Lại có: (OBC và ABC có chung cạnh BC) Þ 
0,50
Tương tự có: 
0,25
Þ 
0,25

0,50
Áp dụng Bđt Cô si ta có 
0,25
Đẳng thức xẩy ra khi S1 = S2 = S3 
Khi O là trọng tâm của tam giác ABC thì S1 = S2 = S3
0,25