Kỹ năng giải và khai thác toán về đạo hàm và tích phân

KỸ NĂNG GIẢI VÀ KHAI THÁC TOÁN VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Phần 1: ĐẠO HÀM, ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
	@CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
 @BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ
ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP
ĐẠO HÀM HÀM SỐ HỢP
VẤN ĐỀ 1:SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Định lí :Giả sử hàm số y =f(x) có đạo hàm trên I(I là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn )
1.Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) đồng biến trên I
2. Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I
3 Nếu f’(x)=0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) không đổi trên I
2.Định lí mở rộng :
Giả sử cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên I .Nếu f’(x)( hoặc f’(x) 0) và f’( x )= 0 chỉ tại hữu hạn điểm của I thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến trên I)
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x)
1.Tìm tập xác định (hay miền xác định của hàm số).
2.Tính đạo hàm f’(x).Tìm các điểm (i=1,2n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định 
3.Lập bảng xét dấu f’(x)
4.Dựa vào định lí tên để kết luận các khoảng đông biến nghịch biến 
Định gía trị của tham số để hàm số y=f(x) đồng biến nghịch biến trên khoảng cho trước 
Cho hàm số y=f(x) phụ thuộc tham sô m ,Ta phải định tất cả giá trị m sao cho hàm số 
	*Đồng biến (nghịch biến )trên R f’(x) 0( )
Để giải những bài toán dạng này cần nhớ kiến thức của tam thức bậc 2 vì (f’x thường là tam thức bậc 2 )
f(x)= a+ bx +c ( a# 0)
 f’(x) 0 
f’(x) 0 
* Đồng biến (nghịch biến )trên K f’(x) 0( )
* f’ (x) 0 hoặc 
*f’ (x) 0 hoặc 
*f’ (x) 0 hoặc 
* f’ (x) 0 hoặc 
* f’(x) 0( )
VẤN ĐỀ 2:CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1.Định nghĩa :
Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp () và 
 gọi là điểm cực đại của hàm số f(x)nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm sao cho (a;b ) và f(x) < f() 
 gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x)nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm sao cho (a;b ) và f(x) > f() 
Khi đó f() được gọi là giá trị cực tiểu cua hàm số f(x),kí hiệu 
Chú ý 
	-Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị 
	-Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được chung là cực trị 
-( f() được goi là điểm cực trị của hàm số 
2.Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 
-Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực trị tại điểm (a;b ) thì f’(= 0
3.Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 
ĐL 1:
 -Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng (a, (b) khi đó 
a.BBT
X	a	    b
	y’	_	
	y	cực tiểu (f
b.BBT	
X	a	 b
	y’	+	_
	y	cực đại f()
* Quy tắc 1: tìm cực trị của hàm số 
1.Tím TXĐ
2.Tính f’(x) .Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định 
3.Lập BBT
4.Từ BBT suy ra các điểm cực trị 
ĐL2:
- hàm số đạt cực đại tại điểm 
 hàm số đạt cực tiểu tại
điểm 
*Quy tắc 2 : tìm cực trị của hàm số 
1.Tìm TXĐ
2.Tính f’(x) ,giải phương trình f’(x) =0 kí hiệu (i=1,2n)là các nhiệm của nó 
3.Tính f’’(x) và f’’ )
	-Nếu f’’ ) <0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm 
	-Nếu f’’ ) >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
Chú ý :
1.Hàm số có 3 cực trị y’=0 có 3 nghiệm phân biệt 
2.Hàm số có 2 cực trị y’=0 có 2 nghiệm phân biệt 
1.Hàm số không có cực trị y’=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm 
4.Quy tắc tính giá trị cực trị của hàm số hữu tỉ và hàm bậc 3
a.Quy tắc 1:
Nếu hàm số y= đạt cực trị tại giá trị 
Có thể tính bằng công thức 
b.Quy tắc 2: cho đa thức y =P(x) nếu R(x) là dư thức trong phép chia y cho y’và hàm số đạt cực trị tại thì giá tri của ham số y =P(x) là
VẤN ĐỀ 3:GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [a,b]
1.Hàm số liên tục trên đoạn [a,b]
2.Tính f’(x) .Tìm các nghiệm ,.. (a,b) của phương trình f’(x)=0
3.Tính f(a),f(,));f(b)
4.Kết luận : (M là số lớn nhất ,m là số nhỏ nhất trong các số vừa tính 
Chú ý 
Nếu hàm số f(x) đồng biến trên [a,b] thì : 
Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên [a,b] thì : 
VẤN ĐỀ 4 :KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Hàm số 
1.TXĐ D=R
2.Sự biến thiên 
a) Giới hạn: :: ..
* Tính y’=3a+2bx+c .Tìm nghiệm của y’=0
* Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận 
Các khoảng đông biến ( nghịch biến)
Cực trị 
3 .Vẽ đồ thị 
Điểm uốn :tính y”=6ax+2b. cho y’’=0 x=
Nếu y’’đổi dấu từ dương sang âm khi qua x =thì U (-=)) là điểm uốn của đồ thị 
Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ 
(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tìm giao điểm phức tạp thì bỏ qua phân này )
Nhận xét 
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 
Hàm số y = a+ b+c (a # 0)
1.TXD D=R
2.Sự biến thiên 
a) Giới hạn: :: ..
b) Bảng biến thiêng 
* Tính y’’=4a+2bx .Tìm nghiệm của y’=0
* Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận 
Các khoảng đồng biến ( nghịch biến)
Cực trị 
3 .Vẽ đồ thị 
Điểm uốn :Tương tự như hàm số y =a+ b+cx+d
Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ 
(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tìm giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này )
Nhận xét 
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 
Hàm số y = (ac#0)
1.TXĐ D=R
2.Sự biến thiên 
a) Giới hạn: : 
 đường thẳng y = là đường tiệm cận ngang
b) .Sự biến thiên 
-Tính y’= Kết luận y’>0 (hoặc y’<0)
-Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận 
Các khoảng đông biến ( nghịch biến)
Cực trị 
3 .Vẽ đồ thị 
-Vẽ các đường tiệm cận 
-Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ 
(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tim giao điểm phức tạp thì bỏ qua phân này )
Nhận xét 
Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng 
 Hàm số y= (y = =
1.TXĐ D=R{}
2.Sự biến thiên 
a) Giới hạn: : 
 đường thẳng y = là đường tiệm cận ngang
b) .Sự biến thiên 
-Tính y’= Tìm nghiệm của phương trình y’=0 
-Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận
3 .Vẽ đồ thị 
-Vẽ các đường tiệm cận 
-Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục tọa độ 
(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tim giao điểm phức tạp thì bỏ qua phân này )
Nhận xét 
Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
VẤN ĐỀ 5: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Tìm giao điểm của 2 đường: (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x)
Bước 2: Số nghiệm của pt (*) bằng số giao điểm của (C) và (C’)
Điều kiện để 2 đường y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau là: 
Biện luận theo m số nghiệm của pt: F(x,m) = 0 (*)
Viết (*) lại dưới dạng f(x) = g(m) ( đây là pt hoành độ giao điểm của 
(C): y = f(x) và (d): y = g(m) (// Ox)
Vẽ (C) và (d) trên cùng hệ tọa độ.
Số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm của pt (*)
Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)
Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0): y = f’(x0)(x – x0) + y0
Tiếp tuyến đi qua điểm A(x0;y0):
Viết pt đường thẳng (d): y = k(x – x0) + y0
Do đường thẳng (d) tiếp tuyến của (C) nên 
Thay (2) vào (1). Giải pt tìm x.
Sau đó tìm k. Ứng với mỗi giá trị k có 1 pt tiếp tuyến.
Tiếp tuyến biết hệ số góc k trước:
Giải pt f’(x0)=k. Tìm x1; x2; x3; ; xn
Tìm yi = f(xi) (i=1, 2, 3, )
Pt tiếp tuyến có dạng y = k(x – xi) + yi
Chú ý: Cho 2 đường thẳng: (d1): y = k1x + m ; (d2): y = k2x + n
Nếu d1 // d2 thì k1=k2
Nếu d1 d2 thì k1k2 = -1
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau
1).
2).
3).
4).
5).
6).
Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1).
2)
3).
4).
Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để hàm số
1). đồng biến trên R.
2). luôn giảm trên từng khoảng xác định.
3). giảm trên khoảng (0;3).
Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau
1).
2). , 
3).
Bài 5: Tìm cực trị của các hàm số sau
1).
2)
3).
4).
Bài 6: Với giá trị nào của m thì hàm số
1). đạt cực tiểu tại x=1
2) có hai điểm cực trị và sao cho 
3). , có ba cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
4). có cực tiểu mà không có cực đại.
5). có 2 diểm cực trị A và B sao cho 
6). , có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số sau
1).
2).
3). 
4). trên khoảng (1;+
Bài 8: Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi của nó không đổi bằng 16cm.
Bài 9: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
1)
2)
3)
4)
Bài 10: 
1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C): , biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng .
2)Lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A( và tiếp xúc với (C): .
3).Tìm điểm M thuộc (C): , biết " tiếp tuyến tại M có hệ số góc lớn nhất", sao đó hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M.
4). Chứng mimh rằng từ điểm A(-4;0) ta có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (C): ,
5). Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
6).Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì trên (C): cắt hai đường tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.
PHẦN 2.NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
VẤN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm:
ĐN: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), x K.
ĐL: Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:
Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C, x K.
Từ định lí trên ta thấy nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C R. Vậy, F(x) + C, C R là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Kí hiệu là 
Vậy, 
Tính chất của nguyên hàm:
= 
 (k là hằng số)
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
 = + C
 = sin x + C
VẤN ĐỀ 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Phương pháp đổi biến số:
Dùng phương pháp đổi biến số để tính tích phân: I = 
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt t= u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp ( lưu ý u(x) là hàm số có mặt trong f(x)), rồi xác định x=(nếu có thể).
Bước 2: Xác định vi phân dt = u’(x)dx
Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt
Bước 4: Khi đó tính I = 
Lưu ý:
Gặp ta thường đặt t = g(x) (mẫu thức)
Gặp ta thường đặt t = f(x) (phần mũ)
Gặp f(x) trong dấu ngoặc ( ), ta thường đặt t = f(x) (trong ngoặc)
Gặp hoặc ta thường đặt t = f(x)
Gặp ln x ( có kèm theo ), ta đặt t = ln x
Gặp có kèm theo , ta đặt t = 
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Dạng 1: Tính tích phân: I = ( hoặc I = hoặc
 I = ) với P(x) là một đa thức và a R*
Phương pháp chung
Bước 1: Đặt : 
 + u = P(x) => du = P’(x)dx
 + dv= ( hoặc 
 => v = ( hoặc hoặc 
Bước 2: Áp dụng công thức: I = uv - 
Dạng 2: (CTNC) Tính tích phân: I = hoặc ( I = )
 với a, b 0
Phương pháp chung
Bước 1: Đặt : 
	+ u = => du = 
	+ dv = => v = 
Khi đó: J = (1)
Bước 2: Xét J = 
Đặt: u = => du = 
 dv= => v = 
Khi đó: J = (2)
Bước 3: Thay (2) vào (1) ta tìm được kết quả tích phân I
Dạng 3: Tính tích phân I = , với a\
Phương pháp chung
Bước 1: Đặt:
	+ u = ln x => du = 
	+ dv = => v = 
Bước 2: Khi đó: I = 
VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN
 I.Khái niệm tích phân:
 1.1.Diện tích hình thang cong:
- Cho hàm số liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn [a.b]. Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng 
 được gọi là hình thang cong.
- Diện tích hình thang cong nói trên được tính theo công thức:
( là một nguyên hàm của )
 1.2.Khái niệm tích phân:
Định nghĩa: Cho là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn .
Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là .
Ta còn dùng kí hiệu để chỉ số hiệu 
Vậy: 	
Với: - : dấu tích phân	
 - a là cận dưới, b là cận trên
 - là biểu thức dưới dấu tích phân
 - là hàm dưới dấu tích phân
 - là biến số
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn một chữ khác thay cho . Chẳng hạn, nếu sử dụng chữ , chữ , làm hàm biến số lấy tích phân thì , đều là một số và số đó là 
 1.3.Ý nghĩa hình học của tích phân: 
Cho hàm số liên tục và không âm trên đoạn . Khi đó, diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi dồ thị hàm số , trục hoành và 2 đường thẳng là 
 II. Tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số liên tục trên K và là 3 số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có: 
VẤN ĐỀ 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 I.Phương pháp đổi biến số:
Giả sử tích phân cần tính 
 1.1.Dạng 1: Ta thực hiện các bước sau:
	Bước 1: Đặt 
	Bước 2: Đổi cận: 
	(thế và vào tìm )
	Bước 3: Biến đổi thành 
	Bước 4: Tính 
Lưu ý: 
Gặp , ta thường đặt (mẫu thức)
Gặp ta thường đặt (phần mũ)
Gặp trong ngoặc ( ), ta đặt (trong ngoặc)
Gặp hoặc , ta đặt 
Gặp (có kèm theo ), ta đặt 
Gặp có kèm theo , ta đặt 
1.2. Dạng 2: Ta thực hiện các bước sau:
	Bước 1: Đặt 
	Bước 2: Đổi cận: 
	(thế và vào tìm )
	Bước 3: Biến đổi thành 
	Bước 4: Tính 
Lưu ý:
Dấu hiệu
Cách đặt
 hoặc 
II. Phương pháp tích phân từng phần:
Để tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần. ta thực hiện các bước sau:
	Bước 1: Biến đổi về dạng 
	Bước 2: 
	Bước 3: Tính 
Lưu ý: Cần nhớ các dạng cơ bản sau:
	Dạng 1: với là đa thức theo biến x; f(x) là một trong các hàm . Ta đặt: 
	Dạng 2: với f(x) là 1 trong các hàm ,,
 Ta đặt: 
	Dạng 3: với P(x) là đa thức theo biến x. 
Ta đặt: 
III. Tích phân hàm hữu tỉ
Để tính tích phân hàm hữu tỉ . Ta thực hiện các bước sau: 
	Bước 1: 
Nếu bậc P(x)Q(x) thì ta chia P(x) cho Q(x)
Ngược lại ( tức là bậc của tử < bậc của mẫu) ta phân tích mẫu số thành tích số. Ví dụ: 
	Bước 2: Phân tích phân thức:
	Bước 3: Đồng nhất 2 vế tìm A, B, C, D.
Bước 4: Thế A, B, C, D vào (*) để đưa tích phân ban đầu về tích phân cơ bản
VẤN ĐỀ 5. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I.Tính diện tích: 
- Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường: 
- Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường: 
Chú ý: Để tính (1) thì trước hết ta giải phương trình 
+ Nếu (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm trùng với a và b thì: 
+ Nếu (*) có nghiệm thì:
+ Nếu (*) có 2 nghiệm thì:
II. Tính thể tích:
- Thể tích vật thể xoay quanh trục Ox, giới hạn bởi 
- Thể tích vật thể xoay quanh trục Oy, giới hạn bởi 
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm các ngyên hàm sau
1).
3).
2).
4).
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1).
9).
2).
10).
3).
11).
4).
12).
5).
13).
6).
14).
7).
15).dx
8).
16).
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1).
2). 
3).
4).
Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi:
a) . xung quanh trục Ox
b). xung quanh trục Ox
Bài 5: Cho (C) : y= và đường thẳng d: y= mx +2. Với giá trị nào của m để hình phẳng giới hạn bởi d và (C) có diện tích nhỏ nhất.
Bài 6: Cho (P) :y=. Viết phương trình đường thẳng d đi qua I(1;3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài : CMR: + =