Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013-2014 Môn Thi: Toán Lớp 8

PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN LỚP 8 
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,0 điểm)
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: .
 Rút gọn biểu thức sau: . 
Câu 2. (4,0 điểm)
Giải phương trình sau:
 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Câu 3. (4,0 điểm)
Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, f(x) chia cho được thương là và còn dư. 
Chứng minh rằng: 
Câu 4. (6,0 điểm) 
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng: .
Câu 5. (2,0 điểm)
 Cho là ba số dương thoả mãn . Chứng minh rằng :
	 .
---------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN THI: TOÁN LỚP 8 
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
Câu 1
Hướng dẫn giải
(4.0 điểm)
1
(2.0 điểm)
Ta có 
0,5
0.5
0.5
Kết luận 
0.5
2 
(2.0 điểm)
ĐK: 
0.25
Ta có 
0.25
0.25
0.5
0.5
Vậy với .
0.25
Câu 2
(4.0 điểm)
1 
(2.0 điểm)
Đặt: 
0.25
Phương trình đã cho trở thành:
0.5
Khi đó, ta có: 
0.5
 .
0.5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
0.25
2
(2.0 điểm)
Ta có (1)
0.5
 (2)
0.5
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
0.25
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:
 (-1 ; 0)
0.5
KL
0.25
Câu 3
(4 điểm)
1
(2.0 điểm)
Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là .
Khi đó: 
0.5
Theo đề bài, ta có:
0.5
Do đó: 
0.5
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 
0.5
2
(2.0 điểm)
Ta có: 
Đặt:
0.25
Khi đó, ta có: 
0.5
0.5
0.25
 (đpcm)
0.25
KL:….
0.25
Câu 4
(6 điểm)
1
(2.0 điểm)
Ta có (cùng phụ )
 AB = AD ( gt) 
 BAF = ADM = 90 (ABCD là hình vuông) 
 (g.c.g) 
0.75
 => DM=AF, mà AF = AE (gt) 
 Nên. AE = DM 
 Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
0.5
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác E = 90 (gt) 
0.5
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật
0.25
2
(2.0 điểm)
Ta có ΔABH ~ΔFAH (g.g) 
 hay ( AB=BC, AE=AF) 
0.5
Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH)
Suy ra: ΔCBH~ ΔEAH (c.g.c) 
0.5
, mà (gt) nên BC2 = (2AE)2
 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 
0.5
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
0.5
3
(2.0 điểm)
Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: 
0.5
Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
 hay 
0.5
 (Pytago) 
0.5
 (đpcm)
0.5
Câu 5 2 điểm
2.0 điểm
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R và x, y, z > 0 ta có
 (*)
Dấu “=” xảy ra 
Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có 
 (**)
 (luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
Dấu “=” xảy ra 
0.75
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 
 (Vì ) 
0.5
 Hay 
0.25
Mà nên 
0.25
Vậy (đpcm)
0.25