Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Môn thi: toán lớp 8 cấp THCS

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH 
 LAI CHÂU KHểA NGÀY: 23/4/2014 
 Đ THI CHÍNH TH C Mụn thi : Toỏn l p 8 C p THCS 
 (Đ thi g m 01 trang) Ngày thi : 23/4/2014 
 Th i gian làm bài : 150 phỳt( khụng k  th i gian chộp ủ ) 
 Cõu 1 . ( 4 ủim) 
 a) Phõn tớch ủa th c thành nhõn t : x 3 + 9x 2 + 26x + 24 
 b) Ch ng minh v i m i s  t  nhiờn l  n thỡ: A = n 3 + 3n 2 - n - 3 ⋮ 48 
 Cõu 2 . ( 6 ủim) 
 a) Tỡm giỏ tr  nh  nh t c a bi u th c: A = x(x - 3)(x + 1)(x + 4) 
 1 1 1 b+ c c + a a + b
 b) Cho + + = 0. Ch ng minh r ng: + + = − 3 
 a b c a b c
 Cõu 3 . ( 4 ủim) 
 4x2   x+ 2 2 − 3x x2 − 4 
 Cho bi u th c: A = x2 +  .  + .  
 x2− 4   2x − 4 x 3 − 4x x − 2 
 a) Rỳt g n bi u th c A. 
 b) Tớnh giỏ tr  c a A bi t: 2x− 1 = 3 . 
 Cõu 4 . ( 4 ủim) 
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AC > BD. H  CE ⊥ AB, CF ⊥ AD. 
 a) Ch ng minh ∆CEF ủng d ng ∆BCA. 
 b) Ch ng minh AB.AE + AD.AF = AC 2. 
 Bài 5 . ( 2 ủim) 
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, BD = 3AD. G i M, N l n l ưt là trung ủim 
 ca AB và CD. Trờn BD l y hai ủim E và F sao cho BE = EF = FD. 
 a) Ch ng minh MENF là hỡnh bỡnh hành. 
 c) Hỡnh bỡnh hành ABCD c n thờm ủiu ki n gỡ ủ MENF là hỡnh vuụng? 
 Ht 
 Đ V ăn Lõm - Tr ưng THCS TT Tõn Uyờn 
 ĐÁP ÁN 
(Đỏp ỏn ch  mang tớnh tham kh o) 
Cõu 1 ( 4 ủim) 
 a) Phõn tớch ủa th c thành nhõn t : x 3 + 9x 2 + 26x + 24 
 b) Ch ng minh v i m i s  t  nhiờn l  n thỡ: A = n 3 + 3n 2 - n - 3 ⋮ 48 
 Bài gi i 
 a) Ta cú: x 3 + 9x 2 + 26x + 24 = (x + 2)(x 2 + 7x + 12) = (x + 2)(x + 3)(x + 4) 
 b) Ta cú: A = n 2(n + 3) - (n + 3) = (n + 3)(n 2 - 1) = (n + 3)(n - 1)(n + 1) 
 Vỡ n l  nờn n = 2k + 1 (k ∈ N ) thay vào A ta cú: 
 A = (2k + 4).2k.(2k+2). Vỡ 2k, 2k + 2, 2k + 4 là ba s  ch n liờn ti p 
 ⇒ A ⋮2.4.6 = 48. V y A ⋮ 48 vi m i s  t  nhiờn n 
Cõu 2 ( 6 ủim) 
 a) Tỡm giỏ tr  nh  nh t c a bi u th c: A = x(x - 3)(x + 1)(x + 4) 
 1 1 1 b+ c c + a a + b
 b) Cho + + = 0. Ch ng minh r ng: + + = − 3 
 a b c a b c
 Bài gi i 
 a) A = x(x + 1)(x - 3)(x + 4) = (x 2 + x)(x 2 + x - 12). Đt y = x 2 + x 
 ⇒ A = y(y - 12) = y 2 - 12y = y 2 - 12y + 36 - 36 = (y - 6) 2 - 36 ≥ -36 
 = −
 2 x 3
 D u "=" x y ra khi y = 6 ⇒ x + x = 6 ⇔(x + 3)(x − 2) = 0 ⇔  
 x= 2
 Vy: MinA = -36 khi x = -3 ho c x = 2 
 1 1 1
 b) Đt x = , y = , z = (x, y, z ≠ 0) ⇒ x + y + z = 0 
 a b c
 b+ c c + a a + b 1 1  1 1   1 1 
 Khi ủú: VT = + + = + x + +  y +  +  z 
 a b c y z  z x   x y 
 x x y y z z x z   y z   x y 
 = + + + + + = +  + +  +  +  
 y z z x x y y y   x x   z z 
 x+ z y + z x + y − y − x − z
 = + + = + + = -3 = VP ( ủpcm) 
 y x z y x z
 4x2   x+ 2 2 − 3x x2 − 4 
Cõu 3 . ( 4 ủim). Cho bi u th c: A = x2 +  .  + .  
 x2− 4   2x − 4 x 3 − 4x x − 2 
 a) Rỳt g n bi u th c A 
 b) Tớnh giỏ tr  c a A bi t: 2x− 1 = 3 
 Bài gi i 
 *) ĐKX Đ: x ≠ 0; x ≠ ±2 
 x4  x+ 2 2 − 3x  x4 x(x + 2) + 2(2 − 3x)
 a) Khi ủú: A = .+  = . 
 x2 − 4 2(x − 2) x(x − 2)  x2 − 4 2x(x − 2)
 x3 x 2+ 2x + 4 − 6x x 3 (x − 2) 2 x 3
 = .= . = 
 x2 − 4 2(x − 2) (x − 2)(x + 2) 2(x − 2) 2(x + 2)
 2x− 1 = 3  x = 2 (loại )
 b) Vỡ 2x− 1 = 3 ⇔ ⇔  
 2x− 1 = − 3  x = − 1
 1
 V i x = -1 ⇒ A = − 
 2
Cõu 4 . ( 4 ủim) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AC > BD. H  CE ⊥ AB, CF ⊥ AD. 
 a) Ch ng minh ∆CEF ủng d ng ∆BCA 
 b) Ch ng minh AB.AE + AD.AF = AC 2 
 Đ V ăn Lõm - Tr ưng THCS TT Tõn Uyờn 
 Bài gi i E
a) Ch ng minh ∆∆∆∆BCA ủng d ng ∆∆∆∆CEF : 
 - Xột ∆EBC và ∆FDC cú: x
  ɵ 0 2
 E= F = 90 (gt) 
 1
    B C
 EBC= FDC( = BAD cỏc gúc ủng v ) H
 CE CB CE BC
 ⇒ ∆EBC 
∆FDC ⇒ = ⇒ = (1) 
 CF CD CF BD A
 - Kộo dài tia CF ta cú tia Fx khi ủú: D F
     
 EBC= ECx (cựng ph  v i BCE ) ⇒ ABC= FCE (2) 
 - T  (1) và (2) ⇒ ∆BCA 
 ∆CEF (c.g.c) 
b) K DH vuụng gúc v i AC t i H ∈ AC 
   
 - Xột ∆HAD và ∆FAC cú: A chung; AHD= AFC = 90 0 ⇒ ∆HAD 
 ∆FAC (g.g) 
 HA AD FA.AD
 = ⇒ HA = (3) 
 FA AC AC
    
 - Xột ∆HCD và ∆EAC cú: HCD= EAC (so le trong); CHD= AEC = 90 0 
 HC CD AE.CD AE.AB
 ⇒ ∆HCD 
 ∆EAC (g.g) ⇒ = ⇒ HC = = (4) 
 EA AC AC AC
 FA.AD AE.AB FA.AD AE.AB
 - T  (3) và (4) ⇒ HA + HC = + ⇒ AC = + 
 AC AC AC AC
 ⇒ AC 2 = AF.AD + AE.AB ( ủpcm) 
Bài 5 . ( 2 ủim) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, BD = 3AD. G i M, N l n l ưt là trung ủim c a 
AB và CD. Trờn BD l y hai ủim E và F sao cho BE = EF = FD. 
 a) Ch ng minh MENF là hỡnh bỡnh hành 
 c) Hỡnh bỡnh hành ABCD c n thờm ủiu ki n gỡ ủ MENF là hỡnh vuụng? 
 N
 D C
 1
 F
 1
 1 E
 B
 A M
a) Ch ng minh MENF là hỡnh ch  nh t: 
 EB=EF(gt)
 - Vỡ  ⇒ EM là ủưng trung bỡnh c a ∆BAF 
 MB= MA(gt)
 1
 ⇒ EM = AF và EM//AF (1) 
 2
 - Xột ∆BAF và ∆DCE cú: 
 BA = DC (c nh hỡnh binh hành) 
  
 ABF= CDE (so le trong) 
 2
 BF = DE (= BD) 
 3
  
 ⇒ ∆BAF = ∆DCE(c.g.c) ⇒ AF = CE và A1 = C 1 mà AM//CN ⇒ AF//CE (2) 
 (khi ủú A, F, N th ng hàng và C, E, M th ng hàng) 
 1
 T  (1) và (2) ⇒ EM = CE và M, E, C th ng hành 
 2
 Đ V ăn Lõm - Tr ưng THCS TT Tõn Uyờn 
 1
 - Vỡ NF là ủưng trung bỡnh c a ∆DEC ⇒ NF = EC và NF//EC 
 2
 ⇒ EM = NF và EN//NF ⇒ EMNF là hỡnh bỡnh hành (*) 
 - M t khỏc: MN = AD = DF = FE = EB ⇒ MN = FE (**) 
 T (*) và (**) ⇒ MENF là hỡnh ch  nh t. 
b) Tỡm ủim ki n c a ABCD ủ MENF là hỡnh vuụng: 
 - Vỡ MENF là hỡnh ch  nh t nờn MENF là hỡnh vuụng khi MN ⊥ AD 
 - Vỡ MN//DA ⇒ DA ⊥ DB hay hỡnh bỡnh hành ABCD cú thờm ủiu ki n ủưng chộo 
BA vuụng gúc v i AD thỡ MENF là hỡnh vuụng (ho c AC vuụng gúc BC) 
 Đ V ăn Lõm - Tr ưng THCS TT Tõn Uyờn