Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2009-2010 môn: toán 12

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010
 TỈNH ĐẮKLẮK MƠN: TỐN 12 - THPT
 Thời gian làm bài: 180 phút ( khơng kể thời gian phát đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 22/12/2009
 Bài 1: (5 điểm) 
1) Cho hàm số cĩ đồ thị (Cm). Với giá trị nào của m thì giao điểm 2 đường tiệm cận của (Cm) thuộc parabol cĩ phương trình y = x2 . 
 2) Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1 = 0 cĩ một nghiệm duy nhất. Gọi nghiệm đĩ là x0 , chứng minh 
Bài 2: (5 điểm) 
1) Giải hệ phương trình :
 
 2) Cho tứ diện ABCD cĩ BC = AD = a, CA = DB = b, AB = DC = c
 a) Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng thiết diện OCD chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện AOCD và BOCD cĩ thể tích bằng nhau.
 b) Tính thể tích tứ diện ABCD 
 Bài 3: (5 điểm) 
1) Trong mặt phẳng toạ độ xOy, tìm quỹ tích (tập hợp điểm) tâm các đường trịn sau : 
 
 2) Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác vuơng (c là cạnh huyền); x, y, z là các số liên hệ với nhau bởi hệ thức ax + by = cz. Chứng minh rằng . 
 Bài 4:(5 điểm)
 1) Cho , và . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
 2) Cho 2 số dương a, b khác nhau. Chứng minh 
 -------------------------Hết----------------------------
 


Họ và tên thí sinh………………………………………………..Số báo danh……………………….

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010
 TỈNH ĐẮKLẮK MƠN :TỐN 12 - THPT
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 12 THPT
A. ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM 
Bài 1: (5 điểm)
1. Cho hàm số cĩ đồ thị (Cm). Với giá trị nào của m thì giao điểm 2 đường tiệm cận của (Cm) nằm trên parabol y=x2 
+ Hàm số (Cm) viết lại như sau : 
+ Hàm số cĩ tiệm cận đứng x =m và tiệm cận xiên y=x+2m+1 	2,0 đ
+ Giao điểm 2 đường tiệm cận x =m , y=3m+1	0,5đ
+Để giao điểm 2 đường tiệm cận nằm trên parabol y=x2 ta cĩ
 3m+1=m2 hay 	0,5đ
2.Chứng minh rằng phương trình x3 +x -1 =0 cĩ một nghiệm duy nhất. Gọi nghiệm đĩ là x0, chứng minh rằng 
Xét hàm số f(x) = x3 +x -1, khi đĩ f(x) là một hàm số liên tục
+Và cĩ f(0) =-10 do đĩ tồn tại giá trị x0 (0< x0<1) sao cho f(x0) =0 
 nên PT x3 +x -1 = 0 cĩ nghiệm là x0 (0< x0<1)	0,5đ
+Vì f ’(x) =3x2 + 1>0 với mọi x nên hàm số luơn đồng biến, nên hàm số chỉ cắt trục hồnh tại 1 điểm duy nhất. Vậy x0 là duy nhất.	0,5đ
+Ta cĩ: và áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho 2 số dương khác nhau,:
 suy ra	0,5đ
+Do x0>0 nên ta cĩ 	0,5đ
Bài 2 (5 điểm)
 1) Giải hệ phương trình :

 
+Đặt khi đó ta có u2 + u -12 =0 	0,5đ
+Giải phương trình u1=3; u2= -4(loại)	0,5đ
+Do : =3 nên x + y + z = 8	0,5đ
+Từ 6x = 4y = 3z ta suy ra: 	0,5đ
+Ta có 	0,5đ
 2) Cho tứ diện ABCD cĩ BC = AD = a, CA = DB = b, AB = DC = c
 a) Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng thiết diện OCD chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện AOCD và BOCD cĩ thể tích bằng nhau.
 b) Tính thể tích tứ diện ABCD 
 a) Gọi là đường cao tứ diện A.OCD kẻ từ A, Gọi là đường cao tứ diện B.OCD kẻ từ B
Ta cĩ nên h1=h2 	1,0đ
Hai tứ diện cĩ đáy chung và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau (đpcm)
 b) cân (vì OC=OD, trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
Gọi H là trung điểm của CD, tương tự cân
Qua O vẽ EF// CD và OE=OF=CD	0,5đ
Ta cĩ: tứ giác AEBF là hình chữ nhật (vì EF = CD = AB)
 (vì cân), (vì //EF)
Do đĩ 
Kẻ , vì suy ra vậy do đĩ AK là đường cao của tứ diện A.OCD	0,5đ
Theo câu a) ta cĩ 
Vì FB//AK và suy ra vậy 
Hay (1)
Mặt khác tam giác AFB vuơng suy ra (2)
Từ (1) và (2) ta cĩ 
Vậy 
Ta cĩ : 
Vậy : 
= 	0,5đ
 
Bài 3:(5 điểm)
 1) Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) tâm các đường trịn: 
 
 Phương trình đường trịn viết lại như sau:

+	0,5đ
+Điều kiện để là đường trịn thì phải 	0,5đ
cĩ 	
+Khi đĩ toạ độ tâm N của	0,5đ
+Hay 	0,5đ
Mặt khác 
+Vậy quỹ tích tâm N là nửa elip 	0,5đ
2. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác vuơng (c là cạnh huyền); x, y, z là các số liên hệ với nhau bởi hệ thức ax + by = cz. Chứng minh rằng (1)
 Ta cĩ (A là gĩc nhọn đối diện với cạnh a) 	 
 Hệ thức đã cho viết lại xsinA+ ycosA = z (2)	
 +Nếu x = y = 0 thì z = 0 nên (1) đúng 	0,5đ
+Xét khi đĩ chia 2 vế của (2) cho ta được:
 (3)	0,5đ
Chọn gĩc sao cho và 	0,5đ
(gĩc tồn tại vì )
+Khi đĩ (3) trở thành 	0,5đ
+Hay suy ra hay 	0,5đ
Bài 4 (5 điểm)
 1). Cho , và . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Ta cĩ: = 
= = (vì x+y =1)	0,5đ

= = 	0,5đ
Đặt . Khi đĩ hay 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P chính là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 	0,5đ
Ta cĩ : . Vậy hàm số nghịch biến 	0,5đ
Bảng biến thiên:
T
 0 
f ’(t)
 - 
f(t)
 1 
 
Vậy MaxP = 1 và minP = 	0,5đ
2) Cho 2 số dương a, b khác nhau. Chứng minh 
 Ta cĩ thể giả sử a>b>0, khi đĩ bất đẳng thức cần chứng minh là:
 	0,5đ
 Đặt ta cĩ 	0,5đ
Do x > 1 nên lnx > 0. Khi đĩ	
Ta cĩ 	0,5đ
Với nên f ’(x) đồng biến với và ta cĩ f ’(1)=0	0,5đ
Suy ra nên f(x) đồng biến với và f(1)=0, vậy bất đẳng thức (1)đúng
Mặt khác ta cĩ : 	
Lại do và g(1)=1 nên suy ra bất đẳng thức (2) đúng.	0,5đ
B.HƯỚNG DẪN CHẤM
1.Điểm của bài làm cho theo thang điểm 20, là tổng điểm thành phần và khơng làm trịn số.
2. Học sinh làm cách khác với đáp án nếu thấy đúng vẫn cho điểm tối đa.