Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường khối 10 thpt - Năm học 2008-2009 môn thi: toán (thời gian làm bài: 180 phút )

Trường thpt cẩm thuỷ i	 Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường
	 Khối 10 THPT - Năm học 2008-2009
Môn thi: Toán
 (Thời gian làm bài: 180 phút )
Bài 1: 
 1.Giải phương trình: .
 2.Giải hệ phương trình: 
Bài 2:
 1. Giải bất phương trình
	 + 3 .
 2. Giải bất phương trình
 .
Bài 3. Tìm hàm f(x) biết rằng: .
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 Với .
Bài 5. Cho đường tròn (C): . 
1. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm M(3;4).
2. Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng 3x + 4y +1 =0 và cắt (C) tại hai điểm A; B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. 
 (Với I là tâm đường tròn (C) )
Bài 6. 
 1. Chứng minh: 
 2.Cho các số dương a;b;c thõa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh:
Hết.
Họ tên thí sinh  Số báo danh.
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.
Trường THPT cẩm thuỷ I đáp án thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 10 năm học 2008-2009 Môn : Toán
 Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Bài
ý
Nội dung
Điểm
Bài 1
(4 đ)
1
Giải phương trình: .
ĐK: .
Đặt u= ( u>0).
1đ
Phương trình trở thành: .
Với u=1: x=1.
Với : 
1đ
2
Giải hệ phương trình: 
1đ
Đặt u=; v=xy. Có ngay: u=5;v=2. Ta có hệ:
 Giải ra ta được các nghiệm: (1;2); (2;1); (-1;-2); (-2;-1).
1đ
Bài 2
(4đ)
1
2 + 3 	(1)
	TXĐ: 	D = \ x 
Trên D thì > 0, Chia 2 vế của (1) cho ta được 
2 	 Đặt t = , t 0	
BPT 2t2 – 3t + 1 0 0 t hoặc t 1 	
1Đ
* Với 0 t thì x 	
* Với t 1 thì 1 x 2 	
 Vậy tập nghiệm của BPT (1): T = 
1Đ
2
.
ĐK:
- Với x=-1: Hiển nhiên là nghiệm.
- Với x>-1: Bất phương trình tương đương:
 Bpt vô nghiệm.
1đ
- Với :Bất phương trình tương đương:
.
Vậy Bpt có 2 nghiệm: x=-1; x=-5
1đ
Bài 3
(2 đ)
Thay x bởi 1/x ta có: . Kết hợp với điều kiện ban đầu, giải hệ ta được: 
2đ
Bài 4
(2 đ)
 - áp dụng Cosi . Đẳng thức xảy ra khi :
x=14.
1,5đ
 - Với Đẳng thức xảy ra khi x=14.
 Vậy: Đẳng thức xảy ra khi x=14.
0,5đ
Bài 5
(4 đ)
1
. Tâm I(1;2); bán kính R=2.
+ Xét tiếp tuyến cùng phương Oy: Kiểm tra thấy x=3 là tiếp tuyến.
0,5đ
+ Xét tiếp tuyến (d) không cùng phương Oy: y=ax+b.
. Do M năm trên d nên: 3a+b=4.
Giải hệ a=0; b=4. d: y=4.
Vậy có 2 tiếp tuyến thoã mãn: x=3 và y=4.
1,5đ
2
Gọi H(x;y) là trung điểm AB. Giả sử IH=a suy ra HB=. 
Đẳng thức xảy ra khi: =a.
1đ
Nói cách khác đường thẳng d có dạng: 3x+4y+C=0 cắt đường tròn tại AB: Trung điểm H của AB: IH=. Ta có ngay: 
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm: 3x+4y+
1đ
Bài 6
(4đ)
1
áp dụng bất đẳng thức cơ bản sau: . 
0,5đ
Ta có : 
1,5đ
2
Ta có : . 
1đ
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được cho các trường hợp còn lại. Khi đó:
 (Do a+b+c=3 nên dễ có: ).
 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
1đ