Kỳ thi chọn học sinh giỏi khu vực Duyên Hải và đồng bằng Bắc Bộ Năm học 2013-2014 Đáp án môn: Toán học lớp 10 Đề số 1

ĐỀ SỐ 1

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10



Câu 1 (4 điểm):
Giải phương trình sau trên tập số thực
	.
(Quốc học Huế)

CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM

Điều kiện: .
Đặt (). Suy ra

1,0



1,0


1,0


Thử lại thỏa mãn. Vậy nghiệm phương trình là hoặc .
1,0


Câu 2 (4 điểm):
Cho tam giác (). Gọi là trung điểm của , vuông góc với tại , vuông góc với tại . Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng , trong đó là trực tâm tam giác .
(Bắc Ninh)

Gọi tại . Khi đó đồng quy nên là hàng điểm điều hòa ().
Do đó ta có .
Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác và ngoại tiếp tứ giác , tâm của hai đường tròn này đều nằm trên . 
Nhưng và nên nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn nói trên.
Do đó ta có . (ĐPCM) 


Bài 3 (4 điểm): Cho hàm số ( là tập số thực) thỏa mãn với mọi . Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt sao cho .
(Vĩnh Phúc)
Nội dung trình bày
Điểm
Đặt thì . Suy ra .
Dễ thấy là đơn ánh nên từ suy ra cũng là đơn ánh.

1,0
Gọi là một điểm cố định của hàm .
1,0
Ta có , suy ra cũng là một điểm cố định của hàm 
1,0
 là một song ánh trên tập nên 

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
1,0
Bài 4 (4 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị :
 .
(Lê Quí Đôn - Đà Nẵng)


Vì bất đẳng thức đúng với mọi giá trị nên phải đúng với 
Ta chứng minh là gtln
1,0

Xét bất đẳng thức trở thành (1)

1,0

Áp dụng bđt AM – GM ta có

Suy ra (2)
1,0

Mặt khác 
 (3)
Từ (2) và (3) suy ra (1) được chứng minh 
Vậy số k lớn nhất 
1,0
Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để chia hết cho 
(Nam Định)
Xét với k, t là các số tự nhiên và t là số lẻ.
Đặt 

Do t là số lẻ nên 
Ta có 
a chia 4 dư 1 nên chia 4 dư 2
Do đó 
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của n cần tìm là .
---HẾT---