Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 vòng tỉnh năm học 2010 - 2011 môn thi: toán thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

1 
Họ và tên thí sinh:.... Chữ ký giám thị 1: 
Số báo danh:..... ... 
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2010 - 2011 
 * Môn thi: TOÁN 
 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) 
ĐỀ 
Câu 1: (4 điểm) 
 Giải phương trình: 22 4 2 5 2 5x x x x x− + − + − = − 
Câu 2: (4 điểm) 
 Cho dãy số không âm (ai), với i = 0, 1, 2,  thỏa điều kiện 
 am + n + am – n = 
1
2
(a2m + a2n) với mỗi cặp chỉ số m, n tùy ý mà m ≥ n. 
 Tính a2010 biết a1 = 1. 
Câu 3: (4 điểm) 
 Giải phương trình : tan 2 x + tan 2 y + cot 2 ( )x y+ = 1 
Câu 4: (4 điểm) 
 Cho ,a b∈Z và 3)542( 22 M++++ baba .Chứng minh rằng a và b không chia 
hết cho 3. 
Câu 5: (4 điểm) 
 Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. 
 Biết AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = 2. 
 Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < 4. 
--- HẾT --- 
(Gồm 01 trang) 
CHÍNH THỨC 
1 
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2010 - 2011 
 * Môn thi: TOÁN 
 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Câu 1: (4 điểm) 
 22 4 2 5 2 5x x x x x− + − + − = − (1) 
 ĐK: 5 4
2
x≤ ≤ (0,25đ) 
 (1)⇔ 22 1 4 1 2 5 1 2 5x x x x x− − + − − + − − = − -3 (0,5đ) 
 ( )( )3 3 2 6 2 1 3
1 1 4 1 2 5 1
x x x x x
x x x
− − −⇔ − + = + −− + − + − + (0,5đ) 
 ( ) ( )( )1 1 23 [ ] 2 1 3
1 1 4 1 2 5 1
x x x
x x x
⇔ − − + = + −− + − + − + (0,5đ) 
3
1 1 2 2 1
1 1 4 1 2 5 1
x
x
x x x
=⎡⎢⇔ ⎢ − + = +⎢ − + − + − +⎣
(2) (0,75đ) 
 (2) 1 2 1 2 1
2 1 2 5 1 4 1
x
x x x
⇔ + = + +− + − + − + (3) (0,5đ) 
 Do 5 4
2
x≤ ≤ nên 5(3) 2 1 2. 1 6
2
VP x> + > + = và VT (3) < 3 (0,5đ) 
 Vậy PT (1) có duy nhất nghiệm x = 3 (0,5đ) 
Câu 2: (4 điểm) 
 Cho m = n = 1, ta được a0 = 0; (0,5đ) 
 Cho m = 1, n = 0, ta có a1 + a1 = 
1
2
(a2 + a0) ⇒a2 = 4. (0,5đ) 
 Ta sẽ chứng minh an = n2 bằng qui nạp (0,5đ) 
 Với n = 0, 1, 2 khẳng định trên đúng (0,5đ) 
 Giả sử an = n2 đúng với n = 0, 1, 2, k; 
 Cho m = k, n = 0, ta được ak + ak = 
1
2
(a2k + a0) 
 ⇒a2k = 4ak = (2k)2 (0,5đ) 
 Cho m = k, n = 1, ta được ak + 1 + ak – 1 = 
1
2
(a2k + a2) 
 ⇒ak + 1 = 12 a2k + 2 – ak – 1 (0,5đ) 
 ⇔ ak + 1 = 12 (2k)
2 + 2 – (k – 1)2 
 ⇔ ak + 1 = (k + 1)2. (0,5đ) 
 Theo giả thiết qui nạp ta có an = n2 với n = 0, 1, 2,  (0,25đ) 
 Vậy a2010 = 20102. (0,25đ) 
(Gồm 03 trang) 
CHÍNH THỨC 
2 
Câu 3: (4 điểm) 
 tan 2 x + tan 2 y + cot 2 ( )x y+ = 1 (1) 
 Ta có: cot ( x + y ) = 1
tan( )x y+ = 
1 tan x.tan
tan x tan
y
y
−
+ . 
 ⇒cot (x + y ) .[ ]tan x tan y+ = 1- tanx.tany . (0,25đ) 
 ⇒ tanx.tany + tany . cot ( x + y ) + tanx . cot ( x + y ) = 1 ( 2 ). 
 ( 1 ) – ( 2 ) vế theo vế ta được : 
2 2 21 (t anx tan ) (tan cot( )) (cot( ) tan ) 0
2
y y x y x y x⎡ ⎤− + − + + + − =⎣ ⎦ (0,75đ) 
2 2 2
t anx tan cot( )
tan tan cot ( ) 1.
y x y
x y x y
= = +⎧⇔ ⎨ + + + =⎩
 (0,25đ) 
1t anx tan cot( )
3
1t anx tan cot( )
3
y x y
y x y
⎡ = = + =⎢⎢⇔ −⎢ = = + =⎢⎣
 (0,75đ) 
Xét hệ ( I ) 
1t anx
3
1tan
3
1cot( )
3
y
x y
⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ + =⎪⎩
1t anx
3
1tan
3
y
⎧ =⎪⎪⇔ ⎨⎪ =⎪⎩
 (0,5đ) 
 6 ( ; )
6
x m
m n
y n
π π
π π
⎧ = +⎪⎪⇔ ∈Ζ⎨⎪ = +⎪⎩
 (0,5đ) 
Xét hệ ( II ) 
1t anx
3
1tan
3
1cot( )
3
y
x y
⎧ = −⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪ + = −⎪⎩
1t anx
3
1tan
3
y
⎧ = −⎪⎪⇔ ⎨⎪ = −⎪⎩
 (0,5đ) 
 6 ( ; )
6
x m
m n
y n
π π
π π
⎧ = − +⎪⎪⇔ ∈Ζ⎨⎪ = − +⎪⎩
 (0,25đ) 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho : 
 6 ( ; )
6
x m
m n
y n
π π
π π
⎧ = +⎪⎪ ∈Ζ⎨⎪ = +⎪⎩
 ; 6 ( ; )
6
x m
m n
y n
π π
π π
⎧ = − +⎪⎪ ∈Ζ⎨⎪ = − +⎪⎩
 (0,25đ) 
3 
Câu 4: (4 điểm) 
 Ta có 2222 )2()1(542 +++=++++ bababa 
 Với Zx∈ thì x có dạng 3k , 3k+1 , 3k+2 ( k Z∈ ) (0,5đ) 
 2x⇒ có dạng 3m , 3m+1 ( m Z∈ ) (0,5đ) 
 Suy ra 22 )2()1( +++ ba có dạng 3t , 3t+1 , 3t+2 ( t Z∈ ) (1,0đ) 
 Vì 22 )2()1( +++ ba M 3 nên 22 )2(,)1( ++ ba có dạng 3t (1,0đ) 
 Vậy 3)1( M+a và 3)2( M+b ba ,⇒ không chia hết cho 3 (1,0đ) 
Câu 5: (4 điểm) 
Có 2 2 24 AE AC CE= = + (1,0đ) 
 ( ) ( )2 2AB BC CD DE= + + +uuur uuur uuur uuur 
 DECDBCABDECDBCAB .2.22222 +++++= (1,0đ) 
Vì cos.2.2.2 abBCBABCAB −=−= ABC 
 cos2ab= AEC (vì  ABC AEC+ = 1800) 
 abCE= (vì CE = AE.cos AEC = 2 cos AEC ) (1,0đ) 
 mà CE > CD = c nên BCAB.2 > abc 
Tương tự ta có: bcdDECD >.2 
Vậy: a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < 4 (1,0đ) 
--- HẾT--- 
o A
B D 
E
C