Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 vòng tỉnh năm học 2011 - 2012 môn thi: toán (bảng b) thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên thí sinh:.... Chữ ký giám thị 1: 
Số báo danh:..... ... 
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2011 - 2012 
 * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) 
 * Ngày thi: 05/11/2011 
 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) 
ĐỀ 
Bài 1: (5 điểm) 
Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 3a b c+ + = . Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2 2 2a b c a b b c c a+ + = + + . 
Bài 2: (5 điểm) 
Cho dãy số ( )nu thỏa 1 3u = , 2 5u = , 2 13 2n n nu u u+ += − (n ≥ 1). 
Chứng minh rằng: ( )2011 3 mod 2011u ≡ . 
Bài 3: (5 điểm) 
 Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán đề thi gồm có ba câu. Biết rằng mỗi thí 
sinh làm được ít nhất một câu, có 25 thí sinh làm được câu thứ nhất, có 20 thí sinh làm 
được câu thứ hai, có 14 thí sinh làm được câu ba, có 12 thí sinh làm được câu thứ nhất 
và thứ hai, có 10 thí sinh làm được câu thứ hai và thứ ba, có 7 thí sinh làm được câu 
thứ nhất và thứ ba, và có 1 thí sinh đạt điểm tối đa vì giải được cả ba bài. Hỏi có bao 
nhiêu thí sinh dự thi? 
Bài 4: (5 điểm) 
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, F, K là các điểm xác định bởi: 
, , .AI AB AF AC AK ADα β γ= = =JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng 
hàng là: 1 1 1β α γ= + (biết rằng 0, 0, 0α β γ≠ ≠ ≠ ). 
--- HẾT ---
(Gồm 01 trang) 
CHÍNH THỨC 
 1 Bảng B-Ngày 1 
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2011 - 2012 
 * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) 
 * Ngày thi: 05/11/2011 
 * Thời gian: 180 phút 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài 1: (5 điểm) 
Ta có a + b + c ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 
 ⇔ a4 + b4 + c4 + 2(a + b + c) ≥ a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1,0đ) 
 ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ (a2 + b2 + c2)2 
 ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 (1,0đ) 
Do đó ta chỉ cần chứng minh a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 
Mà a4 + 2a = a4 + a + a ≥ 3 43 . .a a a = 3a2 (0,5đ)
 Tương tự b4 + 2b ≥ 3b2; c4 + 2c ≥ 3c2 (1,0đ) 
Vậy a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 3(a2 + b2 + c2) = 9 (0,5đ) 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. (1,0đ) 
Bài 2: (5 điểm) 
 Xét phương trình đặc trưng 2 13 2 0 
2
x
x x
x
=⎡− + = ⇔ ⎢ =⎣ 
 .2nnu a b= + với 1 23 , u 5u = = ta được : (2,0đ) 
2 3 1
4 5 1
a b a
a b b
+ = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ = =⎩ ⎩ 
 1 2nnu = + (1,0đ) 
 20112011 1 2u = + ≡ 3(mod2011) (theo định lý Fecrmat) (2,0đ) 
Bài 3: (5 điểm) 
Gọi A là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ nhất. (0,5đ) 
Gọi B là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ hai. (0,5đ) 
Gọi C là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ ba. (0,5đ) 
Ta cần tính CBA ∪∪ 
Áp dụng công thức: 
CBACACBBACBACBA ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ (1,0đ) 
Theo giả thiết ta có: 25=A , 20=B , 14=C , 12=∩ BA , 10=∩CB , 7=∩CA , 
1=∩∩ CBA . (1,5đ) 
Do đó 31171012142025 =+−−−++=∪∪ CBA (1,0đ) 
Vậy số thí sinh dự thi là 31. 
(Gồm 02 trang) 
CHÍNH THỨC 
 2 Bảng B-Ngày 1 
Bài 4: (5 điểm) 
* Ta có: 
( )
à :
KI AI AK
AB AD
KF AF AK
AC AD
M AC AB AD
KF AB AD
α γ
β γ
β β γ
= −
= −
= −
= −
= +
⇒ = + −
JJG JJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
 * Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho: 
 ( )
( ) ( ) 0
K F k K I
A B A D k A B k A D
k A B k A D
β β γ α γ
β α β γ γ
=
⇔ + − = −
⇔ − + − + =
JJJG JJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG G
 * Vì ,AB AD
JJJG JJJG
 không cùng phương nên: 
( ) ( )
( )
0
0
0
0, 0, 0
1 1 1
k AB k AD
k
k
do
− + − + =
− =⎧⇔ ⎨ − + =⎩
−⇔ = ≠ ≠ ≠
⇔ + =
JJJG JJJG Gβ α β γ γ
β α
β γ γ
β γ β α β γα γ
α γ β
---Hết--- 
(1,0đ) 
(0,5đ) 
(0,5đ) 
(1,0đ
)
(0,5đ) 
(1,0đ) 
(0,5đ)