Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 vòng tỉnh năm học 2011 - 2012 môn thi: toán thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên thí sinh:.... Chữ ký giám thị 1: 
Số báo danh:..... ... 
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2011 - 2012 
 * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) 
 * Ngày thi: 06/11/2011 
 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) 
ĐỀ 
Câu 1 (6 điểm): 
Chứng minh rằng ( )2012 2012 201226 23 4 1 594A = + − − # . 
Câu 2 (7 điểm): 
Cho phương trình: 2 2(2cos 1) 6cos os 1 0 (1)x x cα α α− − + − − = . 
a) Tìm α để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x . 
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 21 2A x x= + . 
Câu 3 (7 điểm): 
Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M và K tương 
ứng sao cho n nBAM MAK= . Chứng minh rằng BM + KD = AK. 
---Hết---
(Gồm 01 trang) 
CHÍNH THỨC 
 1 Bảng B – Ngày 2 
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2011 - 2012 
 * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) 
 * Ngày thi: 06/11/2011 
 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Câu 1 (6 điểm): 
 ( )2012 2012 201226 23 4 1 594A = + − − # 
Ta có ( ) ( )201226 1 26 1− +# ( 0,5đ ) 
 ( )201226 1 27⇒ − # ( 0,5đ ) 
 và ( ) ( )2012 201223 4 23 4− +# ( 0,5đ ) 
 ( )2012 201223 4 27⇒ − # ( 0,5đ ) 
 nên 27A# ( 0,5đ ) 
Mặt khác ( ) ( )2012 201226 4 26 4− −# ( 0,5đ ) 
 ( )2012 201226 4 22⇒ − # ( 0,5đ ) 
 và ( ) ( )201223 1 23 1− −# ( 0,5đ ) 
 ( )201223 1 22⇒ − # ( 0,5đ ) 
 Do đó 22A# ( 0,5đ ) 
 Mà ( )27, 22 1= ( 0,5đ ) 
 nên ( )27.22A# hay 594A# ( 0,5đ ) 
Câu 2 (7 điểm): 
2 2(2cos 1) 6cos os 1 0 (1)x x cα α α− − + − − = 
a) Phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x khi và chỉ khi 0Δ ≥ 
2 2(2cos 1) 4(6cos cos 1) 0α α α⇔ − − − − ≥ (1,0đ) 
2 1 120cos 5 0 os
2 2
cα α⇔ − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ (1,0đ) 
22 2
3 3 , (2)
4 52 2
3 3
k k
k
k k
π ππ α π
π ππ α π
⎡ + ≤ ≤ +⎢⇔ ∈⎢⎢ + ≤ ≤ +⎢⎣
Z (1,0đ) 
b) Ta có: 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 .A x x x x x x= + = + − 
Với α thỏa (2), theo định lí Vi-ét, ta có: 1 2
2
1 2
2cos 1
. 6cos os 1
x x
x x c
α
α α
+ = −⎧⎨ = − −⎩
 (1,0đ) 
Vậy 2 2 2(2cos 1) 2(6cos os 1) 8cos 2cos 3A cα α α α α= − − − − = − − + 
(Gồm 02 trang) 
CHÍNH THỨC 
 2 Bảng B – Ngày 2 
Đặt cost α= , 1 1
2 2
t− ≤ ≤ thì 28 2 3A t t= − − + . 
Xét hàm số 2( ) 8 2 3f t t t= − − + , ta có 1( ) 16 2; ( ) 0
8
f t t f t t′ ′= − − = ⇔ = − (1,0đ) 
BBT 
t 1
2
− 1
8
− 1
2
( )f t′ + 0 - 
( )f t 
 25
8
2 0 
Dựa vào BBT ta có: 
1 1;
2 2
1 25 1 1max max ( ) ( ) ; cos os
8 8 8 8
A f t f t cα β
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
= = − = = − ⇔ = − = − 
1 1;
2 2
1 1 1min min ( ) ( ) 0; cos 2
2 2 2 3
A f t f t kπα α π
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦
= = = = ⇔ = ⇔ = ± + (1,0đ) 
Câu 3 (7 điểm): 
Xét phép quay ( )0, 90 :AQ − A6A (0,5đ) 
 B6D (0,5đ) 
 C6C’ (0,5đ) 
 D6D’ (0,5đ) 
 M6M’∈ DC’ (0,5đ) 
 K6K’∈C’D’ (0,5đ) 
Theo tính chất phép quay ta có: n n'BMA DM A= (0,5đ) 
Vì n n n'MAK MAB M AD= = nên n n'MAD M AK= . (1,0đ) 
Do đó: n n n n' 'M AK MAD BMA DM A= = = (1,0đ) 
Tức là: 'AKMΔ cân tại K. (0,5đ) 
Từ đó: KM’=KD+DM’=KD+BM. (1,0đ) 
---Hết--- 
(1,0đ) 
D'
C'
K'
M' K
M
B
CD
A