Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 môn: toán năm học 2013 – 2014 Trường THCS Trần Mai Ninh

 PGD&ĐT TP Thanh húa
Trường THCS Trần Mai Ninh
-----------o0o---------
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MễN: TOÁN
Năm học 2013 – 2014
Thời gian 120 phỳt(Khụng kể thời gian giao đề) 
----------------o0o--------------


Bài 1: (4 điểm) 
a) Cho a – b = 7. Tớnh giỏ trị của biểu thức
 M = a2(a + 1) – b2(b – 1) + 3ab2 – 2ab – 3a2b 
b) Cho x > 0. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
 P = 3x – 4x2 – + 2014
Bài 2: (4 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Chứng minh biểu thức Q = x4 + 2014 x2 + 2013 x + 2014 dương với mọi x
Bài 3: (4 điểm) 
a) Tìm m để đa thức x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho đa thức x + y + z 
b) Tìm x, y nguyên thỏa món: x4 + y + 4 = y2 – x2
Bài 4: (6 điểm) 
 Cho tứ giỏc ABCD cú AC vuụng gúc với BD tại O. Kẻ BH vuụng gúc với CD
(H thuộc CD)
a) Biết AB //CD; BH = 4cm; BD = 5cm. Tớnh AC.
b) Biết AB = CD; AO = AC, diện tớch tam giỏc AOB bằng 4cm2. Tớnh diện tớch tứ giỏc ABCD
Bài 5: (2 điểm) 
Cho DABC cú đường cao kẻ từ A, đường trung tuyến xuất phỏt từ B và đường phõn giỏc kẻ từ đỉnh C đồng quy. Gọi a,b,c lần lượt là độ dài ba cạnh BC; AC; AB. Chứng minh (a + b)( a2 + b2 – c2) = 2a2b.
-------------------------------------------Hết-------------------------------------------------





 
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi mụn toỏn 8
Năm học 2013-2014 
---------o0o--------------
Chú ý: + Đáp án gồm 3 trang.
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa.
Bài
Cõu
Túm tắt cỏch giải
Điểm
1
a
2đ
M= a3 + a2 – b3 – b2 +3ab(b – a) – 2ab
 =( a - b)( a2 +ab + b2) + a2 + b2 + 3ab( - 7) - 2ab
 =7( a2 + ab+ b2) + a2 + b2 - 23ab
 =8(a – b)2
 =8.72 = 392

0,5
0,5
0,5
0,5

b
2đ
Ta cú P= - ( 4x2 - 4x+1+x+ - 2015 )
= - [(2x - 1)2+ ]+2014
P ≤ 2014 ∀ x>0
P=2014 ú x= 
Vậy GTLN của P là 2014 tại x = 


1,0



1,0


2
a
2đ
Ta cú x=5; x=6 là nghiệm của phương trỡnh
* Với x0 
 >1

x<5 khụng cú giỏ trị nào của nghiệm của phương trỡnh
* Với x>6 thỡ >1
 > 0

x>6 khụng cú giỏ trị nào của nghiệm của phương trỡnh
* Với 5<x<6 thỡ < x-5
 < 6-x

Nờn 5<x<6 khụng cú giỏ trị nào của nghiệm của phương trỡnh
Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm là x=5 và x=6 

0,25





0,5





0,5




0,5
0,25

b
2đ
Ta cú Q= x4-x+2014( x2+x+1 ) = ( x2+x+1 ) ( x2-x+2014 )
Chứng minh được x2+x+1 >0 ∀x; x2-x+2014>0 ∀x
Nờn Q>0 ∀x 

1,0

1,0






Bài
Cõu
Túm tắt cỏch giải
Điểm
3
a
2đ
Ta cú A= x3+ y3+ z3-3xyz+mxyz+3xyz
= ( x+y+z )( x2+ y2+ z2-xy-yz-zx )+( m+3 )xyz
A⋮ x+y+z ú m+3=0 ú m=-3
Vậy với m=-3 thỡ m⋮ x+y+z 

1,0

1,0

b
2đ
Ta cú x4+y+4 = y2- x2 ú (x2+)2-(y-)2= -4
ú (x2+y)( x2-y+1)=-4
Ta cú y,z nguyờn; (x2+y+ x2-y+1) = 2 x2+1 là số lẻ nờn x2+y và (x2-y+1) cú một số lẻ. Ta cú bảng: 
x2-y+1
-1
- 4
4
-1
x2+y
4
1
-1
4
y
3
3
-2
-2
x2
1
-2 loại
1
-2 loại
Vậy cỏc giỏ trị (x,y) cần tỡm là: (1;3); (-1;3); (1;-2); (-1;-2)

0,5

0,5






1,0

4
a
3đ
A
B
D
C
H
O
E









Kẻ BE // AC ( E thuộc DC ). Ta cú ABEC là hỡnh bỡnh hành; AC BD (GT) => BD Be tại B và AC = BE
Ta cú HD2 = BD2- BH2 = 9 => HD= 3 cm
∆BHD đồng dạng ∆EBD (g.g)
==> BE= ==> AC=











1,0
0,5
0,5
1,0

b
3đ
Vỡ AB=CD; AO= AC
AO= OC => = =
∆ABO đồng dạng ∆CDO
=()2==> =4=16cm2
Vỡ OC= 2OA => =2= 8cm2
==8cm2
=36 cm2




0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

0,5






Bài
Cõu
Túm tắt cỏch giải
Điểm
5


A
B
C
H
O
I
M













Gọi O là giao điểm của đường cao AH; trung tuyến BM; phõn giỏc CD.
Kẻ MI AH => MI= HC
= = => = 
==
aHC = bHB
Áp dung định lớ Pi-ta-go vào cỏc tam giỏc vuụng ta cú:
a2 =BC2 =HB2+HC2 +2HB.HC
b2 = AH2 +HC2
c2 = AH2 +BH2
(a+b)(a2 +b2 -c2 )= (a+b)(2a.HC)=2a(a.HC+ b.HC)
= 2a( b.HB+b.HC) 
=2a(ab)= 2a2b
Vậy ta cú (a+b)(a2 +b2 -c2) =2a2 b























0,25

0,25

0,25
0,25



0,25
0,25

0,25

0,25