Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 thành phố năm học 2004 - 2005 Đề Thi Môn : Toán

phòng giáo dục thành phố hạ long
----------------- @ -------------------
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 thành phố 
năm học 2004 - 2005
đề thi môn : toán
Ngày thi : ......../......./2005
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
a) Có hay không các số tự nhiên n thoả mãn: n2 + n + 1 chia hết cho 2005 ?
b) Cho x và y là hai số thực sao cho và đều là các số nguyên.
Chứng minh rằng là số nguyên.
Bài 2:
Cho hai đa thức: P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)( x+ 6)(x + 7) + a 
 và Q(x) = x2 + 7x + 14.
Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)
Bài 3:
Tìm x biết: + + = 0 
Bài 4:
Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB. 
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
b) Tìm vị trí điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật đồng thời diện tích tứ giác MNPQ bằng diện tích tam giác ABC. 
------------------------ Hết -------------------------
Họ và tên : .............................................................
Số báo danh : ........................................................
hướng dẫn chấm thi HSG thành phố năm học 2004-2005
môn toán lớp 8
Bài
Sơ lược lời giải
Điểm
Bài 1a)
3 điểm
Ta sẽ chứng minh n2 + n + 1 không chia hết cho 5 với "n ẻ N.
Xét n = 5k + r với 0 Ê n Ê 4 => n2 + n + 1 = 5p + r2 + r + 1
Thử trực tiếp từng trường hợp của r => r2 + r + 1 ẻ ớ1;2;3ý
 => n2 + n + 1 chia 5 cho dư là 1;2;3 => n2 + n + 1 không chiahếtcho 5
Mặt khác thấy 2005 chia hết cho 5
Vậy không có số tự nhiên n nào thoả mãn: n2 +n+1 chia hết cho 2005
2,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
1b)
2 điểm
Từ giả thiết => ()() ẻ Z => ẻ Z
1,0 đ
=> ()2 ẻ Z => ẻ Z (đpcm !)
1,0 đ
Bài 2
4 điểm
Đặt x2 + 7x + 6 = t => Q(x) = t + 8 = q(t)
và P(x) = (t - 6) t (t + 4)(t + 6) + a = t4 + 4t3 - 36t2 - 144t + a = p(t)
0,5 đ
1,25 đ
Chia p(t) cho q(t), được p(t) = (t3 - 4t2 - 4t - 112).q(t) + a + 896
Khi đó P(x) chia hết cho Q(x) p(t) chia hết cho q(t) a = -896
Vậy với a = -896 thì P(x) chia hết cho Q(x).
1,25 đ
1,0 đ
Bài 3
4 điểm
Đặt: = a ; = b ; = c => a + b + c = 0
Chứng minh được với a+b+c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc
0,5 đ
2,0 đ
Khi đó giả thiết + + = 0 = 0 x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15 
Vậy các giá trị cần tìm của x là: x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15 
1,5 đ
Bài 4
 A A
 Q P
 Q P 
 O B C 
 M N 
 M N
 B C O
4a) 2 đ
Tứ giác MNPQ là hình bình hành
2,0 đ
4 b)
5 điểm
Giả sử MNPQ là hình chữ nhật => MQ ^ MN => AO ^ BC 
Do d/t MNPQ = d/t ABC => ... => AO = 2 AH (đường cao của DABC)
=> O ẻ tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đường cao của DABC) 
1,0 đ
1,5 đ
0,5 đ
Ngược lại, lấy điểm O ẻ tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH - đường cao của DABC), dễ chứng minh được tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và d/t MNPQ = d/t ABC
Vậy điểm O cần tìm ẻ tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đường cao của DABC). Có duy nhất điểm O thoả mãn yêu cầu bài toán.
1,5 đ
0,5 đ