Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia trung học phổ thông năm 2014 thời gian làm bài: 180 phút

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2014Thời gian làm bài: 180 phút-------- Ngày thi thứ nhất--------
Thời gian làm bài: 180 phút.
Ngày thi thứ nhất (03/01/2014)
Bài 1. (5 điểm) Cho 2 dãy số thực dương (xn),(yn) xác định bởi x1=1,y1=3√
{xn+1yn+1−xn=0x2n+1+yn=2∀n=1,2,3
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
Bài 2. (5 điểm) Cho đa thức P(x)=(x2−7x+6)2n+13 với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức P(x) không thể biểu diễn được dưới dạng tích của n+1 đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.
Bài 3. (5 điểm) Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi A là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và Blà số cặp đỉnh xanh kề nhau.
a. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp (A,B).
b. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để B=14. Biết rằng hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được nhau từ một phép quay quanh tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) với AB<AC. Gọi I là trung điểm cung BC không chứa A . Trên AClấy điểm K khác C sao cho IK=IC. Đường thẳng BK cắt (O) ở D khác B và cắt đường thẳng AI ở E . Đường thẳng DI cắt đường thẳng
AC ở F..
a. Chứng minh rằng EF=BC2
b. Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song với AD . Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC tại N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKNcắt (O) tại P khác B . Chứng minh rằng đường thẳng PK đi qua trung điểm của đoạn thẳng AD..