Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 cho năm học 2012 - 2013

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
Đề thi chính thức 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013

 (Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số có đồ thị và điểm .
 Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt và sao cho tam giác đều.
Câu II: (6,0 điểm)
1. Giải phương trình 
2. Giải hệ phương trình 
Câu III: (6,0 điểm)
1. Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Tính theo thể tích khối lăng trụ .
2. Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và cắt các cạnh tại các điểm (khác ). Gọi lần lượt là khoảng cách từ các điểm đến mặt phẳng .
Chứng minh rằng: .
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho điểm và đường tròn . Gọi là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn ( khác ). Viết phương trình đường thẳng , biết là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Câu V: (2,5 điểm)
Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:


- - Hết - -
Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.........................

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC 
Môn: TOÁN THPT- BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Câu
Nội dung
Điểm
I.
(3,0đ)











Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị là: 
	 , với 
0,5

Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 
 (đúng ) 
0,5

Gọi là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 
Giả sử , 
0,5

Khi đó ta có: 
	,	
Suy ra cân tại 
0,5

 Do đó đều 

0,5

. Vậy giá trị cần tìm là .
0,5
II.
1,
(3,0đ)



ĐKXĐ: 
Phương trình đã cho tương đương với 
0,5

	
0,5

Xét hàm số ;	 
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên 
0,5

Khi đó: 
0,5


0,5

Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là:
 và 
0,5
II.
2,
(3,0đ)
ĐKXĐ: 
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với: 
0,5

, đặt 
Hệ phương trình trở thành 
0,5

 (I) hoặc (II)
Ta có: hoặc 
 hoặc 
Vì nên chỉ có và thỏa mãn.
0,5

 ta có (thỏa mãn ĐKXĐ)
0,5

 ta có (thỏa mãn ĐKXĐ)
0,5

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: .
0,5
III.
1,
(3,0đ)


Diện tích đáy là .
Gọi là trọng tâm tam giác 








D

0,5

Gọi là trung điểm . Ta có 
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng .
0,5

Do đó 
Suy ra là khoảng cách giữa hai đường thẳng và 
0,5

Tam giác vuông tại suy ra 
0,5

Xét tam giác vuông tại ta có 
0,5

Vậy .
0,5
III.
2,
(3,0đ)


Gọi lần lượt giao điểm của mp với các cạnh . 
Ta có (*)
0,5

Vì và (*) nên 


0,5



0,5

Mặt khác ta có 
0,5

Suy ra (**)
0,5

Ta có: 
 ( luôn đúng )
Kết hợp với (**) ta được 
Hay .

0,5
IV.
(2,5đ)
Đường tròn có tâm bán kính là 
Ta có , khi đó đường thẳng cắt đường tròn tại ( khác ) có tọa độ là nghiệm của hệ (loại) hoặc 
Vậy 
0,5

Ta có: (Do )
 (1) (Vì cùng bằng ) 
Mặt khác ta có (2)
Từ (1) và (2) ta có: 
Suy ra tam giác cân tại do đó 
Từ ta có 
0,5

Do đó thuộc đường tròn tâm bán kính có phương trình là 
0,5

Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ 
Nên tọa độ các điểm là : 
0,5

Khi đó nằm trong tam giác (TM) .
Vậy phương trình đường thẳng .
0,5
V.
(2,5đ)



Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
0,5

Suy ra 
Đặt . Khi đó ta có: 
0,5

Xét hàm số với ta có .
 
0,5

Bảng biến thiên

 

 +

 
 


 
Do đó ta có khi và chỉ khi 
0,5

Vậy ta có , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi và chỉ khi .
0,5

- - Hết - -

Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
 - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.