Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 năm học 2012 - 2013 môn toán

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
Đề thi chính thức 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013

 (Đề thi gồm 01 trang) 
Môn thi: TOÁN 12 THPT - BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
	Cho hàm số có đồ thị 
 Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt và sao cho tam giác đều ( với là gốc tọa độ ).
Câu II: (6,0 điểm)
	1. Cho phương trình . 
 Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thực.
	2. Giải hệ phương trình .
Câu III: (6,0 điểm)
1. Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm tam giác . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Tính theo thể tích khối lăng trụ .
	2. Cho điểm nằm trong tứ diện . Các đường thẳng lần lượt cắt các mặt phẳng tại thỏa mãn đẳng thức . Gọi lần lượt là thể tích của các khối tứ diện và . Chứng minh rằng 
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn và đường phân giác trong của góc A có phương trình
. Biết diện tích tam giác bằng ba lần diện tích tam giác ( với là tâm của đường tròn ) và điểm có tung độ dương. Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu V: (2,5 điểm) 
	Cho các số thực dương thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
- - Hết - -
Họ tên thí sinh:………………………………………………. Số báo danh:……………………
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC 
Môn: TOÁN 12 THPT- BẢNG B
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu
Nội dung
Điểm
I.
(3,0đ)










Phương trình hoành độ giao điểm: với 
0,5

 Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác (đúng )
0,5

Gọi là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 
Giả sử , 
0,5

Khi đó ta có 
Kết hợp ta được . Suy ra cân tại 
0,5

Ta có . Tam giác đều 

0,5

 . Vậy giá trị cần tìm là 
0,5
II.
1,
(3,0đ)



ĐKXĐ: . Đặt 
0,5


0,5

Ta có: 
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 
0,5

Xét hàm số với 
Ta có hàm số liên tục trên đoạn . 
 
0,5

Suy ra , 
0,5

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 
Suy ra giá trị cần tìm của là: 
0,5
II.
2,
(3,0đ)
ĐKXĐ: 
( loại )
Hệ phương trình tương đương: 
0,5


0,5

 
PT 
0,5

 
0,5


0,5

Với . Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 
0,5
III.
1,
(3,0đ)


D
Diện tích đáy là 
Gọi là trọng tâm tam giác 







0,5

Gọi là trung điểm . Ta có 
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng .
0,5

Do đó 
Suy ra là khoảng cách giữa hai đường thẳng và 
0,5

Tam giác vuông tại suy ra 
0,5

Xét tam giác vuông tại ta có 
0,5

Vậy (đvtt).
0,5
III.
2,
(3,0đ)


I
Gọi lần lượt là thể tích
của tứ diện 





0,5

Ta có : 
0,5

Tương tự ta có : , , 
0,5

Từ và ta có : 

0,5


0,5

Đẳng thức xảy ra khi . Suy ra (đpcm).
0,5
IV.
(2,5đ)
Gọi là đường phân giác trong của góc 
Đường tròn có tâm , bán kính 
Khi đó đường thẳng cắt đường tròn tại và có tọa độ là nghiệm của hệ hoặc 
Điểm có tung độ dương suy ra và 
0,5

Vì là phân giác trong của góc nên 
Phương trình đường thẳng có dạng: 
0,5

Mặt khác ta có: 
0,5


0,5

. Với khi đó 
Tọa độ các điểm là: , suy ra nằm khác phía đối với đường thẳng ( TM ) 
. Với khi đó 
Tọa độ các điểm là: , suy ra nằm khác phía đối với đường thẳng ( TM ) 
Do đó phương trình đường thẳng là : và .
0,5
V.
(2,5đ)



Ta có: , đặt kết hợp với giả thiết ta suy ra . Khi đó 
0,5

Ta có (đúng do )
Suy ra 
0,5

Hay vì 
0,5

Đặt 
Xét hàm số với . Ta có hàm số liên tục trên , .
0,5

Hàm số nghịch biến trên . Suy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi và chỉ khi.
0,5
- - Hết - -
Chú ý:	- Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
	- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.