Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 năm học 2012 - 2013 môn toán bảng A

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
Đề thi dự bị 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013

 (Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số 
Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) đến trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục Oy.
Câu II: (6,0 điểm)
1. Giải phương trình 
 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
Câu III: (6,0 điểm)
1 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, ,và góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, . Đặt .Xác định x để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: và đường tròn Gọi I là tâm của (O) , M là điểm thuộc d. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến ( O) ( A và B là các tiếp điểm ) và một cát tuyến qua M cắt đường tròn tại C, D (với C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm của AB và IM. Tìm tọa độ điểm M, biết góc và độ dài MC=4
Câu V: (2,5 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn . 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

- - Hết - -
Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.........................

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ 
Môn: TOÁN THPT- BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

Câu
Nội dung
Điểm
I.
(3,0đ)











b) Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) đến trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục Oy
, 
Bảng xét dấu: 
x
 
y’
 + 0 - 0 +

Hàm số đạt cực đại tại , điểm cực đại 
Hàm số đạt cực tiểu tại , điểm cực tiểu 
Ta có 

3,0
II.
1,
(3,0đ)



Điều kiện: 
Khi đó phương trình đã cho trở thành . 	 (1)
Nhận thấy không thỏa mãn nên (1) tương đương với .
Đặt ta được hoặc (tm đk)
+) Với ta có .
+) Với ta có .
3,0
II.
2,
(3,0đ)
 Viết lại hệ đã cho thành 
Đặt . Ta có hệ 
Do nên 
Xét hàm số trên 
Ta có 

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm trên D, tức là: 
3,0
III.
1,
(3,0đ)


Ta có 

(SAD) và (SBC) có S chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AD và BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD
Ta có 
 
Suy ra góc giữa (SAD) và (SBC) là góc giữa SA và SB, 
Mặt khác tam giác SAB cân tại A nên góc ASB nhọn 
Vậy nên tam giác SAB đều
 Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Suy ra do tam giác ABC đều nên 

3,0
III.
2,
(3,0đ)


Gọi O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu của S lên AC
Ta có 
Do đó 
Đặt SA = x, gọi M là trung điểm SA.
Xét tam giác SAO ta có 

, 
Áp dụng BĐT Cô si ta có 
Suy ra , Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
3,0
IV.
(2,5đ)
M
D
A
B
d
I
C
E
Đường tròn ( O) có tâm I(2;1) bán kính 
Mặt khác ta có 
Trong tam giác vuông IMB có BE là đường cao nên
 Suy ra 
hay tứ giác CDIE nội tiếp 
Vậy đều nên IC=ID=CD=1, khi đó ta có MD=5 
Tương tự bài toán trên ta có đặt 
Mặt khác: 
, có tọa độ dạng 

Vậy, hoặc 

2,5
V.
(2,5đ)



Ta có 
 
Do đó 
Xét hàm số 


 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc 
Vậy GTLN của biểu thức A bằng 27 khi và chỉ khi 
Mặt khác 
và 
Do đó 
Xét hàm số trên đoạn [0; 3]
 hàm số g(x) nghịch biến trên đoạn [0; 3]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTNN của biểu thức A bằng -27 khi và chỉ khi (x; y; z) = (3; 0; 0)
2,5
- - Hết - -
Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
 - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.