Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 năm học 2012 - 2013 môn toán bảng B

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
Đề thi dự bị 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013

 (Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số 
Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) đến trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục Oy.
Câu II: (6,0 điểm)
1. Giải phương trình 
 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
Câu III: (6,0 điểm)
1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, ,và góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, . Đặt .Xác định x để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B. Đường tròn tâm nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với cạnh AC tại . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng AB có phương trình 
Câu V: (2,5 điểm)
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện : . Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức : 
	 
- - Hết - -
Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.........................

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ 
Môn: TOÁN THPT- BẢNG B
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Câu
Nội dung
Điểm
I.
(3,0đ)











b) Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) đến trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục Oy
, 
Bảng xét dấu: 
x
 
y’
 + 0 - 0 +

Hàm số đạt cực đại tại , điểm cực đại 
Hàm số đạt cực tiểu tại , điểm cực tiểu 
Ta có 

3,0
II.
1,
(3,0đ)



Điều kiện : 
Phương trình đã cho tương đương với : 
 .
Đặt : . Phương trình trở thành : 
 . Thay trở lại ta có : ( thỏa mãn điều kiện ).
Nhận xét : Học sinh có thể đặt và chuyển về hệ phương trình
3,0
II.
2,
(3,0đ)
 Viết lại hệ đã cho thành 
Đặt . Ta có hệ 
Do nên 
Xét hàm số trên 
Ta có 

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm trên D, tức là: 
3,0
III.
1,
(3,0đ)


Ta có 

(SAD) và (SBC) có S chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AD và BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD
Ta có 
 
Suy ra góc giữa (SAD) và (SBC) là góc giữa SA và SB, 
Mặt khác tam giác SAB cân tại A nên góc ASB nhọn 
Vậy nên tam giác SAB đều
 Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Suy ra do tam giác ABC đều nên 

3,0
III.
2,
(3,0đ)


Gọi O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu của S lên AC
Ta có 
Do đó 
Đặt SA = x, gọi M là trung điểm SA.
Xét tam giác SAO ta có 

, 
Áp dụng BĐT Cô si ta có 
Suy ra , Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
3,0
IV.
(2,5đ)
Ta có : Đường thẳng AC đi qua điểm và nhận véctơ làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình : .
Do đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 
Điểm C thuộc đường thẳng (AC), nên : 
Tam giác ABC vuông tại B, suy ra đường thẳng CB đi qua C và nhận véctơ chỉ phương của đường thẳng AB làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình :	
Lại có : hoặc (loại ) ( Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên điểm C có hoành độ bé hơn ).
Vậy và tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : hay .

2,5
V.
(2,5đ)



Ta có : . Đặt : 
Bài toán trở thành : Cho thỏa mãn : . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 . 
Ta có : . Vậy MinF=2 hay MinP=2 khi và chỉ khi x = y =1 .

2,5

- - Hết - -

Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
 - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.