Kỳ thi giải toán trên máy tính cầm tay năm học 2009-2010 đề thi môn toán – thcs thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN TOÁN – THCS
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
——————————————
Chú ý: đề thi có 05 trang
Số phách (Do chủ tịch HĐCT ghi): .............................
Qui định chung:
1, Thí sinh được dùng một trong các loại máy tính: Casio fx-500A, fx-500MS, fx-500ES, fx-570MS, fx-570ES; VINACAL Vn-500MS, Vn-570MS.
2, Nếu có yêu cầu trình bày cách giải, thí sinh chỉ cần nêu vắn tắt, công thức áp dụng, kết quả tính vào ô qui định.
3, Đối với các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được lấy đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy.
Phần ghi của thí sinh:
Họ và tên: ................................................................................................................... SBD ................................
Ngày sinh ................................, Lớp ................, Trường ....................................................................................
Phần ghi của giám thị (họ tên, chữ kí):
Giám thị 1: ...........................................................................................................................................................
Giám thị 2: ...........................................................................................................................................................
Điểm bài thi
Họ tên, chữ kí giám khảo
Số phách
Bằng số
Bằng chữ
Giám khảo 1 ..............................................................................
Giám khảo 2 ..............................................................................
ĐỀ THI VÀ BÀI LÀM
Bài 1. Cho biểu thức: . Tính các giá trị sau:
A=
A≈ (chính xác đến 12 chữ số thập phân)
Bài 2. Cho phương trình: . Gọi 2 nghiệm của phương trình là và (). Hãy tính (với 9 chữ số thập phân):
Bài 3. Cho dãy số .
a. Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên, luôn tồn tại ít nhất một cách biểu diễn với (*) là các số nguyên nào đó.
b. Hãy tìm một biểu diễn sao cho và có giá trị bé nhất có thể.
Lời giải, đáp số
a) Tóm tắt chứng minh:
b) Biểu diễn tìm được là:
Bài 4. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng các chữ số trong biểu diễn thập phân của n. Mỗi số nguyên dương nhận được từ n bằng cách xoá đi một số (ít nhất một chữ số) chữ số tận cùng của n gọi là một giản số của n. Gọi T(n) là tổng tất cả các giản số của n.
a. Hãy tìm một công thức biểu diễn mối liên hệ giữa n, S(n) và T(n). Chứng minh tóm tắt cho công thức đó.
b. Tìm tất cả các số n để T(n)=217.
Lời giải, đáp số
a) Công thức tìm được là: 
Tóm tắt chứng minh:
b) Các số tìm được là:
Bài 5. Trong trên cạnh lấy 2 điểm ; cạnh lấy 2 điểm ; cạnh lấy 2 điểm sao cho . Đoạn cắt 2 đoạn tương ứng tại 2 điểm ; đoạn cắt đoạn tại điểm . Giả sử mỗi đoạn đều chia thành 2 phần có diện tích bằng nhau và diện tích bằng 1 m2. Kí hiệu là diện tích của . Tính các giá trị:
 (10 chữ số sau dấu phẩy)
Bài 6. Cho là hình chữ nhật thoả mãn tồn tại điểm thuộc đoạn sao cho tam giác đều. Đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính . Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật . Hãy tính giá trị của .
Lời giải, đáp số
Tóm tắt lời giải:
Giá trị: 
Bài 7. Hình chữ nhật có và . Giả sử tồn tại tam giác nhận làm trực tâm, làm tâm đường tròn ngoại tiếp, làm trung điểm và là chân đường cao kẻ từ . Hãy tính độ dài đoạn .
Lời giải, đáp số
Tóm tắt lời giải:
Bài 8. 
a) Tìm số dư của phép chia 23456789012345678 cho 456789456.
b) Cho tập hợp có vô hạn phần tử: (các phần tử trong tập hợp được viết theo thứ tự tăng dần và được đánh số thứ tự từ 1). Tính giá trị phần tử thứ 2009 của A.
Lời giải, đáp số
a) Số dư là: 
b) Giá trị phần tử bằng: 
Bài 9. Muốn có 1.000.000 (một triệu) đồng cả gốc lẫn lãi sau 15 tháng thì phải gửi ngân hàng mỗi tháng một số tiền bằng nhau là bao nhiêu nếu lãi suất là 0,6% tháng và tiền lãi của tháng trước được tính vào tiền gốc để tính lãi cho tháng sau?
Lời giải, đáp số
Tóm tắt lời giải:
Đáp số:
Bài 10. Cho 2009 điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét các đoạn thẳng có đầu mút thuộc 2009 điểm đã cho sao cho với 2 điểm bất kỳ A và B, tồn tại ít nhất một điểm C nối với A và B bằng hai trong số các đoạn thẳng đó. Gọi s là số bé nhất các đoạn thẳng thoả mãn yêu cầu trên, hãy tính s.
Lời giải, đáp số
Tóm tắt lời giải:
——Hết——
KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT NĂM 2009 - HDC MÔN TOÁN THCS
———————————
Bài 1 (3.0 điểm). Bài 2 (3.0 điểm). 
A≈ 2,164965986395
-0,87313108407
1,528193,632
Bài 3 (5.0 điểm)
a) Tóm tắt chứng minh: Qui nạp theo giá trị a và chỉ cần xét với các số không âm (số âm thì chỉ thay bằng dấu ngược lại của các ). a=0 (), a=1, 2, 3 đúng. GS a đúng từ 1 đến p (p>2), xét với a=p+1: Nếu a thuộc dãy thì biểu diễn là a=1.a (đpcm); Nếu a không thuộc dãy thì gọi a1 là số thuộc dãy đã cho có giá trị gần a+1 nhất khi đó hiển nhiên số a+1-a1 <a theo giả thiết a luôn biểu diễn được từ đó suy ra đpcm.
b) Biểu diễn tìm được là : 2009=u1+u9+u14+u15+u16 (Có thể có biểu diễn khác đúng vẫn cho điểm tối đa).
Bài 4 (6.0 điểm).
a) Công thức tìm được là: . CM: nếu n có 1 chữ số thì hiển nhiên đúng. GS đúng với n có k chữ số. Ta có mọi số m có (k+1) chữ số đều có thể viết được dưới dạng m=10n+a. Rõ ràng T(m)=n+T(n) và S(m)=S(n)+a. Do đó m-S(m)=10n+a+S(n)-a=10n-S(n)=(n-S(n))+9n=9T(n)+9n=9T(m) (đpcm).
b) Các số tìm được là: Có 10 số thuộc đoạn các số nguyên từ 1970 đến 1979.
Bài 5 (5.0 điểm: )
(m2)
67,9411254970 (m2) (10 chữ số sau dấu phẩy)
Bài 6 (6.0 điểm:).
Tóm tắt lời giải:
Hướng dẫn giải: Đặt , . Gọi là tâm đường tròn nội tiếp và là đường cao tam giác , dễ dàng tính được , suy ra: , . Từ đó tính được , suy ra: 
Giá trị: 2,3105 (cm)
Bài 7 (5.0 điểm:)
Tóm tắt lời giải:
Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường thẳng HO (đường thẳng Ơle), và trọng tâm này cũng nằm trên AM, cách A và M theo tỷ số 2:3. Do vậy H cũng cách A và F theo tỷ số 2:3, suy ra AF = 15.
Các tam giác vuông BFH và AFC đồng dạng vì , suy ra: .
Mặt khác: . Do , nên (đvdt)
Bài 8 (6.0 điểm).
a) Số dư là: 435349790; b) Giá trị phần tử thứ 2009 của A bằng: 
Bài 9 (6.0 điểm).
Tóm tắt lời giải:
Dùng công thức: , với A: Tiền rút về (1.000.000đ); a: tiền đóng hàng tháng (cần tính); r:lãi suẫt (0,006); n: thời gian (15). Kết quả tính được: đ.
Bài 10 (5.0 điểm).
Tóm tắt lời giải:
Kí hiệu các điểm là . Nối A1 với tất cả các điểm còn lại. Vẽ các đoạn A2A3, A4A5, ..., An-1An. Khi đó kiểm tra được các điều kiện đề bài được thoả mãn và ([]: phần nguyên).
Giả sử . Hiển nhiên mỗi điểm phải được nối bằng một đoạn thẳng với một điểm khác. Nếu mỗi điểm được nối với ít nhất 3 điểm khác, thì , nên tồn tại một điểm (A1) chỉ được nối với không quá 2 điểm khác. Nếu A1 được nối với đúng 1 điểm giả sử là (A2), khi đó không tồn tại điểm nối với cả A1 và A2 như đề bài, do đó A1 được nối với 2 điểm khác (A2 và A3), dễ thấy rằng A2 nối với A3. Xét cặp điểm A1 và Ai (i>3). Rõ ràng điểm nối với cả A1 và Ai là A2 hoặc A3. Trong cả 2 trường hợp, Ai được nối với A2 hoặc A3. Vì có ít nhất 2 đoạn đi từ mỗi điểm Ai, nên số ít nhất các đoạn đi từ các điểm Ai này là . Mặt khác, vì có ít nhất đoạn từ các điểm Ai nối với A2 hoặc A3 nên tổng số các đoạn thẳng ít nhất bằng (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy .
——Hết——