Kỳ thi học sinh giỏi cấp trường Đề thi môn toán lớp 8 Trường Thcs Đức Lân

 PHÒNG GD-ĐT MỘ ĐỨC	 KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS ĐỨC LÂN	 Khóa ngày 25/03/2014
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian 120 phút
Bài 1: (4 điểm) Cho đa thức P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6
a, Phân tích P(x) thành nhân tử.
b, Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi số nguyên x.
Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a, 	b, 
Bài 3: (2 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 
Bài 4: (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên
Bài 5: (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a, Chứng minh rằng rEDF vuông cân
b, Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng O, C, I thẳng hàng.
Bài 6: (2,5 điểm) Cho rABC vuông tại A có BC = 289 cm; AH = 120 cm. Tính AB, AC, BH, CH.
Bài 7: (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + 2b + 3c = 2014. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
***** Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm *****
PHÒNG GD-ĐT MỘ ĐỨC	 KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS ĐỨC LÂN	 Khóa ngày 25/03/2014
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian 120 phút
Bài
Nội dung
Điểm
1
P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6
a, P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6 = 2x4 – 6x3 – x3 + 3x2 – 5x2 + 15x – 2x + 6
= (x – 3)(2x3 – x2 – 5x – 2) = (x – 3)(2x3 – 4x2 + 3x2 – 6x +x – 2)
=(x – 3)(x – 2)(2x2 + 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1).
2
b, P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – 2 + 3) 
= 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1)
Mà (x – 3)(x – 2)(x – 1) ⋮ 3 suy ra 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) ⋮ 6
(x – 3)(x – 2) ⋮ 2 suy ra 3(x – 3)(x – 2)(x + 1) ⋮ 6
Vậy P(x) ⋮ 6
2
2
a, 
Đặt |x + 1| = t ≥ 0, phương trình trở thành:
t2 + 2t – 3 = 0
⇔ (t – 1)(t + 3) = 0
⇔ t = 1 và t = -3 (loại)
Với t = 1 ta có: |x + 1| = 1 suy ra x = 0 hoặc x = -2
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 hoặc x = -2
2
b, 
* Với x < phương trình trở thành:
1 – x – 2x – 3 = – x + 4
⇔ x = – 3 (nhận)
* Với ≤ x < 0 phương trình trở thành:
1 – x + 2x + 3 = – x + 4
⇔ x = 0 (loại)
* Với 0 ≤ x < 1 phương trình trở thành:
1 – x + 2x + 3 = x + 4
⇔ 0x = 0 (luôn đúng)
* Với x ≥ 1 phương trình trở thành:
x – 1 + 2x + 3 = x + 4
⇔ x = 1 (nhận)
Vậy phương trình có nghiệm là x = -3 hoặc 0 ≤ x ≤ 1
2
3
* Với x ≥ 0 và y ≥ 0 thì A = 1
* Với x ≥ 0 và y < 0 thì:
* Với x < 0 và y ≥ 0 thì:
* Với x < 0 và y < 0 thì: A = -1
2
4
Để M nguyên thì x – 2 phải là ước của 1.
Suy ra x – 2 = 1 hoặc x – 2 = -1
 x = 3 hoặc x = 1
2
5
0,5
a, rDCF = rDAE (c-g-c)
Suy ra DE = DF và 
Ta có: 
Vậy rDEF vuông cân tại D
1,5
b, Ta có OB = OD; CB = CD (cạnh hình vuông); DI = BI 
Suy ra O, C, I cùng nằm trên đường trung trực của BD. Vậy O, C, I thẳng hàng
1,5
6
0,5
rABH ∽ rCAH
Suy ra hay 
⇔ BH2 – 289BH + 14 400 = 0
⇔ (BH – 225)(BH – 64) = 0
⇔ BH = 225 hoặc BH = 64
* Với BH = 225 cm suy ra HC = 64 cm, AB = 255 cm, AC = 136 cm
* Với BH = 64 cm suy ra HC = 225 cm, AB = 136 cm, AC = 255 cm.
2
7
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a, b, c ta có: (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: (2)
Nhân vế theo vế (1) và (2) ta có: 
Dấu "=" xảy ra khi: 
Vậy GTNN của biểu thức là 9, dấu "=" xảy ra khi 
2
Lưu ý: Mọi cách giải khác nếu đúng đều ghi điểm tối đa